книги / Экспериментальная физика и механика горных пород

Нормальные напряжения o', действующие на площадке b—d, равны

Тх 2 TF COS45°

о= — = ----------------= т.

Fx 2F cos 45°

Предельное сопротивление отрыву по площадке Ъ— d, которое встречает напряжение о', составляет сумму:

(о 2 + о р),

•где о 2 — боковое давление; а р — сопротивление отрыву. Отрыв и образование трещины по площадке Ъ—d произойдет

при условии

а '= т = ( а 2 + а р).

Из соображений, что величина сопротивления отрыву а р для горных пород обычно пренебрежимо мала по сравнению с прочно­ стью на сжатие в условиях высоких давлений, получаем

т = о 2,

что и требовалось доказать.

Правомочность условия (1.23) была подвергнута эксперимен­ тальной проверке на нескольких типах пород. Результаты, получен­ ные на образцах уральского мрамора, показаны на рис. 1.56 [102].

Рис. 1.56. Диаграмма механического состояния уральского мрамора и экспери­ ментальные результаты, фиксирующие начало процессов трещинообразования при простом и сложном путях нагружения.

91

Фиксация начала роста объема образцов в результате деформа­ ции при разных условиях эксперимента осуществлялась с помо­ щью U-образного жидкостного манометра, одна ветвь которого была герметически связана с центральной частью испытуемого в камере высокого давления образца, другая ветвь манометра была соединена с атмосферой. Связь манометра с центральной по высо­ те частью образца, где, как показали специальные исследования, в первую очередь происходит развитие трещинообразовательных процессов, осуществлялась через отверстие диаметром 2 мм, про­ сверленное вдоль оси образца до середины его длины. Схема ис­ пытаний приведена в главе 4 на рис. 4.4.

Как только начиналось разрыхление материала, вакуум в образу­ ющихся пустотах втягивал воздух, имеющийся в отверстии и в труб­ ках, связанных с манометром. Это меняло уровень жидкости в U-об- разном манометре, что и позволяло определять начало трещинообразования и объем образующихся пустот. Полные кривые изменения объема порового пространства в материале (включающие и участок уменьшения объема на начальной стадии нагружения) в процессе опыта, атакже некоторыедругие результаты этих опытов приведены на рис. 4.8— 4.11. Здесь же на рис. 1.56 изображена диаграмма ме­ ханического состояния для уральского мрамора, на которой отмече­ ны точки начала роста объема в материале. Нагружение образцов осуществлялось при сложном пути нагружения при разных уровнях давления а 2 (пути обозначены вертикальными линиями со стрелка­ ми) и при простом пути нагружения при значениях параметра С, рав­ ных 0.31 и 0.4 (пути обозначены наклонными лучами со стрелками). Крестиками отмечены значения напряжений т \ при которых нача­ лось трещинообразование в условиях сложного нагружения при раз­ ных значениях а 2. Кружками обозначены аналогичные результаты, полученные при простом нагружении. Начало трещинообразования при двух путях нагружения происходит практически при одинако­ вых значениях касательного напряжения т *. Этот эксперимент явля­ ется прямым доказательством того, что в зоне А, лежащей выше ли­ нии пределов упругости (но ниже критической линии, теоретически определяемой условием т = а 2 или С = 0.333), процесс необратимой деформации носит чисто пластический характер, т. е. протекает без увеличения объема, замеренный в опытах коэффициент необрати­ мой поперечной деформации ц равен 0.5, а угол а наклона плоско­ стей деформации со равен 45°.

Один из вариантов объяснения причин отклонения эксперимен­ тальной критической границы от прямолинейной границы, харак­ теризуемой условием т = с 2 или С = 0.333, можно построить на анализе схемы деформации, изображенной на рис. 1.55.

В процессе деформации, особенно при больших давлениях а 2, когда деформации сильно возрастают, структурный элемент на

92

рис. 1.55 из формы квадрата а— b— с— d превращается в ромб а'—Ь'— с'— d'. При этом площадка b—d уменьшается и приобре­ тает некоторую величину Ь'—<f, площадки Ь'—с' и с'— d' остаются неизменными.

Уменьшение площадки Ь'—d' сопровождается ростом действу­ ющего на ней напряжения а ' даже при постоянном значении каса­ тельного напряжения х, что видно из следующих ниже рассужде­ ний.

Новая равнодействующая сила Т{ находится из выражения

Г,' = 2Fx cos(45°-y).

Площадку b'—d' обозначим и найдем ее величину:

cos (45°+ у)

ше единицы и с ростом деформации увеличивается; у — относи­ тельный сдвиг.

В соответствии с условием (1.22) и (1.24) запишем:

Для того чтобы образовалась трещина отрыва, достаточно напря­ жения с ', уменьшенного в К раз:

= х.

К

Согласно (1.22), а' = т, поэтому окончательно можно записать

х

(1.25)

1с

где т* — касательное напряжение начала трещинообразования при высоких давлениях с 2 и значениях параметра С > 0.333. На рис. 1.56 экспериментальные значения т* усреднены штриховой линией.

Вдиапазоне изменения угла сдвига у от 2 до 5° и при давлениях

с2 = 100, 125, 150 МПа величина коэффициента К меняется от 1.06 до 1.2. При таком изменении К в данных условиях расчетные значения т* достаточно хорошо совпадают с экспериментальными.

93

Обратим внимание на существенные различия, которые прояв­ ляются при. достижении одного и того же конечного вида напря­ женного состояния различивши путями нагружения. В условиях простого нагружения при значении параметра С < 0.333 все пути нагружения сразу с переходом через предел упругости попадают в зону напряженного состояния В (см. диаграмму механического со­ стояния на рис. 1.51). Это означает, что первая же сформирован­ ная на пределе упругости плоскость сдвига со будет содержать мик­ роплощадки отрыва Ь. Следовательно, сразу с переходом через предел упругости начнет расти объем порового пространства, зна­ чение коэффициента необратимой поперечной деформации ц бу­ дет больше 0.5, угол а наклона плоскостей деформации и разру­ шения будет меньше 45°.

При С > 0.333 лучи нагружения с переходом через предел упругости попадают в зоны А и Д где развитие необратимой де­ формации имеет чисто пластический характер, разрыхление от­ сутствует, д = 0.5, а = 45°. Данный анализ носит идеализирован­ ный характер, без учета показанного на рис. 1.56 отклонения критической линии от условия т = С2.

В условиях сложного нагружения картина деформации, анало­ гичная рассмотренной для условий простого нагружения при С < 0.333, имеет место в диапазоне боковых давлений с р < о 2 < < а 2][р. Картина деформации, аналогичная рассмотренной для условий простого нагружения при С > 0.333, имеет место в диапа­ зоне боковых давлений с 2 > a 2tp. Модель развития необратимой деформации в диапазоне давлений a 2lp < a 2 < a 2tp показана на рис. 1.57. Здесь условно рассмотрена ситуация при нагружении в условиях постоянного бокового давления а 2 = o f (см. диаграмму на рис. 1.51). При напряжениях на пределе упругости (точка L) появляется первая макроскопическая плоскость сдвига со, не со-

Рис. 1.57. Модель развития деформации в условиях сложного нагружения при пересечении двух зон А и В на диаграмме механического состояния.

94

держащая микроэлементов отрыва Ъ. Затем путь нагружения пере­ секает зону А, где с ростом напряжений число подобных плоско­ стей со возрастает. В этой зоне идет чисто пластическая деформа­ ция, р = 0.5, а = 45°. С переходом в зону В в плоскостях деформации со начинают формироваться микроэлементы отрыва Ъ, коэффициент р становится больше 0.5, угол а — меньше 45°. Экспериментальные графики, подтверждающие изменение значе­ ния коэффициента р с переходом из зоны напряженных состоя­ ний А в зону В, показаны на рис. 1.58 [102]. Результаты получены на мраморе при трех уровнях боковых давлений а 2 = 75, 125 и 150 МПа. Звездочками на графиках обозначены точки, соответст­ вующие пересечению границы между зонами А и В.

Рис. 1.58. Графики, демонстрирующие изменение коэффициента необратимой поперечной деформации р, с переходом через границу между зонами напряжен­ ных состояний А и В.

Из приведенных выше результатов исследований следует важ­ ный вывод о том, что достижение какой-то определенной точки на поле напряжений различными путями нагружения может характе­ ризоваться сильно отличающимися структурными состояниями по­ роды. Достижение этой точки по пути нагружения, проходящем через зону напряжений В, вызовет сильное разрыхление породы и увеличение ее проницаемости для жидкого и газообразного флюи­ да. Наоборот, следование через зону напряжений А сохранит в зна­ чительной степени исходную плотность и проницаемость породы. Этот вопрос подробнее обсуждается в главе 4.

На рис. 1.35 были продемонстрированы экспериментальные ре­ зультаты, свидетельствующие о сильном различии в величинах не­ обратимой деформации Агх при достижении одинакового конеч­ ного вида напряженного состояния по путям простого и сложного нагружения. Объяснить причину этого различия можно опираясь на экспериментальные результаты, приведенные на рис. 1.59 [66, 77]. Смысл величин Дт показан на диаграмме механического со-

95

Рис. 1.59. Зависимости значений напряжений Ат (сплошные линии) и необрати­ мых деформаций Aet (пунктирные линии) от параметра С для харарского мра­ мора (а), уральского мрамора (б) и талькохлорита (в) при одинаковом виде на­ пряженного состояния, достигнутого путем простого (1) и сложного (2) нагру­ жения.

стояния пород (рис. 1.51) при достижении точки I по путям про­ стого (С = Cj) и сложного (под давлением а^) нагружения. Таким образом, Дт является разностью напряжений на пути нагружения между пределом упругости и пределом прочности. Между напря­ жениями Дт и деформациями Агх имеется единая функциональ­ ная зависимость для двух рассматриваемых путей нагружения [67, 69]. Последнее демонстрируется экспериментальными графиками на рис. 1.60, полученными для тех же пород. Кружками обозначе­ ны точки, полученные при простом нагружении, крестиками — при сложном. Большим значениям Дт соответствуют и большие значения деформаций Д8Р этим и объясняются полученные раз­ личия в величинах деформаций.

На рис. 1.61, а изображены типовые полные зависимости между значениями деформаций Де1пр, Де1сл и значениями напряжений Дтпр и Дт^ от параметра С в диапазоне изменения С от нуля до 0.333. Зависимости построены на основании обработки диаграмм механического состояния и экспериментальных зависимостей

96

Ат, МПа

Рис. 1.60. Обобщенные (единые) кривые остаточной деформации для карарского мрамора ( а ) , уральского мрамора ( б ) и талькохлорита (*).

— С. На рис. 1.61, б изображена зависимость разницы значений Дтпр— Дт^ от параметра С. Из графиков видно, что разница меж­ ду величинами Агх и Дт для простого и сложного нагружения рав­ на нулю при значениях С = 0 и С = 0.333. Максимальное различие имеет место при С ~ 0.23 (рис. 1.61, б).

Модели, подобные изображенным на рис. 1.52, 1.54, позволяют получить математические зависимости для определения угла а ориентировки макроскопических плоскостей сдвига со и зависимо-

Рис. 1.61. Типичные полные зависимости необратимых деформаций (Де,пр, Де1сл) и напряжений (Дтпр, Дтга) при простом и сложном путях нафужения от параметра С (а) и зависимость разницы значений Дт —Дтга от параметра С (б).

сти для определения коэффициента необратимой поперечной де­ формации ц [69, 74].

На рис. 1.62 изображена модель для пояснения вывода зависи­ мости для угла а , которая имеет вид

b = Ьш т. При ш = 1 а » 18°, что совпадает с углом а , полученным при одноосном сжатии для многих горных по­ род. Для случаев, когда площадка сдвига состо­ ит из и микроэлементов сдвига и составляет а = аш п, в формуле учитываются только микроэлементы а:

При т = 1 и п = 1 формулы (1.26) и (1.27) да-

Нют одинаковый результат: a * 18°. При т —>О,

Рис. 1.62. Модель, поясняющая вывод формулы для определения угла ориентировки плоскости сдвига от­ носительно оси образца.

98

ос —> 0, что соответствует условию чистого отрыва. При т —» 0, а п —> °° угол а —> 45°, что имеет место при чистом сдвиге.

Вывод зависимости для определения коэффициента необрати­ мой поперечной деформации ц поясняется моделью, изображен-

Рис. 1.63. Модель, поясняющая вывод формулы для определения коэффициен­ та необратимой поперечной деформации д.

ной на рис. 1.63. На рис. 1.63, а показан случай сдвига по плоско­ сти (о в сплошной однородной среде без образования микроразры­ вов. Коэффициент д , для этого случая находим из соотношения:

Множитель — введен из соображений о существовании сдвига в

двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Вывод зависимости для определения коэффициента д в соответ­ ствии с моделью неоднородной среды поясняется рис. 1.63, б ив. Здесь деформация проходит по ступенчатым поверхностям со, со­ стоящим из площадок сдвига а и отрыва Ь. Прежде всего необхо­ димо определить число IV, плоскостей со, укладывающихся на еди­ нице длины в направлении продольной деформации Д е,, и число N2 плоскостей со, укладывающихся на единице длины в направле­ нии поперечной деформации Де2:

b tg a ’

99

Здесь величина Ъ рассматривается и как площадка отрыва и как расстояние между плоскостями со и со, в направлении продольной деформации. Располагая значениями Nl и N2, найдем величины де­ формаций Де, и Де2:

Де, = Де|Л/,, Де2 = Az2N2.

Здесь AeJ — перемещение в направлении главной деформации Д е,, вызванное сдвигом Да по одной плоскости со; Ае2 — анало­ гичное перемещение в направлении Де2. Пояснение дано на рис. 1.63, в, где изображена единичная микропара «сдвиг— от­ рыв», из которых состоит плоскость со. Поскольку угол наклона микроплощадки а принят 45°, получаем равенство

Учитывая, что деформация Де2 проявляется в двух взаимно пер­ пендикулярных направлениях, приведенное выражение для р необ­ ходимо умножить на 1/2:

Д е2 1 ____1 _

(1.29)

Д е, 2 2 tg a

Как видно из формул (1.28) и (1.29), учет микроразрывов, отра­ женных в модели, приводит к выводу, принципиально отличающе­ муся от того, который получается из предложения о сохранении сплошности тела при его сдвиговой деформации. При этом в удов­ летворительном соответствии с экспериментом находится уравне­ ние (1.29), учитывающее явление нарушения сплошности. Уравне­ ния (1.28) и (1.29) дают одинаковый результат р = 0.5 при a = 45°, когда наступает деформация чистого сдвига. Коэффициент р зави­ сит только от угла а и не зависит от числа плоскостей сдвига со. В свою очередь угол а зависит от параметра С и бокового давления с 2, что демонстрирует структурная статистическая модель.

На рис. 1.45 и 1.37 приведены экспериментальные зависимости угла а и коэффициента р от параметра С для карарского и ураль­ ского мраморов и талькохлорита. Указанные экспериментальные зависимости хорошо описываются следующими эмпирическими уравнениями:

ще а 0и р 0 — значения угла и коэффициента, полученные при од­ ноосном сжатии; D и У — эмпирические постоянные.

100