книги / Статистический анализ временных рядов

(64) Var Vr =

l

9

~ Т — г

где х4 — четвертый семиинвариант, а а, определяется из (56) или (58). [Кендалл и Стьюарт (1966, стр. 389) приводят выражение и для

аг.\

Если Т велико, то дисперсия V, приблизительно равна

При нормально распределенных щ семиинвариант х4 равен 0. Поскольку дисперсия при Т -*■ оо стремится к нулю, то Vг яв­

ляется состоятельной оценкой для а2. Можно показать, что, когда х4 существует, a ut независимы и одинаково распределены, величина

имеет в пределе стандартное нормальное распределение со средним

Можно показать, что ковариация V, и V приближенно равна

Точная формула для ковариации отличается от (68) слагаемыми, возникающими из-за того, что коэффициенты членов, близких к концам ряда, отличаются от коэффициентов членов, близких к его середине. Кендалл и Стьюарт (1966, стр. 389) приводят точное вы­ ражение для этой ковариации в случае q = г + 1.

Кенуй (1953) указал, что линейная комбинация срУр+ ...+ cqVq, где

с„ + ... + с„ = 1, также является несмещенной оценкой для а2 (если

т

Д7 (0 = 0). Если р — 0, то К0 = 2 у\ IT — наилучшая несме- f«=i

щенная оценка для о2, поскольку в этом случае f (f) == 0. В предпо­ ложении нормальности она является достаточной статистикой для о2. (Если р = 1 и, следовательно, f (/) = const, то в предположении

нормальности достаточное множество статистик образуют статисти-

т

ки у и 2 (У<— У)2-) Для р > 1 Кенуй поставил вопрос о том, <=1

какая линейная комбинация имеет минимальную дисперсию для и4 = 0 и различных значений р и q. Если р = 1, a q = 4, то «наи­ лучшими» коэффициентами будут сг — 7.5, с2 = —20.25, с8 = 22.50, с4 = —8.75. Соответствующая дисперсия равна 3/4 дисперсии W Оказывается, что знаки коэффициентов этих линейных комбинаций чередуются. Таким образом, нет уверенности в том, что оценка по­ лучится положительной. Поскольку эти коэффициенты существен­ но больше единицы, то можно ожидать, что вероятность получения отрицательного значения оценки вовсе не мала.

Постановка этой задачи приводит к вопросу о причинах ограни­ чений на числа V, и, что более важно, о причинах, по которьм ста­ тистик ограничивается только суммой квадратов переменных раз­ ностей. Что следует считать наилучшей оценкой а2, когда тренд «гладкий»? Трудность состоит здесь в необходимости такого доста­ точно строгого определения «гладкости», при котором задача наи­ лучшего оценивания была бы математически определена. Если глад­ ким считать тренд, являющийся полиномом степени q, то наилуч­ шей оценкой а2 будет оценка, приведенная в § 3.2. Любые другие определения гладкости являются либо недостаточно четкими, либо слишком сложными.

Кендалл (1946а, задача 30.8) предложил модифицировать ме­ тод переменных разностей путем введения фиктивных переменных = У—г+2 = ... = Уо = 0 и ит+ 1 =? ... = ут+г = 0 и под­

счета сумм квадратов hfyt для значений t от —г + 1 до Т. В таком случае существуют простые соотношения, связывающие эти суммы

T - j

квадратов с суммами попарных произведений 2 %#+/• Кенуй

(1953) предложил другую модификацию, связанную с изменением крайних членов. Так, например, у него m-я модифицированная сум­ ма равна среднему двух (т — 1)-х модифицированных сумм

где

TT

(70)2<o>“v = 2 wt- t=i t=i

Далее, можно использовать модифицированные суммы .(Дryt)2 и ytt/t+i и связать их. Иная модификация, приводящая к некоторым упрощениям, состоит в использовании А] вместо Аг. (См. гл. 6.)

3.4.5. Определение степени гладкости тренда

Можно интересоваться также вопросом о том, обладает ли тренд определенной степенью гладкости. От этого, например, зависит выбор сглаживающей формулы. Таким образом, может возникнуть необходимость выяснить, является ли тренд гладким в том смысле, что он в каждом интервале времени может быть адекватно представ­ лен полиномом вполне определенной степени q. Это соответствует задаче проверки гипотезы о том, что данная степень является прием­ лемой для описания тренда, против альтернативы, состоящей в том, что данная степень недостаточна для его описания. Кроме того, мож­ но рассмотреть задачу со многими решениями об определении прием­ лемой степени (в пределах между двумя заданными значениями m и q) полинома, аппроксимирующего тренд.

Если под точным соответствием понимать совпадение выравни­ вающей функции с единственным адекватным представлением трен­ да, то перечисленные задачи полностью равносильны изученным в § 3.2 для полиномиального тренда. Если допустить более широкое, но нечеткое толкование адекватности представления, то задачи те­ ряют математическую определенность. Вполне возможно особое внимание уделить максимально допускаемому расхождению между действительным трендом и его полиномиальной аппроксимацией. Однако получаемые при этом математические задачи трудны для решения. Следует отметить, что общая теория задач со многими ре­ шениями, являющаяся обобщением теории § 3.2, здесь неприменима.

Т оо, а центральная предельная теорема, на основании которой строится указанная процедура, не чувствительна к подобным раз­ ностям. Возможно, что учет дополнительных слагаемых может привести к тому, что асимптотическое распределение будет лучше приближать точное распределение для данного Т. Однако это не­ известно. Тинтнер (1940) брал более точные значения моментов (включая состоятельную оценку семиинварианта х4) и привел таб­ лицы, облегчающие вычисление Vr и использование предельного распределения.

Если щ распределены нормально, то в случае истинности нуле­ вой гипотезы статистика (74) имеет распределение, не зависящее от мешающих параметров. Распределения квадратичных форм от нормально распределенных переменных и отношений таких квадра­ тичных форм будут детально изучены в гл. 6 в связи с рассмотре­ нием сериальной корреляции. Там будет показано, что распределе­ ние величины (Vг — Vq)!Vq, или, эквивалентно, VJVq, является весьма сложным и не может быть приведено к простой канонической форме. С целью упрощения отыскания этого распределения был пред­ ложен ряд модификаций. Тинтнер (1940, гл. 8) предложил заменить

Vr и Vqсоответственно суммами слагаемых (Агу()2и (A<’yt)2, отбирае­ мых таким образом, чтобы у( не появлялось дважды. При этом и числитель, и знаменатель являются суммами квадратов независи­ мых нормально распределенных величин и их нормированное отно­ шение имеет F-распределение. Этот метод, однако, крайне неэф­ фективен, поскольку число членов в каждой сумме составляет лишь 1/ (q + г) от максимально возможного. Другая модификация, пред­ ложенная Тинтнером (1955), состоит в использовании циклического определения (см. гл. 6). Это упрощает задачу отыскания распределе­ ния, но может привести к значительному смещению, поскольку тренд в начале ряда часто бывает совершенно отличным от тренда в его конце. (Фактически смещение может возрастать с ростом Т.) Камат (1955) и Гейссер (1956) предложили опускать одно или два средних слагаемых в выражении для Vr (или F?) с целью упрощения распределения последних. Другая возможность состоит в замене

Аг на Аь Мы обсудим эти задачи в дальнейшем в гл. 6 (где обозна­ чение Aj используется для других матриц).

Рассмотрим задачу со многими решениями о выборе одной из следующих гипотез: