книги / Статистический анализ временных рядов

3 .3 . СГЛАЖИВАНИЕ 63

Общая основа для большинства формул сглаживания состоит фактически в подборе сглаживающего полинома по (2 т + 1) по­ следовательным наблюдениям и в использовании этого полинома для оценки тренда в средней точке. Поскольку оценки коэффициен­ тов полинома зависят от наблюдаемых значений линейно, то ли­ нейной является и оценка тренда. Вследствие этого она имеет вид

(2). Предположим теперь, что тренд f (t + s) в точках t + s =

— t — m, ..., t + m можно приблизить полиномом

эффициенты этого полинома можно оценить на основании наблюде­

s==— т

В силу симметрии для любых нечетных степеней k сумма величин sk по всем значениям s от —т до + т равна нулю. Поэтому в соотно­ шении (10) для четных / равны нулю коэффициенты при аи а3, ... , а для нечетных / равны нулю коэффициенты при а0, <ц, ... . Посколь­ ку оценка для f (t) должна быть и оценкой для ft (0 ) = a 0, то до­ статочно решить (10) относительно a„. С этой целью воспользуемся уравнениями с четными /, т. е.

т т т

Заметим, что уравнения, которые необходимо решить для опреде­ ления а0 при нечетном значении q, в точности совпадают с уравне­ ниями, которые надо решить для определения а0 при меньшем на единицу (четном) значении q. (Нам необходимо исследовать только степени 0 , 2, 4 и т. д.) Пусть [q/2] = k. Тогда (11) можно записать в виде

т т т

Коэффициенты в левых частях этих нормальных уравнений зависят только от т. Коэффициенты при и yt+s в правых частях совпа­ дают, s = 1, ..., т. Решением (13) относительно а0 является

с c_s = cs. Заметим, что коэффициенты cs зависят от т и k и явля­

ются полиномами от s. Из (14) вытекает, что у] = а0. Используя (14) и замечая, что если yt+s = a, s = —т, ..., т, то ft (s) == а — наи­ лучший выравнивающий полином, можно получить соотношение

k = 2 и нескольких значений т. Случай k = 1 (д = 2 или 3) иссле­ дован выше, а случай k = 2 (q = 4 или 5) вынесен в упр. 22. Кен­ далл и Стьюарт (1966, разд. 46.5) приводят коэффициенты для дру­ гих случаев и обсуждают связанные с ними формулы сглаживания.

Необходимо отметить, что при m < £ коэффициент а0 остается неопределенным. При т = k производится подбор полинома степени

тривиально, т. е. в него входит несколько значений yt |_s. В простей­ шем из таких случаев U, т = k + 1 ,

Мы убедимся в этом в § 3.4, после того как получим ряд результа­ тов, связанных с последовательностями разностей.

3.3.2.Свойства процедур сглаживания

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых свойств указанных методов сглаживания. Одна из основных задач сглаживания со­ стоит в том, чтобы уменьшить случайную ошибку, т. е. сделать дис­ персию сглаженной последовательности малой по сравнению с дис­ персией исходной последовательности.

Теорема 3.3.1. Дисперсия величины у] = а0 равна

(2 2 ) о2Ь<>0= а2с0,

где Ь00 — верхний левый угловой элемент матрицы В-1, обратной к матрице В коэффициентов уравнений (13), элементы которой суть

Ь0о= 2 m + 1,

(23)«

3 ■J- = 0.333

54 - = 0.200

ОЖ - 0486

В табл. 3.4 приведены дисперсии некоторых сглаженных значений. Для фиксированного 6 дисперсия уменьшается с ростом исполь­ зуемого числа точек. При фиксированном числе точек (т. е. при фик­ сированном т) дисперсия увеличивается с возрастанием 6 . Факти­

68 ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ Гл. 3.

чески для фиксированного значения т — k, которое вдвое меньше разности числа точек и числа неявно подбираемых констант, диспер­ сия увеличивается с ростом k.

Отметим также, что разность наблюдаемого и сглаженного зна­

чений (yf — y*t) не коррелирована с у), поскольку оценки коэф­ фициентов регрессии не коррелированы с остатками. (См упр. 7 гл. 2.) Поэтому

(28)Var (yt — y't) = а2 — Var у] = <т2(1 — с0).

Как было указано выше, последовательные сглаженные величи­

Мы изучим еще это явление в'гл. 7, после того как разовьем более мощный математический аппарат.

Если yt — f (f) + ut и используется сглаживающая формула с коэффициентами cs, то систематическая ошибка сглаженной вели­ чины имеет вид

Если сглаживающая формула основывается на полиноме степени q и тренд является полиномом той же (или меньшей) степени, то систематическая ошибка будет равна 0. В противном случае она отлична от нуля. Предположим, что k = 0 (q = 0 или 1) и коэффи­ циенты те же. Тогда систематическая ошибка выражается соот­ ношением

т. e. разностью между f (f) и средним арифметическим соседних зна­

ошибке

(33)%(yt - y < ) =

поскольку выравнивающий полином состоит из элементов соотно­ шения (32) степени до 2k или 2k + 1 включительно и ф*,2т-и (0) =

=0 для нечетных i. (См. упр. 30.)

Вгл. 4 мы будем изучать случай, когда среднее значение явля­

/ (/), 0 < X< 2я.

(См. упр. 31.) Таким образом, операция сглаживания здесь про­ сто уменьшает амплитуду функции f (/). Если X мало (т. е. период велик), то и это уменьшение мало (упр. 32). При фиксированном X большим значениям т (удовлетворяющим неравенству (2т + + 1) X < 2л) соответствует меньший коэффициент пропорциональ­ ности (упр. 33). Если 2m + 1 = 2л/Х (длина скользящего усредне­ ния равна периоду), то сглаженное значение равно нулю.

Основная цель сглаживания состоит в оценивании тренда, или ожидаемого значения yt с наименьшей ошибкой. Ошибка склады­

вается здесь из смещения (30) и случайной составляющей и] —

—2 csut+s- Первую составляющую можно измерить ее квадратом,

авторую — ее дисперсией а2Ь°° = ст2с0. При фиксированном k смещение с увеличением т в большинстве случаев возрастает, а дисперсия убывает. В то же время при фиксированном m смещение с увеличением k убывает, а дисперсия возрастает. Статистик, кото­ рому приходится использовать сглаживающую формулу, должен выбрать значения k и т. Он мог бы использовать в качестве меры ошибки среднеквадратичную ошибку, которая является суммой указанной дисперсии и среднего квадрата смещения. Если бы дис­ персия а2случайных ошибок щ была известна и если бы были извест­ ны средние квадраты смещений для каждой комбинации k и т, то статистик смог бы выбрать комбинацию k и т, минимизирующую эту меру ошибки. Однако здесь трудно дать какую-либо рекоменда­ цию, поскольку дисперсия и среднеквадратичное смещение ведут

70 ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ Гл. 3.

себя в отношении k и т противоположным образом. Если а2 мало, то можно удовлетвориться относительно малым т.Чем более гладкой является f (f), тем меньшим может быть выбрано k при фиксирован­ ном т (или тем большим выбрано т при фиксированном k). В дейст­ вительности, конечно, эти характеристики не известны, а должны быть оценены по имеющимся данным. Поэтому выбор k n m является статистической задачей со многими решениями, которую трудно даже сформулировать, не говоря уже о ее строгом статистическом решении. Поэтому практик должен действовать здесь исходя из своей интуиции и накопленного опыта.

Другой подход состоит в том, чтобы выяснить, каково наимень­

его гибкость в том смысле, что предположения, при которых его можно использовать, не очень обременительны. Однако, поскольку этот метод не основывается на явной вероятностной модели, свойст­ ва его не вполне определены и статистические выводы ограничены. Например, тренд здесь не определяется малым числом параметров, для которых можно было бы указать доверительные области. Не­ возможно проверять гипотезы относительно тренда. Нельзя непо­ средственно связать функцию, оценивающую тренд, с теорией или с моделью образования наблюдаемого ряда. При сглаживании оце­ нивающая тренд функция годится скорее для целей описания, не­ жели для целей анализа ряда и его интерпретации. Из-за того, что этот метод не базируется на явной вероятностной модели, он не может быть изложен полностью и строго в терминах математической статистики (по крайней мере кратко).

Имеется и серьезная практическая трудность в применении сгла­

Поскольку эта процедура основывается на наблюдениях уъ ..., ут,

то первым сглаженным значением будет Ут+\> а последним у*т-т- Тем самым, мы не имеем оценок тренда в начале периода наблюде­ ний и в его конце. Для оценки тренда в этих точках необходимо при­ влекать какие-то другие соображения.

Сглаживание само по себе, конечно, не дает средних прогнози­ рования. Экстраполяция оцененного тренда весьма ненадежна от­ части из-за того, что тренд не оценивается для последних т мо­ ментов времени.

Мы основывали сглаживание на нечетном числе членов с сим­ метричными весами. Если используется четное число членов с сим­ метричными весами, то сглаженное значение интерпретируется как

3.3. СГЛАЖИВАНИЕ 71

оценка тренда в точке, лежащей посередине между двумя средни­ ми точками. Это может оказаться неудобным.

использующих равные веса. Конечно, при наличии быстродействую­ щей вычислительной машины нет никакой нужды упрощать коэф­ фициенты.

Сглаживание с использованием скользящего среднего имеет длинную историю, причем к нему пришли первоначально с точки зрения, отличной от статистической. [См. Уиттекер и Робинсон (1926).] Иногда бывает необходимо интерполировать между точками, в которых наблюдения производились. В интерполяционных форму­ лах используются последовательные разности. Для того чтобы эти разности вели себя гладким образом, перед интерполированием можно применить формулы сглаживания. С этой точки зрения две сглаживающие процедуры эквивалентны с точностью до некоторого порядка, если разности этого порядка согласуются для каждой пары сглаженных рядов, полученных в результате применения этих двух процедур. (См. § 3.4.) Говорят, что процедура является точ­ ной до разностей некоторого порядка, если она не нарушает разно­ стей этого порядка для полиномов. Одной из часто используемых процедур, точных до разностей третьего порядка, является 15-то­ чечная формула Спенсера. Эта процедура выполняется таким обра­ зом. Сначала вычисляются величины

(35)у\ = (— 3t//_2 + 3yt—\ + 4yt -f- 3yt+] —3 r/*_j-2)/4,

затем усредняются (с равными весами) 5 последовательных у), да­ лее — 4 последовательных члена полученного ряда и, наконец, усредняются 4 последовательных члена последнего ряда. Другой процедурой, сохраняющей разности третьего порядка, является 21-точечная формула Спенсера, соответствующая вычислению ве­ личин

и поочередному усреднению 7, затем 5 и 5 членов получающихся рядов. Обе эти процедуры сравнительно легко реализуются,