книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf5.2. |
ПРОЦЕССЫ АВТОРЕГРЕССИИ |
193 |
(9)У/-1 = Щ-1— М *-2 — ... — Ppt//_i^p:
Подстановка (9) в (8 ) дает
(Ю) |
Dt ~ |
Ut |
Pi ( Ut —l |
filth —2 |
' ••• |
fip yt—t—p) —fiil/t— 2 ' ••• |
||
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
—fiptft—p = |
|
— Щ — |
PJ « / - I — (P2 — Pi) ijt—4— • • • + |
fiifipift-i-p- |
|||||
Повторяя |
подобную процедуру s |
раз, |
получим для yt |
выражение |
||||
( 1 1 ) |
Ut — |
Ut " Т |
8 i « l _ i - f - |
. . . - f - 6 s u X— s - j - |
O s i l / z - s - l |
- f - d s ‘jl/t —s—2 + . . . |
||
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
-f- OCspyt-s—p- |
(При каждой подстановке справа остается ровно р последователь
ных уг ) Подстановка в (11) |
i |
|
|
|
|||
(12) |
yt—s~-1 ^ |
Щ—s—1 1 |
|
2 1 |
1 • |
• • “ fipyt~s-p--l |
|
приводит |
к |
равенству |
|
|
|
|
|
(13) yt = |
щ |
+ |
—1 + . .. |
+ |
|
+ &s\Ut—s~-l -Ь |
|
|
+ |
(^s2 |
1aslPl) yt-s-2 + |
• • • |
+ |
Kp ~ °CiPp-l) Uis-P —’ |
’—al$pyt—s~p—\'
Входящие сюда коэффициенты определяются рекуррентными соот ношениями
|
о* |
* |
|
|
|
Os_j_i — ОС$1, |
|
|
|
(14) |
a s-j-i,/ ^ |
«*/+1 |
a siP/> i ~ |
• • •» Р ' |
|
а ;+1.р = |
- а ; ,Р р . |
|
|
Дальнейшее применение указанной процедуры приводит к пред ставлению
(15) у, = 2 i=o
в котором 6 J = 1 . Условия, при которых ряд (15) сходится в’сред-
нем, мы выясним ниже. Во всяком случае, соотношения с (11) по (14) справедливы для любого s. А это и показывает, что совместное распределение некоторых р последовательных yt и следующих за
194 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.
ними величин и, определяет совместное распределение последую щих yt.
Указанную процедуру можно изложить и формальным образом.
Пусть У, — оператор |
запаздывания, т. е. |
(16) |
£ yt = yt- 1. |
С использованием этого оператора разностное уравнение (1) может
быть |
записано в виде |
|
|
|
|
|
|
||
(17) |
|
|
2 |
№ 'yt = |
|
|
|
|
|
Тогда |
формально |
Г=*О |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
(18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19) |
|
|
V= 0 |
/ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
г—О |
|
|
|
|||
То есть Ьг являются |
коэффициентами при гг в разложении |
||||||||
(2 0 ) |
|
|
( i Р ^ Г ' = 5 V |
|
|
|
|||
|
|
|
' Л" 0 |
/ |
Гае |
0 |
|
|
|
и могут быть определены формальным делением. |
|
||||||||
Убедимся |
теперь в том, |
что 8 * = |
Ьп Имеем |
|
|
||||
(21) |
|
1 |
|
|
1 |
Pi* + |
• • • |
~t~ |
_ |
l + |
P i * + |
• + |
|
1 |
1 + P i 2 + |
• • • |
+ Р р 2 Р |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= 1 - Р . 2 - |
(PS- P l) 22 + |
|
+ (Pp-PlPp_,)2P- P 1Pp^ + 1 |
|||||
|
|
|
1 + P i 2 + • • • |
+ P p ? |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что коэффициент при Я в числителе правой
части (2 1 ) |
совпадает с коэффициентом |
при г/х_;- |
в |
(10), / = 2 , ... |
|||||||||
..., р -f 1. Продолжая этот процесс, получаем |
|
|
|
||||||||||
(22) |
|
|
+ Рр2Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
P i 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
Н~ fyz + |
+ |
V s + |
а я 2*+1 + |
-----Ь |
«s/ |
+p |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
+ P i 2 + |
• • • + |
Р Р г р |
|
|||
= 1 |
+ |
-f |
• • • + |
6 szs |
-f a si2s+' |
+ |
|
|
|
|
|
||
■ |
|
( a s 2 — a s l P l ) 2 S + 2 + |
• • • |
+ |
( « s p - |
« я Р р - l ) ^ + P ~ |
« S 1 P P 2 S + P + I |
||||||
|
|
|
|
|
• + |
P i 2 |
+ |
• • ' |
+ |
P o 2 " |
|
|
|
5.2. |
ПРОЦЕССЫ АВТОРЕГРЕССИИ |
|
|
195 |
|||
Таким |
образом, коэффициенты |
8 , |
и |
ащ удовлетворяют |
тем же |
||
рекуррентным соотношениям, что |
и |
коэффициенты |
8 * и а«. Пос |
||||
кольку |
совпадают и начальные |
условия, отсюда |
следует, |
что |
|||
8 * = бг и а# = аи. Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
(23) |
2 |
|
= |
О |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
называется алгебраическим уравнением, присоединенным |
к |
(1)'>. |
Оно имеет р корней, которые мы обозначим хи ..., хр. Если \xt\ <
<1, i = 1.......р, то при Рр Ф О корни уравнения
(24) |
|
|
|
|
|
2 |
fir2' — О |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
г~О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равны |
г{ — Мх1 и |
|z*| > |
1. |
Для |
всех |
z, |
таких, |
что |z| < |
min |
|г,|, |
|||||
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Р |
оо |
, |
|
оо |
|
|
|
(25) |
|
|
|
|
|
|
" П Б |
i |
’ - s v |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
Р^ |
й ( |
- |
т |
) |
1 = 1 v=o |
|
' |
r=0 |
|
|
||
|
|
г=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сходится |
(абсолютно). Отсюда |
и |
из (22) следует, |
что |
|
|
|||||||||
(26) |
|
|
|
|
«цг + |
••• + ° У Р |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 + |
Pi* + |
• • • + |
PPzP |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
сходится |
к |
нулю |
для |
|г| < |
min |г,| |
(в |
частности, для |
|z| = |
1). |
||||||
В силу этого ccgi —*■0 при s |
|
оо для каждого i. Таким образом, вели |
|||||||||||||
чина |
|
/ |
|
\ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(27) |
|
S |
§ (otsi^—s—i + |
|
• • • |
+ |
a spyts-pf |
|
|||||||
%( yt — 2 |
/ |
= |
|
|
|||||||||||
|
|
\ |
/■=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится к нулю при s -> оо. А это и означает, что
(28) yt = 2
г=0
в смысле сходимости в среднем.
Теорема 5.2.1. £Ьш все корни характеристического уравнения (23), соответствующего стохастическому разностному уравнению (1), по абсолютной величине меньше 1, то yt представимо бесконеч ной линейной комбинацией случайных величин ии Ш—и ... .
г) Мы будем |
называть его для краткости характ ерист ическим уравнением |
для (1).— П рим , |
перев. |
196 |
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ |
Гл. 5. |
|||
Следствие 5.2.1. Если все корни |
характеристического уравне |
||||
ния по абсолютной величине меньше |
то уt не зависит |
от щ+и |
|||
Ut+2......... |
|
|
|
|
|
Д оказательство. Случайная |
величина yt |
является |
линейной |
||
комбинацией случайных величин |
щ, |
ш~\, ..., |
а они не зависят от |
||
и<+ь |
Ш+2, . . . . и |
|
|
|
|
Рассмотрим кратко случай, когда некоторые корни характеристи
ческого уравнения |
по абсолютной величине превосходят 1. Пред |
||
положим, что |*£| > 1 , t = 1, ..., q, |л;£| < 1, i = |
q + 1, .... |
p. За |
|
пишем исследуемое |
стохастическое разностное |
уравнение |
в виде |
(29)«< = 2J Рr^ - ryt-P= П (^ — х{) yt—p.
Обращая (29), |
получаем |
|
.(30) tjt~р = |
П |
(^ — xt)^ u t = |
= |
П ( ^ - * , Г ' П [?> (1 -* ££ ) Г Ч = |
|
|
|
i*=q+ 1 |
поскольку <£ — fP-1. Каждый член |
(1 — лсГ1^ 1)- 1 |
в |
послед |
нем выражении можно разложить по степеням Ф. Члены (1 |
— х $ )~ х |
||
разложим по степеням i£. Если 1 <; q < |
р, то весь оператор в пра |
||
вой части (30) будет степенным рядом по |
^ (= 55-1) и |
^ |
(= (£-*), |
так что при этом будут включены щ, образующие бесконечный в обе стороны ряд ..., щ~\, ut, ut+i........ Если же q ==р (все корни по абсолютной величине больше 1), то этот оператор будет степенным рядом только по ^ и соответственно будут включены только слу чайные величины щ, ut+i, ... . Приведенное рассуждение явля ется чисто формальным. Однако его можно обосновать таким же образом, как это было сделано в случае, когда все корни по абсо лютной величине предполагались меньшими единицы. Мы увидим
р
в гл. 7 (упр. 2 2 ), что если линейную форму П (^ — х£) yt- p заме
нить линейной формой (при любых *£)
(31) |
r i ( ^ - V ) |
П ( V - x J y t - p ^ u ) , |
|
f = l |
f = r + l |
то остатки ut также будут некоррелированными (но уже не обя зательно независимыми).
5.2. |
|
|
ПРОЦЕССЫ АВТОРЕГРЕССИИ |
|
|
|
197 |
||||
Рассмотрим теперь случай, когда имеется только один корень, |
|||||||||||
равный |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(32) |
|
|
|
yt = |
yt~i + |
ut. |
|
|
|
|
|
Предположим, |
что %щ = |
0, %и? = |
а2. Тогда |
|
|
|
|
||||
(33) |
|
|
yt — yt——s = |
Щ“Ь |
+ |
• • • 4яut—s+i |
|
|
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(34) |
|
S (г/, — yt- s f = |
|
|
|
— 2%ytyts |
= |
so2. |
|
|
|
Если процесс стационарный, |
то Ъу] = %y)—s. |
Из |
(34) при этом |
||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(35) |
|
&ytyt-s = Щ -----j-so®, |
s = l , 2........... |
|
|
||||||
Последнее может выполняться для |
всех s > 0 |
только при о2 = |
О, |
||||||||
и поэтому |
yt = yt-s с вероятностью |
1. Интуитивно ясно, что дис |
|||||||||
персия yt должна возрастать с ростом t, если только дисперсия |
щ |
||||||||||
не равна нулю, а это противоречит стационарности. |
|
|
|||||||||
Более общим является случай |
|
|
|
|
|
|
|||||
(36) |
|
|
(3> - 1) П |
(9 — xt) yt-p = ut, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t=s2 |
|
|
|
|
|
|
|
где |^ | ф \ , |
i — 2, ... |
, p. |
Если |
P |
|
|
z t- U |
|
|||
1 1 ^ 9 — x t) y t- p = |
TO |
||||||||||
( ^ — 1) z t - i |
= |
щ и Zf — zts = 'z с вероятностью |
1. |
Таким |
образом, |
||||||
(37) |
|
|
П |
|
|
|
= г |
|
|
|
|
|
|
|
i=*2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и yt = |
оо |
V» т- е- yt — У*-* с вероятностью 1 (переменная г здесь |
|||||||||
2 |
|||||||||||
|
S = —оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
может быть случайной величиной). |
|
|
|
|
|
|
Т еорема 5.2.2. Если стационарный случайный процесс удовле творяет стохастическому разностному уравнению, характеристи ческое уравнение которого имеет хотя бы один корень, равный единице, то с вероятностью 1 все значения этого процесса совпадают.
Начиная с настоящего момента, мы будем ограничиваться рас смотрением случая, когда все корни характеристического урав нения (23) по абсолютной величине меньше единицы. При этом
случайная величина yt не будет зависеть от |
ь щ+ь ... и ее |
оо |
|
можно представить в виде 2 дгЩ-г, Обратимся теперь к коэффи-
г=4)
|
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ |
Г л. 5. |
||||
циентам бг. Из (25) вытекает, что |
|
|
|
|||
(38) |
1 = (2 р А ~ ' 2 Ps S= 2 ь' гг 1 № “ |
|
||||
|
\г=0 |
/ |
s=0 |
r=0 |
s=0 |
|
|
= s i |
i ^ |
+ r= |
|
|
|
|
Г—0 s=0 |
|
оо / Р |
\ |
|
|
|
Р— 1 |
* |
\ |
|
||
|
= 2 |
2 РА-*]2*+ 2 2 |
РА-Ы |
|
||
|
<=0 |
s=0 |
/ |
<=р \s=0 |
/ |
|
Здесь мы заменили г на < — s. Поскольку последнее соотношение является тождеством относительно z (для |z | < 1 сходимость ря дов равномерна), то коэффициент при г° в его правой части равен 1, а коэффициенты при положительных степенях равны 0. Запишем это в развернутой форме:
1 = Р А = б0,
о = Р А + Р А — + P i,
(39)
|
о |
= Р0бр_1- }-••• |
+ рР—А , |
(40) |
о = |
+ ••• + |
РА_р, t — р, Р + 1, . . . . |
Уравнение (40) является однородным разностным уравнением, соответствующим неоднородному разностному уравнению (1). Если все корни характеристического уравнения (23) различны, то общее решение однородного разностного уравнения (40) имеет вид
(41) |
8, = 2*<*S, ' = °. 1. ••• • |
|
(=1 |
При этом если Х[ действительно, то действителен и коэффициент k{. Если xt и Xt-|-i комплексно сопряжены, то kt и ki+\ также комп
лексно сопряжены, а сумма ktxr + ki+\/i+\ действительна, г = = 0, 1, ... . В случае наличия кратных корней общее решение можно построить, используя упр. 9 и 10.
Уравнения (39) задают р граничных условий. Решая их последо
вательно, определим |
6 0, |
бь ..., бр_ь Совокупность соотношений |
|||||
(41) для г = |
0, 1, ..., р — 1 представляет собой систему р линейно |
||||||
независимых |
линейных |
уравнений с р |
неизвестными klt ..., kp. |
||||
Эта система имеет единственное решение. (См. также упр. 4.) |
|||||||
Если р — 1, |
то бг = |
(— |
является показательной функцией |
||||
от г. Если р — 2, а хг и х2 различны, |
то kx = х1/(х1 — x2), k2 = |
||||||
— —х2/(х1— х2) |
и |
у-и —у+> |
|
|
|||
(42) |
б |
— |
г = |
0 , 1 , |
|||
*1 |
*2 |
5.2. |
ПРОЦЕССЫ АВТОРЕГРЕССИИ |
199 |
Если хг и х2действительны, то б, будет линейной комбинацией двух показательных функций переменного г. В противном случае запи шем хх и х2 в виде лу = ает, х2 = ае~‘в. При этом
(43) |
К — |
в,е |
^2 = |
е ~ ‘в |
|
е(0 __е-т > |
ею_ е- ! 0 |
||||
и коэффициенты |
|
ещг+\) _ е-т+\) |
|||
(44) |
бг = |
+ /г2х2 = |
|||
а' |
|
ет - е ~ *
sin е (г + 1)
“sine
образуют затухающую функцию синусоидального типа, что анало гично (42) для комплексно сопряженных корней.
5.2.2. Моменты второго порядка. Ковариационная функция
Если совместные распределения нормальны, то они полностью характеризуются средними §</,, которые мы из соображений удобства временно будем полагать равными нулю, дисперсиями %tjt и ковариациями ^ytyt+s. В случае когда совместные распре деления отличны от нормальных, эти моменты первого и второго порядков тем не менее несут существенную информацию о рассмат риваемом процессе. Например, корреляция между у( и у(+$ (т. е.
отношение %y^t- y s l V гД+5) является мерой связи этих двух случайных величин.
Если процесс yt стационарный (в частности, если yt может быть
представлен в виде (28)), то все дисперсии %у] совпадают, а кова риации зависят только от разности индексов рассматриваемых
случайных |
величин. Эти моменты |
(45) |
%ytyt+s = о (s), s = . . . , — 1, 0, 1, . . . , |
образуют в совокупности так называемую ковариационную функцию (иногда называемую корреляционной функцией). В этой книге мы будем называть корреляционной функцией нормированную функцию а (s)/o (0 ).
Покажем, что ковариационная функция о (К) удовлетворяет однородному разностному уравнению (40). Умножая (1) на (28) с заменой / на t — s, получаем
(46) |
2 |
Ы-гУ<~* = 2 J |
■s—Я* |
|
гз£*0 |
С=*0 |
|
200 |
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ |
Гл. |
5. |
||||
Поскольку |
= о (s — г), |
Ли? = |
a 2, |
%utur = 0 , |
t Ф |
V, |
|
математическое |
ожидание обеих |
частей |
(46) |
удовлетворяет для |
|||
s — 0 |
и s > 0 |
соответственно соотношениям |
|
|
|
(47)2 Р , а ( - г ) = а2, г==0
(48) |
|
2 f W |
s - |
r) = |
0’ |
s = |
1 , 2 , . . . . |
||||
|
|
r=-О |
|
|
|
|
уравнениями Юла — Уолкера. |
||||
Эти |
соотношения |
часто |
называют |
||||||||
Таким образом, |
последовательность |
а (1 — р), |
в (2 — р), ..., |
||||||||
.... а (0 ), ... |
удовлетворяет |
однородному |
разностному уравнению |
||||||||
(48) |
и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(49) |
|
о(Л) = 2 |
cixb |
h = l — p, |
2 — р, |
. . . , |
|||||
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
корни |
xt различны |
и |
рр Ф 0 |
(так |
что хс=£ 0 ). Граничными |
|||||
условиями будут р — 1 соотношений |
|
|
|
||||||||
(50) |
|
о (— ft) — о (/t), |
Л = 1, |
. . . . р — 1 |
|||||||
и соотношение (47), в котором а (—р) |
заменяется на а (р) (причем |
о (—р) не обязательно имеет вид (49)). Последнее условие служит для определения величины коэффициента пропорциональности.
Если р — 1, |
то о (ft) = (—Pi)h(T2/(l — р?), ft = 0, |
1....... явля |
|||
ется показательной функцией ft. Если р = |
2, а хг и х2 различны, то |
||||
(51) |
o(ft) = |
______ О*______ |
*?+1 |
4 +1 |
) |
|
|
(*i— *2)(1 — V J) |
1 — ^ |
1 — ^2 / |
Если хг и х2 действительны, то о (К) будет линейной комбинацией двух показательных функций. Если же они комплексно сопряжены и равны ae±iQ, то (51) принимает вид
(52) |
o(ft) = |
q2«h[sin 8 (h + 1) — a2 sin 8 (h— 1)] |
|
(1 —a2) sin 0 [1 — 2a2 cos 20 + a4] |
|||
|
|
и представляет собой затухающую линейную комбинацию функций от ft синусоидального типа.
Поскольку a (ft) является линейной комбинацией возведенных в степень ft корней характеристического уравнения и все эти корни лежат в единичном круге, то |a (ft) | ограничена сверху показательно убывающей функцией. Именно, для надлежащим образом выбран ного К > 0 , |о (Л)| < К (шах | xt [)h. Положительный корень вно
сит вклад в виде убывающей показательной функции; отрицатель ный — в виде знакопеременной показательной функции, убываю щей по абсолютной величине, Пара комплексно сопряженных кор
5.2. |
ПРОЦЕССЫ АВТОРЕГРЕССИИ |
201 |
ней дает осциллирующую тригонометрическую функцию, убываю щую по абсолютной величине. При этом период ее колебаний зависит от аргумента этих комплексных корней.
5.2.3. Флуктуации временных рядов
Типичный временной ряд, образованный с помощью модели стохастического разностного уравнения, флуктуирует. Наблюдае мые при этом колебания значений ряда нерегулярны. Однако они обнаруживают тенденцию к определенной средней продолжитель ности, значение которой зависит от параметров порождающего процесс разностного уравнения. Если считать, что последователь ные значения ряда образуются согласно (1), то каждое множество из р последовательных yt непосредственно влияет на следующее значение yt. Так, при р — 2 можно записать yt в виде
(53) у, = —р!</,_! — p2yt- 2 + Щ=
= — (Pi + Рг) Pt—1 + Рг (yt—1 — yt—2) + Щ-
Из этого выражения видно, что непосредственное воздействие на значение yt оказывают здесь значение yt- 1 и разность yt- 2 — y t-j. Обычно благодаря этому и возникает тенденция к флуктуациям.
На указанный процесс можно взглянуть с иной точки зрения,
|
|
|
оо |
|
|
|
|
используя представление yt = |
2 б, ut— |
Каждое |
us |
вносит |
|||
в |
последующее |
ys+q вклад, |
Г— о |
|
|
|
6 ^. |
определяемый коэффициентом |
|||||||
Поскольку эти коэффициенты осциллируют, то воздействие |
на |
по |
|||||
следовательные уг флуктуирует, |
вызывая тенденцию к флуктуации |
||||||
у наблюдаемого ряда yt. |
|
указывает, кроме того, |
|||||
и |
На подобный характер поведения ряда |
||||||
ковариационная функция. |
Поскольку |
(обычно) |
а (s) Ф 0, |
то |
|||
между yt и yt+s |
имеется определенная статистическая связь, хотя |
||||||
и имеющая тенденцию к уменьшению при |
увеличении s > |
0. Эта |
связь (измеряемая коэффициентом корреляции) и ведет к возник новению флуктуаций. Если характеристическое уравнение имеет пару комплексных корней, то соответствующие тригонометричес кие функции осциллируют и указанная связь может на некотором интервале изменения s возрастать вместе с s.
5.2.4. Введение «независимых» переменных
Пусть известно, что на рассматриваемый временной ряд могут оказывать воздействие некоторые внешние переменные Zu, ..., zqt. Их влияние можно учесть, заменяя (1) более сложной моделью
(54) |
^ f,ryt-r + 2 |
= щ. |
Гк=0 t—1
202 |
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ |
Гл. 5. |
В частности, подобным образом в модель всегда можно ввести конс танту (беря q = 1, zu = 1) и положить при этом %ut = 0 .
Выражение (54) можно записать иначе:
(55) |
ut = |
П (2*— х,) yt—р + 2 |
ура = |
|||||
|
|
(=1 |
|
|
|
i=\ |
|
|
|
|
Р |
|
yt~P + |
2 |
Y, П {^ — х ,Г 1Zit] ■ |
||
|
= П (Р — х,) |
|||||||
|
|
/=1 |
|
|
|
ы |
М |
J |
|
= П (^— X,) |
Уг-Р + |
2 |
Vi S |
6sZ u -P -S = |
|||
|
|
|
|
|
|
(= 1 |
s = 0 |
J |
|
^ |
Рл f yt—r + |
2 |
Vi 2 |
|
s i. |
||
|
|
r=o |
L |
(= i |
|
s=o |
|
J |
При |
</ = 1, |
г» = |
1 оно принимает вид |
|
||||
(56) |
|
|
2 |
рг(г/<_,— р] = |
«<, |
|||
|
|
|
г=0 |
|
|
|
|
|
где |
р = — Yi2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$=0 |
|
|
|
|
|
|
5.2.5. Прогнозирование
Стохастическое разностное уравнение (1) можно переписать в виде
(57)yt = — f>xyt-1 — *• • — РpVt-p + Щ,
где ut не зависит от y t-1, yt-2, ... . Условное математическое ожида ние случайной величины yt при заданных значениях yt—ь yt-2, ...
есть
(58) |
l \ y t \ yt- и yt-2, •.•} = — Рф - 1 — • • • — РPyt-P. |
Это условное математическое ожидание можно использовать в ка честве прогноза случайной величины yt. Дисперсия его выража ется соотношением
(59)&|— P ^ - i — ••• — Ррг/(_р — yt\2 = Ъи] = а2;
среднеквадратичная |
ошибка |
любого |
другого |
прогноза f (yt—ь |
|||
г*_2, ...) будет иметь вид |
|
|
|
|
|
||
(60) Л[/ (^ _1, y t- 2, |
... ) — */J2 = |
|
|
|
|
||
= |
^ [/ (^//—1*Ut—2» . • .) + |
I + |
• • • |
+ |
$pyt—p— И*]2 = |
||
^ |
+ |
S [/ (^ —l, |
yt^2, .. |
•) + |
—i + |
• • • + |