Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 7618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

4 .4 .

ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ

173

sin ( ± у ~ а \ т

		l 4	_	^ _	3	1„ (i			v	- 4	)(r + 1 )
	sin
sin — vT				cos -i- v (Г +				1)
	2	2У ------—2				---------+
		2У ------—2				---------+
				sin — v
	s				2
	s									Я/
		н		COS [	i	v (T		+	1) +	Я/
+		7 j \ a ,		COS [	i	v (T		+	1) +		+
+		7 j \ a ,									+
	”7=i
	cos
		.	/ 1		nj	\
+ 6/		sin [4		-v(7’+1) +				'^ _]
		“	H	F	^	T		T
		•	/ 1		яМ
		sin	— V---- —
			\ 2		г	;
sin —		v T		sin 4" v (T			+ 1)
(56) 3 (v ) =	2		2У ------—			j----------+
(56) 3 (v ) =			2У ------—			j----------+
					sinT		v
		H		sin [T		- (T +				Я/
	Si			sin [T		- (T +			1) +		] +
	Si				\	2			T	)
					/ 1				nj	\
				s in — v +
	sin		(T + 1) -
+		I ± Z __________							+
		.	/ 1		Я/	j

174			ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ							Гл. 4.
			cos	( T + l ) + ~			]
		+	bj				+
				!\|п( т	, + -F	)
			cos
		+	[ h ' L ^ z f l i n
			‘ ( т ’ - f )			J i J '
Вычисление упрощается,				если использовать следующие ортого
нальные преобразования величин A (v), В (v)							и пар коэффициентов
а,- и	b/, j =	1,	Я:
(57)	C(v) =	Л (v) c o s v (71 + 1) +			B (v)sin2 _v (7 +				1) =
		sin — vT					я/	,	,	. я/
		sin — vT		2у			a /c°s—	+	*/sm —
			2	2у						+
			sin ----V							+
			sin ----V		/=1		йп( т	, +		^ г )
				2	/=1		йп( т	, +		^ г )
			я/		я/
			а/ cos —	+ bj sin —

						+
				sin		v + - j - )
+	1	"/ \
• /	1	"/ \
\	2	T	j
(58) D(v) i ■i4(v) sin42-v(7’ +			1) +	5 ( V ) C O S 42- V ( T + 1) =
sin — vT	H		лу	,		«/
sin — vT		a# sin ■		- bj cos ——
2	s s,n(T				i	T
2						+
				v + ^ - )		+
				v + ^ - )
	/-1
— а/ sin -Щ- +		bj cos -jr

sin |_I_v— J lij

4.4. ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ 175

2“,' I-

. / 1

я / \

/ 1

Щ \ *

sin — vT

где

(59)

Cj =

О/ cos -%jr + bj sin -Ц- =

-jr 2

% c o s -^ - (t — -y-j,

(60)

— a,- sin -~jr -f bj cos -y -

= f

^ sin ^ f ( ^ ---- r ) ‘

Если

T = 2H + 2,

то

Л (v) равно

правой части

(55)' плюс

2a;г/г sin ~Y

vT cos

v (Г + 1 )

+ 4 " я ]

sin ( 'T v_^ T 'n:)]

*•

В (v) равно правой части (56) плюс 2аТ/2 sin

vT sin

■v (Т + 1) +

+ Т

Jrsin

v +

*, С (v) равно

правой

части

(57),

D (v) равно правой части (58)

минус 2dT/2sin -i- vT jY sin |- j v

+ y-Jtj

, где

dr/2 =

—flr/2

(a ст/i = Ьт/2

= 0 ).

Вслучае нормальности коэффициенты а/ и Ь/ некоррелированы

инезависимы. При этом некоррелированы и взаимно независимы

среднее у и коэффициенты q и dj. Поэтому некоррелированы также

при		любых v	и v'		величины С (v) и D (v') и совокупность (С (v)}
для		всех v (0 <		v <		я) не	зависит		от совокупности {D (v)} для
всех		v (0 <	v	л).		Поскольку			преобразование,	переводящее
A (v), В (v) в С (v), D (v), ортогонально, то R2(v) =										С2 (v) + D2(v).
К сожалению, представления С (v)									и D (v) использовать нелегко.
	Если f (t)		=	р. +		Р cos (Xt — 0),			то можно изучить отклонения
от выборочного среднего. Положим
(61)					4*(v) =		- у 2	(yt — y)cosvt,
							1 /=1
(62)					В* (v) =		-jr 2	(уI— у) sin vt.
							t=\
‘	Теорема		4.4.5.			Если		't =	p. + a cos Ai +	\|isin?ii = p +
+	p cos (Xt — 0), nlo
						sin —	(X +	v) T	cos\|4 -(* + v ) ( r + 1) — e] +
(6 3 )		IL 4 * (V )	=	- £	1	2

sin — (X + v)

176 ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Гл. 4.

sin -4- (А, - v) Т

+		21			cos [4"		— v) (Г + 1) ■
	sin У (Я —V)					I
	_		1	X T
	_	sin —		X T	Г	1
	2		2		Г	1		-01e]:X
			i -----cos \ - L \ ( T + l )					-01e]:X
		sinT		k
		1	v T				)
	sin —		v T				)
X	— 2Ц-----cos-i-v(7+						1) ,	чф%,	0 <	V < П,
	sin —		v				>
		2					>
			sin AT		n	trp I	i \
, “ +		Я	' !я г з г С05\|М7' +				1)~	91’
- 4		sin2 — X T
- 4		- —	\ —		cos Ц - М Г + 1) — e] X
		sin2 — X			l-			J
			2
X cos ~2~ X (T -j- 1)\|,								00<X--		^ < я ,
* (v) = y -		sin —		(A, +	v) T		(x+	v ) ( r + i ) - e ] .
* (v) = y -	------- -------------- sin ±						(x+	v ) ( r + i ) - e ] .
		sin —		(A, +	v)					J
	sin		(X — v) T						1) — e j-
					sin [4 -(b -v )(7 ’ +				1) — e j-
		sin — (A, — v)
		2
	2	slnT		KT	r	1		1
	f	----- \		---- cosl-f Х ( Г + 1 ) - 0 \| х
		sin — A,			I-			•*
X	sinT		vr		i		1		0 < v < n ,
X	--------j----- sin— v(7’ + 1 ) \|,								0 < v < n ,

о , P +

sin —			v
		2
p	■	\|	sin X T
	■		j ^ f s l n l M T + 1)- -ftl.
Г.			sinX

4 .4 .

ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ

177

sin3 — XT

f ----- \ —	c o s [ - i - 4 r + i ) - e ] х
sin2 — К	*■	■*
2
X sin - g - b fr+ l)^ ,		0<% = v < n ,

(65) Var IJ4*(V)1 =

2a3

sin vT

/-r

i \

1 +

---- cos v (T

1) —

i 1

Г sin v

— 2

sin - i - vT

COS 4 - V (Г + 1)

------— —

Г sin — v

(6 6 )

Var[5*(v)l =

2a3

sinvr

,,-y .

1-----cos v (T

1) —

Г sin v

sin — vT

----- --— sin4

- v ( T +

Г sin —

(67)

Cov [A*(v),

B* (v)l =

sin v (T +

1) -

sin —

—

cos -i-v (T +

1) s

i n

v (T +

1)1,

•

T sin —

0 < v < л,

0 < v < n ,

0 < v < n .

Квадрат теоретической амплитуды равен

(6 8 ) P*2 (v) =	sin3 — (X +		v) T	sin3 —	(X — v) T
(6 8 ) P*2 (v) =		2	----- +	--------------------	+
	sin3	(X + v)		sin3 —	(X — v)
				2
	sin — (A	v) T	sin —	(A, — v) T
+ 2	----- \ ---------------------		2{- ------------	cos[X (7'+l)— 29] —

sin - у (X + v)

sin — (X — v)

178	ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ		Гл. 4.
	sin — XT		1 ) - 0 X
• 4 -	— 1 —	С052Ц - Я ( Г +	1 ) - 0 X
	sta-i-JL	L	J
	2

	sin —	vT	1
	sin —	vT	sin — (X + v) T
X	2
X	sin —	v	sin - i - (Я + v)
	sin —	v	sin - i - (Я + v)
	2
	sin2 —		XT
+ Тг		1	COS4Ц - М
	sin2 —		X
		2

sin — (X — v )T

+	----- П-----------		1 +
	sin - i - (Л -	v)	]
	sin2 —		vT
Г + о - е ] —		T —
	-* sin* —- v

							v ф X,		0 •< v <	я,
		1 +	sin2 XT	2	sin XT
		1 +	+	2	T sin X
			Г* sin* X		T sin X
			■ 2 1
		4	sin*---- XT	_2 Г 1
		4	2	_2 Г 1
			sin4 1	cos2 J -i-A ,(r+ 1)— e] x
			sin4 1
			2
			sin XT		sin* —	XT		0 <	X = v <	я.
			sin XT
		X	1+ T sin X		Г* sin* — X
						2	J
Отметим,	что	A* (2nj/T) =		A (2nj/T),			B* (2nj/T) — В (2яj/T),
R*2 (2лj/T) =		R* (2nj/T) = R2. и			p*2 (2л,j/T) = p2 (2nj/T) = p;2.
Критерий для проверки гипотезы о том,							что р =	0	в предполо
жении, что %yt =			р cos (Ы — 0 )		для	некоторого		0 ■< %< я,		а
значение о2 неизвестно, может состоять, например,								в отклонении
нулевой	гипотезы,		когда шах R 2 ( v ) / ^				превышает		некоторую
					t=i

постоянную величину. К сожалению, вероятность такого события, при нулевой гипотезе не вычислена в нормальном случае. В силу непрерывности R 2 (v) максимум R 2 (v), 0 < v я, не будет силь но отличаться от максимума R2, / = 1, ..., [(Т — 1)/21. Если пред

полагается,	что %yt = ц + р cos (kt — 0 ), то аналогичным обра
зом можно	использовать шах R* 2 (v) / (Уг~ У)2-

' t=\

4.4.

ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ

179

Обратимся теперь к задаче оценивания а, р и Я в предположе нии, что тренд является нетривиальной тригонометрической по следовательностью. Для удобства будем считать, что р, = 0 . Если предполагать, что величины yt распределены нормально, то лога рифм соответствующей функции правдоподобия будет равен

(69)	---- Т log 2л - - f	Т log о*2 -	S (а, р, Я*),
где		т
(70)		т
(70)	S (а, р. Я*) =	2 (yt — а* cos КП — р* sin КН)\

Оценками максимального правдоподобия для а, р и X являются значения а*, р* и Я*, минимизирующие сумму S (а*, р*, Я*). Для заданного значения X* экстремальные значения а* и Р* удовлет воряют соотношениям

		sin Х*Т	cosА* (Г +	1) а* + т ш т sin ^(7'+ 1)Р=л (Я),
		7 sin К*	cosА* (Г +	1) а* + т ш т sin ^(7'+ 1)Р=л (Я),
(71>	T	S - sinX(r + !)« +
			+	[:1 -	-у °	cos я* (г + i)j р* — в (Я*).
Разрешая		их относительно а*			и Р*,	получаем соответственно
			sin Х*Т
		А(К)- Т sin X				1)А (X*) +	sin К* (Т + 1) В (А,*)]
(72)	а =		[cos X* (Т +			1)А (X*) +	sin К* (Т + 1) В (А,*)]
(72)	а =				sin2 Х*Т
					sin2 Х*Т
					Г2 sin2 X*
			sin Х*Т	[sin X* (7 +		1) Л (X*) -	cos X* ( Т + \ ) В (X*)]
		В (Я*) ■		[sin X* (7 +		1) Л (X*) -	cos X* ( Т + \ ) В (X*)]
(73)	р =		7 sin Л*
(73)	р =				1 — sin2 Х*Т
					1 — sin2 Х*Т

7 2 sin2 X*

Для этих значений <х* и Р* сумма квадратов (70) равна

<=1

—cr2Q (Я*), где Q (Я) — квадратичная форма, определяемая соотно шением (29). Значение Я*, минимизирующее последнюю сумму квадратов, совпадает со значением Я*, максимизирующим Q (Я*), и удовлетворяет уравнению dQ (K*)ldK* = 0 . Однако при этом производная представима слишком сложным выражением и это уравнение нельзя решить в явном виде (см. упр. 40).

180	ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ								ГЛ. 4.
Рассмотрим теорию этих процедур для случая больших								выборок.
Т еорема 4.4.6.	Если	%yt =	a CDs Xt + Р sin Xt,				0 <	X < я ,
Var (yt) = a 2, a Cov	(^,	&) = 0 ,	t Ф		s, mo	\ ф Х ,	0 <		у <	я ,
						\ ф Х ,	0 <		у <	я ,
						v — X,
(75)						\ ф Х ,	0 <		v <	я,
(75)						V = X,
						V = X,
(76)						чфХ,	0 <; v <; я.
(76)						v = X.
						v = X.
Д оказательство. В соответствии				с	теоремой	4.4.1	%A (v) -*• 0,
v Ф X, %A (v) a,	v =	X, SB (v)		0, v Ф X, SB (v) -> p,					v =	X,
Var [i4(v)] -► 0 и Var [5 (v)]			0 .	Поэтому в		силу	неравенства

Чебышева справедливы соотношения (74) и (75). Из них в свою

очередь	вытекает соотношение (76), так как					R2 (v) непрерывно
зависит от A (v) и В (v). в
Следствие 4.4.2. Если %yt = р + а cos Xt +						р sin Xt, 0 < X < я ,
Var (yt) = о2		и Cov (yt, ys) =		0, t Ф s, то выводы теоремы 4.4.6
остаются справедливыми для				/l*(v),	B(v) и R2(v).
Т еорема 4.4.7. Пусть yt= a cos Xt + P sin Xt + ut, 0 < X <								я,
%ut — 0 ,	8 и^= о2, случайные величины и, независимы и их распре
деления удовлетворяют условию (3)					§ 2 .6 . Тогда величины У Т!2 х
xl/4 (Я)—а ] и У 772			[В (А,) — р] имеют в пределе двумерное нор
мальное	распределение с нулевыми				средними,	дисперсиями а2		и
нулевой	ковариацией. При этом У				772 A (v) и У Т 12 В (v), v фХ,
0 < v <	я,	имеют	то же самое		предельное		распределение,	а
TR2(v)/(2a2) имеет в пределе X2-распределение с							2 степенями сво
боды.
Следствие		4.4.3.	Пусть	yt — р + а cos Xt + р sin Xt +				ut,
0 < X <	я, 8 и,= 0, %и2 = а2, и случайные величины щ независимы,

