книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf2.5. |
|
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ |
|
33 |
Тем самым, прогноз должен быть несмещенной оценкой для |
%ух — |
|||
= |
P'zt. Мы требуем также минимальности дисперсии (или, что рав |
|||
носильно, среднеквадратичной ошибки прогноза) |
|
|||
(2) |
* ( s йгУ( —’ У |
d&t — |
— Uh — *Ух) |
|
= s f u d#t — P'zxV + o2-
Итак, задача состоит в том, чтобы отыскать несмещенную линей ную оценку с наименьшей дисперсией для линейной комбинации коэффициентов регрессии P'zT. Из теоремы Гаусса — Маркова сле дует, что такой оценкой является b% . Это вытекает из предыдущих рассуждений, поскольку данную модель можно преобразовать таким образом, что |Vzx будет компонентой (J*, если один из столб
цов G-1 будет совпадать с z*. Дисперсия оценки b'zx равна
(3) |
£ (b'zT — P'zT)2 = £zx (b — P) (b — p)' Zt = or2zxA-1zT, |
Среднеквадратичная ошибка прогноза есть |
|
(4) |
£ (b'zr — yxf = a2(1 + z^A-1zT). |
Указанное свойство прогноза b'zx можно сформулировать иначе. Этот прогноз минимизирует среднеквадратичную ошибку прогноза в классе всех линейных прогнозов, имеющих ограниченную средне квадратичную ошибку. (См. упр. 15.)
Если предполагать, что наблюдения подчиняются нормальному закону, то можно построить доверительный интервал для ух. При этом предположении случайная величина b'zi — ух распределена нормально с нулевым средним и дисперсией (4) и не зависит от s2. Поэтому величина
(5) |
- |
Ь-Т~ Г _ , ■ |
|
s V |
1+ zTA 1z1 |
имеет ^-распределение с Т — р степенями свободы. Доверительный интервал для ух с коэффициентом доверия 1 — е имеет вид
(6) b'zT— /г-р (8) s ]/" 1 + ZxA_1zT< ут< b'zx + /r-р (е) X
х s|/* l + z^A 1zT.
Здесь tr-p (в) определяется из условия, что вероятность попадания случайной величины, имеющей /-распределение с Т — р степенями свободы, в интервал (—tr—P(s), tT~P(е)) равна 1 — е.
Изучим теперь ошибку прогноза для случая, когда некоторыми независимыми переменными пренебрегают. Предположим, что ком
поненты вектора z, перенумерованы таким образом, что г< разби-
34 |
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА |
Гл. 2. |
вается, как и прежде, на блоки (z(/ ’ z'2>) и что вкладом от z*2) пре небрегают, т. е. предполагают ошибочно, что регрессия является ли
нейной функцией только от z*1’, а не от всего zt. Запишем для удоб ства (J'z* в виде p*'z*, где р* определяется соотношением (7) § 2.3> причем Gu = I, G2I = —А21Ай1. G22 = I и
(7) |
Gz, = |
|
Ам АП1 I м -<2) |
&
|
|
|
|
|
|
А ц У /’ 1 |
|
( 2) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
z[2>— А21 |
|
|
t |
|
|
|
При этом векторы z*(I) |
и z<(2> |
ортогональны, t |
= |
1, |
Т, |
И |
|||||
(8) |
|
/А,*, |
0 \ |
/А и |
|
О |
|
|
|
||
|
\ |
О |
А22 / |
\ О |
А22 — А21Ац'А12 |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
Оценкой для р*(1>является |
|
|
|
|
|
|
|||||
(9) |
|
Ь’О = Ай'с0' = |
Ай' 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ы |
|
|
|
|
Ее статистические свойства выражаются формулами |
|
|
|||||||||
(10) |
|
ЛЬ*(|) - |
Ай' f j |
z(/> (z^'p*^ |
+ Z;(2>'p’<2>) - |
|
|
||||
|
|
|
|
t=*\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Ай1'А11р*<1>+ |
0Р*(2)) = Р’(1), |
|
|
|
||||
(11) |
|
S (Ь*(1) — р*(1))(Ь*(1) — р*(1))' = |
о2Ай‘. |
|
|
||||||
Прогноз |
для момента |
т (т >■ Г) |
равен |
b*(,>'Zx(1) |
= b*(1)'Zx ’ |
||||||
и имеет смещение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(12) |
г |
- у . ) = |
|
— Р-*.— р » # » = |
|
||||||
- - Р К|'(й г>-А„АТТ,й 1').
Его дисперсия равна
(13) |
Л(Ь*(1Ы 1) — Р’(,)'г^ )2 = а Ч ^ А й Ч 1), |
а среднеквадратичная ошибка есть
(14)8(Ь,{1Ч Х1)-У г)2 =
- Р<2)' (Z<2) - А21Ай‘г<1>) (z<2)' - ^ > 'А й 'А12) р(2>+ a2Zt' А й '^ ’ -Ь а2.
Пренебрежение вкладом от z*2) приводит, в общем случае, к смеще нию прогноза, но уменьшает его дисперсию. (См. упр. 18.)
2.6. |
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ |
35 |
В некоторых случаях можно ожидать, что прогнозирование проводится в ситуациях, когда векторы zT для последующих зна чений т подобны векторам zt для ранее наблюдавшихся значений. Сумма квадратов смещений
(15)2 1Р<2) (z*2)— A21A7T1ZJI))]2 =
ы
= 2 f y (zf> - A21An'z^) (z\2y - z|1)'An'A12)
= p(2)'(A2 2 - A 21A7l‘An )P(2)
пропорциональна параметру нецентральности распределения F- статистики для проверки гипотезы р(2) = 0 . Этот факт можно счи тать еще одним основанием для предпочтения F-критерия всем другим критериям для проверки этой гипотезы.
2.6. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Приведенные процедуры проверки гипотез и построения дове рительных областей были основаны на предположении о том, что наблюдения распределены нормально. Если предположение о нормальности не выполняется, то эти процедуры все же мож но применять для больших выборок, используя асимптотическую теорию.
Теорема 2.6.1. Пусть yt = $'zt + щ, t = висимы, имеют нулевые средние, дисперсии а2
1, 2 ,..., где все щ неза
ифункции распределе
тT
ния |
Ft (и), t — 1, 2......... Положим |
Аг |
— 2 |
z<z<> |
Сг = 2 |
Уflu |
|
|
|
0 . . . |
0 |
|
|
|
|
(1) |
0 |
|
|
|
|
|
|
Dr — |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 . . . |
V alP |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
Rr = |
Dr Ar Dr *• |
|
|
|
|
|
Предположим далее, что (i) |
an -*■ oo |
при |
T -> |
oo, |
i — 1 , |
..., p, |
|
(ii) |
zlr+t/afi -► 0 при T o o , i = 1 , |
..., |
p, ^Hi) Rr R^ |
при |
|||
36 |
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА |
Гл. 2.. |
|
Т -> |
оо, (iv) Rco невырождена и (v) |
|
|
(3 ) |
sup |
f u*dF |
|
|
‘=1.2, |
\u\>c |
|
при с -у оо. Тогда Dr (Ьг — Р) имеет, в пределе нормальное распре деление с нулевым средним и ковариационной матрицей CT2R~‘ .
Доказательство- Прежде всего имеем
(4)Dj- (Ьг ■— Р) — Dr (Аг 'сг — Р) =
А ( ы |
, + |
г,р)-р |
= (D ^A rD f1)- 1 |
DF1 2 |
ztut. |
Т |
м |
|
|
|
Мы докажем, что D71 2 ztut имеет в пределе нормальное распреде- i=i
ление с нулевым средним и ковариационной матрицей o2Roo, если
удастся показать, что для любого |
вектора |
а, а Ф 0 , |
величина |
||||||||
т |
гм, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 'D f‘2 |
имеет в пределе |
нормальное распределение с |
нуле- |
||||||||
i=i |
|
и дисперсией aW R^a. |
(См. теорему 7.7.7.) |
Пусть |
|||||||
вым средним |
|||||||||||
yf =• a'D f'z, |
= 2 |
(aAi/Vaj), |
t = |
1, |
..., |
T, |
T = 1,2...; |
тогда |
|||
|
|
/=i |
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
Var ( 2 yJut) = |
а22 |
(yf)2 = |
oW RTa. |
|
|
||||
|
|
|
W i |
/ |
t=i |
|
|
|
x |
|
|
Положим |
|
|
|
_____ |
|
|
|
|
|
||
wj = yfut/(oV c t'Rra). Тогда I wf = 0 , 2 Var(ayf) = 1 и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=l |
|
|
(6) |
2 |
i |
|
|
____ S_____ |
|
||
|
(=1 |
|OJ|>6 |
|
(=1 |
и2>62[<*'RfU/iytT)2](J2 |
|||
|
|
|
|
1 |
sup |
j |
|
u2dFt(u)^y 0 , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(=1,2,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
«2>62[a'RT’C*/ max (V/7,)2]g? |
|||
где |
Ff (да) — функция |
распределения |
случайной |
величины wf, |
||||
t = |
1, |
..., Т. Сходимость к нулю правой части (6 ) вытекает из (3) |
||||||
в силу |
неравенства. |
|
|
|
|
|
||
(7) |
шах | yf I = |
max |
|
< |
У К |
I max |
I гjt I |
|
|
|
Г |
1 = 1 ,...,Т |
Й |
“ ' У*и |
М |
« ... |
т Г т |
V £ *
2.6. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 37
правая часть которого сходится к нулю в силу (i), (И) и приводимой ниже леммы 2.6.1. Выполнение условия (6 ) Линдеберга — Феллера
влечет |
за |
|
собой нормальность |
предельного распределения |
|
т |
|
|
|
a'D г 1 2 ZA- Юм. Л оэв (1963, § 21.2) |
или теорему 7.7.2.] Таким об- |
|||
|
(=г |
т |
|
|
разом, |
D f1 2 |
ztut имеет в пределе нормальное распределение с ну |
||
левым средним и ковариационной матрицей a2Roo, а Dr (Ьг — Р) имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и
ковариационной матрицей <r2R“ ' . ш
Л емма 2.6.1. Если (i) ajt -+ оо и (ii) zlr+ilal |
О, mo |
||
|
|
m ax z% |
|
(8) |
|
|
|
при Т - у |
оо. Обратно, из условия (8 ) вытекают условия (i) и (И). |
||
Д оказательство. |
Пусть t(T ) — наибольшее значение /, t = 1, ... |
||
для |
которого |
zftrn — max z%. При этом |
{7 (Т)} — неубы- |
|
|
/= 1, ...,г |
|
вающая последовательность целых чисел. Если она ограничена, то пусть ее максимум равен т. Тогда
м |
...г |
Z(.2> |
|
cix |
■0 . |
||
(9) |
|
|
|
в силу (i). Если же t (Т) |
оо при Т —>■0 0 , то |
||
m ax zy |
2 |
|
|
( 10) |
^ |
г И (Т) |
|
т |
<(Г)—i |
|
|
|
О,а |
аи |
|
в силу (И). Доказательство обратного утверждения предоставляется читателю. ■
Следствие 2.6.1. Пусть yt = fl'zt + щ, t = 1, 2....... где все щ независимы и одинаково распределены с нулевыми средними и диспер - сиями or2. Если выполнены условия (i) — (iv) теоремы 2.6.1, то Dr (Ьг — р) имеет в пределе нормальное распределение с нулевым
средним и ковариационной матрицей CT2RF' .
Следствие 2.6.2. Пусть yt = P'z( + |
ut, 7 = 1 , 2, |
где все |
ut независимы, имеют нулевые средние |
и дисперсии а2, |
и пусть |
выполнены условия (i) — (iv) теоремы 2.6.1. Воли существуют такие
6 > 0 и М > 0, что $ |
< М, t = 1, 2, |
.... то Dr |
(br — Р) |
имеет в пределе нормальное |
распределение |
с нулевым |
средним и |
ковариационной матрицей o2R^‘.
38 |
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА |
Гл. 2. |
Теорема 2.6.1 в несколько отличной форме была получена Эйкером (1963). Оба следствия используют более ограничительные до статочные условия. Если в следствии 2.6.2 условие (ii) заменить ус
ловием равномерной ограниченности zt zt, то соответствующий ре зультат может быть достигнут прямым применением центральной предельной теоремы Ляпунова. (См. упр. 20.) Однако условие огра
ниченности zt zt слишком обременительно для наших целей, по скольку полиномы от t ему не удовлетворяют.
Т еорема 2.6.2. В |
условиях теоремы 2.6.1, следствия 2.6.1 "~или |
следствия 2 .6 .2 статистика s2 сходится по вероятности к а2. |
|
Д оказательство |
Поскольку |
(ii) |
2 № ~ PV - 21 Ufr - |
bTZ'} + (b7 ~ Р>' г$ |
= |
||||
|
<=| |
(=i |
|
|
|
|
|
|
|
= i j |
(У, - |
brz/ |
+ (br - |
P)' АГ (br — p), |
|
|
2 |
(У‘ —P' z<)2 |
|
|
|
|
|
(12) |
--- ---- f ------------(br — P)' |
Ar (br — P). |
|||||
Второй |
член в (12) |
неотрицателен. |
Его |
математическое ожидание |
|||
равно |
|
|
|
|
|
|
|
(13) ^ |
я (Ьт - Р)' Аг (br - |
Р) = |
~ |
- tr ЯАг (br - |
р) (Ь г-р)'« - |
||
и стремится к нулю при Т оо. Отсюда в силу неравенства Чебы шева следует, что второй член в (12) сходится по вероятности к нулю. Утверждение теоремы вытекает теперь из закона больших чисел:
|
7 |
|
|
|
т |
1 |
|
|
2 |
(Ут Р 2*)2 |
|
2 ut |
2 |
|
|
(14) |
plim — ---- „---------- |
рНгп Щ — = |
рНш Щ — = |
<т*, |
|||
|
Т -ю с |
1 |
|
Т-+ГЗО |
' |
Т -*оо * |
|
где xt — tfi и %xt — &Ы/ = |
сг2. (Здесь plim означает сходимость по |
||||||
вероятности. — Ред.) Этот |
закон |
можно |
применить, поскольку |
||||
в условиях леммы 2 .6 .1 |
xt |
одинаково распределены, |
в усло |
||||
виях леммы 2.6.2 |
& |х<| 1+л/2 |
< М [см. Лоэв (1963, § 20.1)1, |
а в усло |
||||
виях теоремы 2 .6.1 |
|
|
|
|
|
||
(15) |
|
sup |
( |
xdG, (*)->-0 |
|
||
|
|
<-1.2... |
|
|
|
|
|
УПРАЖНЕНИЯ |
39 |
при d -> оо, где Gt (х) — функция распределения случайной величи ны л;, = 1$. [См. Лоэв (1963, § 20.2) и упр. 21.] в
Значение приведенных теорем состоит в том, что, опираясь на них, обычную теорию для нормального случая при больших объ емах выборок можно использовать с достаточной точностью и в тех ситуациях, когда наблюдения не являются нормально распределен ными. Мы увидим в § 5.5, что в случае процесса авторегрессии, в котором p'zj заменяется линейной комбинацией наблюдений yt при запаздывающих значениях переменной t, возможно дальнейшее развитие асимптотической теории, оправдывающей применение соот ветствующих процедур для больших выборок, когда предположе ние о нормальности не выполняется. В § 5.5 асимптотическая теория будет обобщена и представлена более подробно.
В разд. 10.2.4 подобные теоремы будут доказаны для последова тельностей {щ)%образующих стационарный случайный процесс ти па скользящего среднего.
ЛИТЕРАТУРА
Теория регрессии рассматривается более полно в ряде монографий, в числе которых: Грейбилл (1961), Дрейпер и Смит (1966), Кемпторн (1952), Кендалл и Стьюарт (1946а), Плэкетт (1960), Уилкс (1962) и Уилльямс (1959), Шеффе (1959).
§2.2. Т. Андерсон (1958).
§2.4. Т. Андерсон (1948).
§2.6. Лоэв (1963), Эйкер (1963).
УПРАЖНЕНИЯ
1. (§ 2.2) Докажите, что вектор Ь, определенный в (5), минимизирует 2 (Ут~
/=1
— b'z*)2 относительно Ь. Указание. Показать, что
тт
2 |
(Ут — b'z<)23= 2 (У‘ — b'z')2 + |
(ь — Ь)' A (b — Ь).1 |
|
t-i |
<=1 |
J |
|
2, (§ 2.2) |
Проверьте (8) |
и (9). |
|
3. (§ 2.2) Докажите теорему Гаусса — Маркова. Указание. Показать, что
если компоненты ^ аWt являются несмещенными оценками компонент вектора |),
ы
где а/ ~ A lzt + d/, t = 1, ..., Г, a ai, ..., аг и di, ..., dr суть р-мерные векторы,
40 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Гл. 2.
т
то 2 |
dtZf = |
0. П о к азать, что дисперсии этих оценок будут диагональны м и элемен- |
||||||||||||||||||||
t=l |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тами м атрицы |
о^А - "1 + |
а 2 2 |
|
<ЭД*- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
^ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
(§ |
2.2) П окаж и те, |
|
|
что |
л |
и а 2 = |
(Т — р) s2/T являю тся |
оценками м акси |
||||||||||||
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||
м ального правдоподобия |
д л я |
р |
и |
а 2, если |
уи |
|
У? |
независим ы |
и |
норм ально |
||||||||||||
распределены . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5» |
(§ 2.2) |
П окаж и те, |
что |
b |
и |
s2 |
образую т |
множ ество достаточны х |
статистик |
|||||||||||||
д л я оценки значений р и а 2, если уи ..., ут независим ы и норм ально распределены . |
||||||||||||||||||||||
^У /созш ш е. П оказать, |
что плотность |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(2яа*)_ |
Т Г ехр {— ~ |
|
[(Ь — р)' А (Ь — Р) + |
(Г — р) s2] / а 2| |
.j |
|
|||||||||||||||
6 . |
( § 2.2) |
Д о к аж и те, |
что |
|
|
если |
g y = |
Z p |
|
и |
%( у |
— - Z P ) |
( у — |
Z P ) ' |
= |
а 21, то |
||||||
ковари аци онная |
м атрица |
остатков |
у |
— Zb |
равн а |
а 2 (I — ZA —1Z '). |
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
( § 2 .2 ) |
Д о к аж и те, |
что в |
|
услови ях упр . |
|
6 имеет место |
соотнош ение |
g (у — |
|||||||||||||
— Zb) |
(b — р )' = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
(§ 2 .2 ) |
П усть |
невы рож денн ая |
м атрица |
А и обратн ая |
ей м атрица |
В = А-"1 |
|||||||||||||||
одинаковы м |
образом |
разбиты |
|
на |
блоки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
причем щтрица Ап невырождена. Решая уравнение АВ = I в блочном виде, убе дитесь, <ГТ0
(a) |
В12В221 “ |
— |
*Ai2, |
(B) |
В22 = |
(А22 |
A21AJI*A12) * |
9. (§ 2.3) Покажите, что если матрица G = (£ф невырождена и имеет тре
угольную форму, так что gij = 0, t < /, то таковой же является и матрица G“ !
10. (§ 2.3) Пусть yt — разность между yt и выборочной регрессией на z^!)
и— разность между z p и его формальной выборочной регрессией на z p .
(a) Покажите, что %yt — p(2^ z/2*. |
|
(b) Покажите, что оценка наименьших квадратов для р(2\ |
построенная по |
y t и z p в соответствии с (а), совпадает с оценкой, построенной |
по y t и zf. |
11.(§ 2.3) Докажите, что D = Г .
12.(§ 2.3) Пусть z*kt — переменные, полученные ортогонализацией перемен
ных zkt, f = 1, ..., Т, а р +# = (Р*^^Р*^2^ ) — соответствующим образом преобра
зованный вектор Р' = (Р(1) Р(2)/). Докажите, что статистика (12) из § 2.2 для про
УПРАЖНЕНИЯ |
41 |
верки гипотезы Н: р(2) = 0 имеет вид
|
2 |
аи(ьУ |
|
2 |
b'fi |
2 |
(c*)2/% |
|
|
i=r-fl______ _t=r-f1 |
l=r+\______ |
||||||
|
(P — r) S2 |
~ |
( p — r) s 1 |
(p — r) S* |
||||
13. |
(§ 2.4) Д окажите алгебраически, |
что разность между (14) и (11) полож и |
||||||
тельно |
полуопределена. |
[Указание. |
Эта разность |
отличается лишь множителем |
||||
а 2 от матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Z'Z)-1 [Z'VZ— Z'Z (Z 'y - ’ZJ-’ Z'Z] (Z'Z)-1, |
|||||||
которая положительно |
полуопределена, если таковой же является матрица |
|||||||
|
(Z '4 r ~ lZ |
Z 'Z |
\ = |
( Z ' r ~ l\ |
vce-'z z).] |
|||
|
\ |
Z 'Z |
Z'4rzj |
\ 7.' I |
|
|
||
14. (§ 2.5) Проверьте, что из теоремы Гаусса — Маркова вытекает, что b'zT
является наилучшей линейной несмещенной оценкой для P'zr .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
15. (§ 2.5) П окажите, что если |
линейная |
оценка ^ ktyt математического ожи- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=I |
|
|
|
дания прогнозируемого значения |
является |
смещенной, |
то средняя квадратичная |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
ошибка неограничена. [У казание. Если %^ |
ktyt ;£ |
|
P 'zx для Р = у, то рассмотреть |
|||||||||||
Р = |
k y |
при |
k |
оо .] |
|
|
t=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
16. |
|
(§ |
2.5) П окажите, что односторонние |
|
доверительные интервалы для про |
||||||||
гноза у х |
с коэффициентом доверия (1 — е) задаются соотношениями |
|
|
|||||||||||
И |
|
|
|
|
Ух < ь'гх+ lT—p(2е) s У 1+ 4 А |
Ч |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 'zT — |
tT_ p (2е) S У \ |
+ z ' A |
|
'z T < |
у т. |
|
|
||
|
17. |
|
(§ |
2.5) П окажите, что доверительная область для прогнозов у х и у р |
(т > Т, |
|||||||||
р > |
Г , т Ф р) |
с |
коэффициентом доверия (1 — е) выражается соотношением |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 + z^A |
\ |
г хК —иР |
, |
1 /Ь'*, — ifx |
|
|
|||
(b'zT— у х |
Ь'гр — у р) |
|
гх |
1 +<А —ц |
|
|
< 2s2F2,r_p (®) |
|||||||
|
|
|
|
|
ZPA |
' |
'b 'z „ — |
|
|
|||||
|
18. |
(§ |
2.5) |
Докажите, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ,,' А Й ,* Х1)< < |
zT'A _ I zT. |
|
|
|
||||
[Указание. Использовать (7).] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
19. (§ 2.6) Докажите следствие 2.6.2, используя теорему 2.6.1. |
|
|
|||||||||||
|
20. |
(§ |
2.6) |
Д окажите |
следствие 2.6.2 |
(без использования теоремы |
2.6.1), |
в |
||||||
котором |
условие (и) заменено условием (И') существования константы |
L,, такой, |
||||||||||||
ч?о |
i p t |
|
L, |
/ |
= I, ?; .,. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА |
Гл. 2. |
21. (§ 2.6) Докажите, что из (15) при Т оо вытекает
(О
t= 1
т
(И) |
-f" |
2 |
{ |
(*)-»■ о», |
|
|
|
t= l |
х < Т |
|
|
|
|
Т |
|
|
|
(П ) |
^ |
2 ( |
I |
x4GtW - |
xdGt (лс) |
|
|
*= 1 |
1дг<7' |
|
- |
[условие Лоэва |
(1963, § 20.2)]. | У казание. Д ля |
произвольной константы d ' n T > |
|||
> d ' показать, что первый член последнего соотношения оценивается неравенством
т |
|
т |
^ ч г 2 |
I хЧ°* w |
fs 1d' < x<T |
М |
O^ x^ d' |