а их распределения удовлетворяют условию (3) § 2.6. Тогда утвержде

ние теоремы 4.4.7 сохраняет силу для	A* (v), В* (у) и	R*2 (v).
Теоремы 4.4.6 и 4.4.7 выполняются	для A (v), В (v)	и R2 (v)

при каждом значении v. Их можно обобщить таким образом, что бы они выполнялись одновременно для v = vb .... vft при фик сированном k. Однако мы заинтересованы в аналогичных предель ных результатах либо для всех v = 2nj!T, } = 1, ..., [(Т — 1)/2], либо для всех v в интервале 0 < v < я. В любом из этих случаев

.число точек не является фиксированным конечным числом. Уиттл (1952) высказал утверждение о том, что модифицирован

ные оценки максимального правдоподобия а, р и X являются со

4.4. ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ 181

стоятельными 1см. также М. Рао (I960)], а А. Уолкер (1968) дал

строгое доказательство	этого факта, показав, кроме того, что
(77)	plim7’ (£ — Я) = 0.
	T-+OQ

Уиттл утверждал также, что эти оценки распределены асимптоти чески нормально, с ковариационной матрицей, приводимой ниже (правда, Уиттл допустил незначительную ошибку). Уолкер дал стро

гое доказательство того, что Y Т (а — а), У~Т ф — (5) и (к —

— к) имеют в пределе совместное нормальное распределение с нуле

выми средними	и	ковариационной		матрицей
		1	О	- 1
		1	О
(78)	2 о2		1	_21_ а

а 2 + 4(52	— Зар		— бр ~
— Зар	4а2	+ р2	6 а
— бр	6	а	12

Доказательства этих результатов крайне длинны и сложны. Заслу-

живает внимания то обстоятельство, что дисперсия к имеет поря док 1/Г3 вместо обычного 1 IT и иногда встречающегося 1 IT2. Предположения Уолкера состоят в том, что к Ф 0 , я, а величины ut независимы и одинаково распределены со средними 0 и диспер сиями а 2.

Существенным для получения соотношения (77) [А. Уолкер (1965)] является доказательство сходимости по вероятности к нулю

величин
(79)	Аи (у) = -jr 2 ut cos vt,	Ви(v) =	-Jr- ^ Щsin vt
	<=.i		<=i
одновременно для всех v. Пусть		/ ? 2 (v) =	A2(v) + В\ (v). Уолкер
(1965) доказал следующий результат.

Теорема 4.4.8. Если величины и, независимы, имеют нулевые средние и дисперсии о2, то

(80)	plim max R'u(v) = 0 .

T-+OQ

182

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ

Г л .

о к а

з а т

е л ь с т

в о

Имеем

(81)

шах Rf, (v) —

шах

uteivt

Однако

o^v^n

t= \

(82)

ще<« 2 =

t=i

i,i'=i

T -l

Г—|s |

г - i

T - \ s \

e‘vs 2

и <

*W+W

s = —(7V-1)

f= l

s = —(7 —1)

1=1

для каждого v. Поэтому соответствующее математическое

ожида

ние

оценивается

величиной

7 — s

(83)

8 2

«1 +

S 2

6=1

S«1

Г — 1 Г

/ Г - s

\ 2 " 1 1 /

< 7 v +

= Та2+

Г — 1

r- s

ТА

r- , r*

+ 2 2

WlWl+sM/'Ul'+s

s=i L

Та2+

*(a4 (T — s)]xA =

S=*l

a4j r

r‘/- [<

;aaj r

J r ‘M rj

:a2| r

^ - T v,J.

Отсюда

вытекает,

что

(84)

шах Rl (v) <

4ст2 (4 - +

-J- —Ы

•

I '

V Т I

Утверждение теоремы следует из этого результата и из обобщенного неравенства Чебышева, я

Уиттл (1959) при дополнительном предположении, что 8 1щ |4+в< < оо для некоторого б > 0 , получил равенство

(85)	plim -j^sr шах Rl(v) = 4<т2.
	7 -юо 1о£ *

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 7618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб4Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб1Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб3Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб0Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб2Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf