книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

Остановимся такж е на случае в) соотошений (7.15), так как при

ре­

шении краевы х задач М ВФ Г с ростом количества приближений,

или

чениях

аргумента.

И так,

если т

р ( т

^

2), то согласно асимптотическим разложе­

ниям [133] для

отношений

(7.13)

имеем

Н

!

. ' М т '

р)] [ 1

, <р‘ ('п ~

1' р ,Г

V - 1(Р)

Р )

т —1Г 00

1 Г 00

—1

— 1, pjV)

lm—1(Pn>

Рлг

Е

Ф* ( т — 1, р) I | Е Фа ( т

[ т —2

-] Гт—1

Кт -

1(Р)

Е ё к ( т — 2, р)

Е & ( « — *. Р)

Кт

(Р)

л=о

J U=o

J

I

Кт

(Р)

\ —т Гт —1

1Гт —1

Кт (Ро)- = ( - £ - )

L

§ (ш -

1 ■p,J L s

ч

где

Фа ( т , р) = ■

( + f

<7 1 8 >

i r e W

(7.17) можно проводить

с допустимой

погрешностью при m < 100.

Например, при m = 8,

1,0 < 1 р < 1,4

значения отношений, вычис­

кратны е

(xi./ =

х2,/)?

то

функции

и Фз() имеют прежний вид

(7.10), а функция

Ф 2{/ может быть выбрана в форме

*m lP)

cosm 0

Ф Й

- т ^ - 2

Ё

^ - г т г г +

ВЙ */'

sin Я„г.

^m+l (Po)

sin m0

C».N ^ O n t i l

lm

(7.19)

В случае комплексно-сопряженных

корней

уравнения (2.65) (х)(/ =

= х/ +

lx), х 2,/ =

х/ — ix/)

функции

Ф $ (i =

1, 2)

определяются вы­

ражениями

ф

й

- т

^ - Е

Е

А

. /

4 Й

+

(7.20)

Re Л п-1 (Рлг)

CAAtN

"

т=0 п=1 .

^

Гр)

cos т 0

+

Bmn2,l

n sin лпг

Re Я<У (Ро)

sin т 0

Р =

А,„ ]/ | К;,/1 Г б 3

>

0; — arctg

— ,

рщ ~

Р 1г=г/п*

=

0,

I ,

ТД8 / т

(р),

(р),

Н (т (р) — функции

Бесселя

т - г о порядка соот-

зетств ен н о первого

и

третьего

рода.

Т аки м

образом,

на

основе

приведенных

представлений

ф ункций

■Ф$ (/ =

1, 2, 3)

и

формул

(7.11) — (7.12)

получаем

вы раж ения

для

•перемещений

и*/} и

напряж ений о $ ,ь

содержащ ие произвольные

по­

стоян н ы е

A m u , Bfrnt.i-

Они

определяются

из краевых условий

(3.61),

{3.62) и условий сопряж ения (3.57). В частности,

когда граничны е по­

верхности 5 0, S n и поверхности раздела S t описываются

уравнениям и

-(7.1),

(7.2),

а ф ункция

F

(г),

характеризую щ ая

внешнюю

н агрузку ,

•имеет вид (7.6), в

сумме (7.10) по п

для

ф ункций

Ф $

(i

=

1, 2, 3)

•отличной

от

нуля

во

всех

приближениях

будет только

п-я

состав­

л яю щ ая .

Следовательно,

для

определения

произвольных

постоян­

ных

Amnij, B lllij

( 1 = 1 , 2, 3)

получаем: в нулевом прибли­

жении (/ = 0) одну систему

линейных

алгебраических

уравнений

относительно

Bmni.i (m

=

0);

в

пер­

вом

приближении

(/ =

1)

две

системы

относительно

Amnu,

B Z u

( т

= k, 3k), а во

втором

приближ ении

(f — 2)

четыре

системы

относитель­

но

AmrtC.h B Z i.l

(/ft =

0,

2k,

4А, 6k). При этом порядок си­

стем зависит от

количества

I

слоев

цилиндра.

Н а

основе

полученного реш ения

переме­

щения

и напряж ения

опреде­

ляю тся с точностью

О (в3).

1.2.

Трехслойные изотроп­

ные

цилиндры.

Рассмотрим

трехслойный

толстостенный

цилиндр

с

внутренней

S 0,

внешней S 3 и поверхностями

раздела

слоев

и S 2.

Гео­

метрия

этих

поверхностей

описывается уравнениями (7.1), (7.2). В част­

ности,

при

(1 =

0,

k

— 8

пять

вариантов

их

поперечных

сечений

показаны

на

рис. 7.1:

I

(©J. =

1,

(00

=

щ

=

щ =

0),

I I

(со2 =

1,

со0 =

шх =

ш3 =

0),

I I I

(а>з =

1,

ш0 =

©, =

=

со2 =

0),

IV

(сох =

<о3 =

1,

щ

— щ

=

0),

V (©! =

©2 =

о)д =

1,

©0 = 0).

Д л я

этих

продольно гофрированных составных цилинд­

ров

проводились

числовые

расчеты при h =

== 6,

е

= 0,1.

П араметры

rt (l =

0,

1, 2, 3),

фигурирую ­

щие

в уравнениях

(7.1)

(радиусы

круговых

цилиндров г =

Г/,

к которым близки

поверх­

ности Si), принимались следующими: r 0 =

1,

гх =

1,2,

г2 =

1,4,

г8 =

1,6.

В

случае нагрузки (7.6),

отвечающей

внутреннему давлению

(р0 =

1, p N =

0,

п = 1), коэффициенты Пуас­

сона

слоев

V/

и

модули

сдвига

G; (I =

1 ,2 , 3) будут

следующими:

vt

=

0,05,

v2 =

0,25,

v3 = 0,45,

Gx : G2 : G3 =

I : 2 : 3,

а при внеш­

нем давлении

(p0 =

0, рн

=

I,

n

— 1) принят обратный

порядок чис­

ловых

значений

упругих

постоянных:

vx =

0,45, v2 = 0,25, v3 =

=

0,05,

G i : Ga : G3

=

3

2 : 1 .

Ч исловые расчеты показывают, что при указанных видах на­

грузки и формах поверхностей раздела определяющими

являются ок­

руж ны е напряж ения

omjlqzs (Qzs =

QoG3 sin Xnz). При этом концентра­

жесткому слою (рис. 7.2,

/, k

— 8,

р0 = 0, ры =

1). С увеличением

параметра k (частоты гофрировки)

увеличивается

кривизна соответ­

ствующей поверхности в ее экстремальных сечениях и,

следовательно,

возрастаю т максимальные

напряж ения. Н апример,

при изменении

частоты k в интервале 6

k ^

14 процентный вклад гофрировки по­

поверхности

S 3 (IV , z = 3,

0 = Зл/16)

увеличивается от

58,6

%

до

71,9 % (табл. 7.1). Оценим точность полученного приближенного

ре­

шения на основе критерия, изложенного в § 3 гл. 6.

Л егко

проверить,

Т а б л и ц а

7.1

Приближение

аее,з

ft

д<°) 0/

дО)

о/

?2S

нулевое

первое

второе

«3

^в.З1

*0,3’

/о

IV, 9 ==Зл/16

10,9

1,923

6

0,796

41,4

0,918

47,7

0,208

14

0,796

28,1

1,590

56,1

0,447

15,8

2,833

V, 0 =

Зл/16

6

0,796

44,9

0,848

47,8

0,128

7,3

1,772

14

0.796

28,0

1,643

57,9

0,401

14,1

2,840

условию , то его значение по отношению к сумме найденны х трех

при­

ближ ений, условно принятой за

100 % , даж е

при

к =

14

(IV ,

0 =

=

Зя/16) не превосходит 4,3 % .

Распределение

относительных

окружны х напряж ений

аео,i/qzs по

толщ ине трехслойного продольно гофрированного цилиндра

показано

на рис. 7.3 (варианты

II,

III, внутреннее давление) и рис. 7 .4 (вариант

I,

внешнее давление)

для

сечения г — 3, 0 = Зя/16 . П ри

этом ш три­

ховы е

кривы е на

рис.

7 .2 - 7 .4

соответствуют

случаю трехслойного

кругового цилиндра

с

псверхностями раздела

r0 =

1; г± =

1,2;

г2 =

=

1,4;

> 3 = 1,6.

1.3.

Трехслойные

трансверсально изотропные

цилиндры . Рассмот­

Т а б л и ц а

7.2

Приближение

"

ffee,/

3;П

нулевое

д(1) 0/

д(2) о/

4?.. %

первое

второе

Ozs

Sm

дел, /о

де,/, /о

I, 0 == Зл/16

$0

—3,080

90,9

—0,228

6,8

—0,078

2,3

—3,386

Si

—2,644

65,8

—1,063

26,5

—0,311

7,7

—4,018

II, 0 == л /16

So

—3,080

95,5

—0,115

3,6

—0,029

0,9

—3,224

S,

—1,215

68,1

0,452

25,3

—ОЛ19

6,6

—0,882

Д л я сравнения

на рис. 7.5 показаны соответствующие кривые 4

и 3 изменения указанны х

напряж ений на

поверхностях S 0 и S t изо­

тропного

цилиндра

(v! =

0,45; v2 = 0,25;

v3 = 0,05; G1 : G2 : G3 =

= 3 : 2 ;

1). А нализ этих

графиков показывает, что поле напряжений

но

аналогичный

характер. Подробные исследования влияния каж ­

дой

из упругих

постоянных сц на напряж енное состояние цилиндров

ев S lt

которые

описываю тся

уравне­

ниями (7.1), (7.2).

Геометрия

таки х

цилиндров определяется параметрам и

h, е, р, k , r t и

со, (/

=

0,

1,

2). В

част­

ности, на рис. 7.6 показаны попереч­

ные сечения

двухслойны х

поперечно

гофрированных

цилиндров

при

(5 =

=

0, k

= 8, е

=

0,1, r 0 =

1, гг =

1,3,

г2 — 1,6 и

следующих значениях

па­

раметров со/ для

пяти вариантов д вух ­

слойных цилиндров: / (% =

1, <о0 =

=

С02 =

0),

/ /

(С02 — 1,

СО0 =

COj =

0),

I I I

((»!

= С02

=

1,

СО0

=

0), IV

(о»! =

=

1,

©а =

—

1,

<00 =

0),

V (а>0 =

=

— 1,

со 1 =

со2 =

1).

В предположении,

что

указан н ы е

цилиндры

высотой

h =

6

находятся

под внутренним давлением, изменяю ­

щимся вдоль оси 2 по синусоидально­

му

закону

(7.6)

(Ро =

1. P i

=

0,

п =

=

1),

исследовалось их

напряж енное

Рис. 7.7

состояние

при

следую щ их

упругих

постоянных изотропных

слоев:

vx =

=

0,05,

v2 =

0,25,

G2

G |

=

2.

В ли яние

формы

гофра

на

относительные

напряж ения

omj/qzs

проиллю стрируем на

основе функции

(7.2),

где Р =

0 отвечает

вол­

нистая (синусоидальная),

Р =

V9 — трапецеидальная

и р =

— V9 —

треугольная

формы

поверхностей

раздела. Д л я этих

типов

поверх­

части контура поперечного сечения г =

3 ( / / / , k — 8, е = 0,1, r0 — 1,

г х = 1,3,

г2 =

1,6). Распределение ooe,t/qzs по толщ ине

цилиндра для

углов, соответствующих максимальным

напряж ениям ,

иллю стрирую т

1

—

7Т

графики

на

рис. 7.8.

А нализ число­

вых

результатов,

а такж е

граф иков

/'1

Г

на рис. 7.7,

7.8 показы вает, что ф ор ­

\\

1

1 \ т

ма

гофра

оказы вает

сущ ественное

}

/

X1

влияние

на

напряж енное

состояние

/ Л 1

Г

7 Л Г

Ш у

^8,2/?ZS

Г

Ш

'f o f

' l l

У

г

7

у/

,

--

>

1

m .

/1

f

7^05

/ 1

,ЙЖ

I

с____

° W

II

1

I

f -------

~

——

Iff

V

и

1,3

II

TS

20

24-

28 к

Рис.

7.8

Рис.

7.9

Приближение

нулевое

*

первое

*

второе

д£>. %

6

I,

8 =

0,05,

т

== 1

0,497

90,0

—0,054

9,8

-0,001

0,2

0,442

14

0,497

76,5

—0,151

23,2

-0,002

0,3

0,344

I,

е =

0,1,

т

~

1

6

0,956

64,2

0,482

32,4

0,050

3,4

1,488

14

0,956

49,0

0,902

46,3

0,092

4,7

1,950

11,

е =

0,1,

т = 2

6

0,956

45,0

0,964

45,5

0,202

9,5

2,122

14

0,956

30,5

1,805

57,7

0,369

11,8

3,130

III,

е =■0,1,,

т == 2

б

0,956

45,9

0,981

47,2

0,144

6,9

2,081

14

0,956

28,7

1,917

57,5

0,458

13,8

3,331

цилиндра.

Например,

при

р =

— 1I9 (k =

8) максимальные

напря­

соответствуют

круговому

ци­

Т а б л и ц а

7.4

линдру

(т. е.

случаю

невозму­

СОл

щенных

поверхностей

раздела).

н ао

°00,|/«ZS

°0e.2/<7zs

Влияние

параметров

s

и k

~ 5^

го”

(т. е. глубины и частоты гофри­

£5 о

S0

s,

*8

S.

5,

ровки

поверхности

в

случае

р =

0)

на

относительные

напря­

8 = ■0, 0 <

0 < 2n

ж ения

(Х0еУ<7г5

показано

на

I -V

0,750

0,497

1,165

0,956

рис.

7.9.

e =• o,i, e ==Зя/16

Об

этом свидетельствуют так­

ж е

числовые

данные

табл.

7.3.

1

0,751

0,270

0,710

1,029

Например,

максимальные

зна­

и

0,683

0,497

1,197

2,905

чения Цоэ.г/^г.'-

на поверхности S 2

111

0,691

0,233

0,656

2,952

IV

0,939

0,377

0,962

0,226

(вариант

II)

с увеличением

па­

V

3,306

0,404

1,113

2,647

раметра е

в

два

раза

(0,05 ^

8 =

0,1, 0 =

я /16

^ е ^

0,1)

возрастаю т при k —

— 6

примерно на 42,6 %,

а

при

I

0,792

0,683

1,763

0,892

/г =

14

— на

60,5

% .

Заметим,

II

0,944

0,567

1,331

0,126

что

максимальные

относитель­

III

0,992

0,717

1,843

0,036

ные

напряжения

для

каждого

IV

0,719

0,720

1,881

2,869

V

—0,772

0,780

1,939

0,271

слоя достигаются

на

граничных

Т а б л и ц а ' 7.5

поверхностях.

Т абл.

7.4

0

0

оп

дает

представление

об

их

6

величине

при характерны х

Tr.2-10'

Т0.2*10’

< 2-104

значениях 0

=

я /1 6

и 0 =

л/16

0,168

0,086

0,966

=

Зя/16 (г = 3,

k — 8,

р =

=

0, в =

0,1) для различ ­

Зл/16

0,168

0,257

0,966

ных

вариантов

двухслой ­

ных толстостенных цилинд­

Т а б л и ц а 7.6

ров

(см. рис. 7.6).

П рактическую

сходи­

Вариант

аее.1'Чк

a00,2^2S

мость

процесса

последова­

тельны х приближений мож ­

цилиндра

(рис. 7.6)

S,

5,

S,

но

оценить

на

основе

чис­

ловых

данны х табл . 7.3

по

е =

0,

0 < 0 < 2л

критерию ,

излож енном у

в

I—IV

0,360

0,238

0,696

0,570

§ 3 гл. 6.

В частности, далее

при k

=

14, s =

0,1, т

=

2

ё =

0,1,

0 = Зя/16

(вариант III) третье при­

I

0,403

0,039

0,320

0,648

ближение,

вы численное на

и

0,326

0,261

0,666

1,761

основе

неравенства

(6.51),

ш

0,381

0,037

0,260

1,845

не

превосходит

3,3

% .

IV

0,514

0,101

0,470

0,142

О степени точности удов­

е =

0,1,

0 =

я/16

летворения

полученны х

I

0,367

0,406

1,189

0,476

приближ енных

решений

краевым

условиям

(3.46)

II

0,482

0,276

0,816

—0,068

III

0,500

0,420

1,280

—0,020

на

свободной от н ап ряж е­

IV

0,322

0,454

1,190

1,663

ний

гоф рированной

по-

о

о

о

верхности S 2 (тГ2 =

TQ2 =

=

т г.2 =

0) двухслойного изотропного цилиндра

(III,

k =

8,

р

=

1/9,

г

= 3), находящ егося под внутренним

давлением,

можно судить

на

■основе числовых данных табл.

7.5. В

ней приведены

приближенные

о

о

о

значения т " 2, те>2, т " 2, соответствующие левым

частям

краевы х

усл о ­

вий (3.46).

1.5.

Двухслойные трансверсально

изотропные

цилиндры.

И ссле­

дуем напряженное состояние двухслойных трансверсально изотропных

цилиндров

высотой h =

6 (см. рис.

7.6,

варианты

/ — IV ),

находя­

щ ихся под

переменным

вдоль

оси г

внутренним

давлением,

которое

-описывается функцией (7.6) при р 0 =

1, р 2 =

0, п

— 1.

Д л я числовых

расчетов

приняты

значения упругих

постоянных

cif

трансверсально

цилиндров

(варианты I,

I I I , IV ,

k = 8, г =

3, Р = 0,

0 = Зя/16)

показано

на рис. 7.10.

Результаты

числовых

расчетов

напряж ений

увеличиваю тся в 2,7 раза,

а

в изотропном — в 2,2 раза.

1.6.

Частные случаи. Если упругие постоянные слоев составного

продольно

гофрированного

цилиндра

соответственно

равны между

собой, то

краевая

задача

существенно

упрощ ается. Такие цилиндры

являю тся

частным

случаем

вариантов, показанных,

например, на

реннее (р0 =

1; Pi = 0) или

внешнее (р0 =

0;

=

1) давление ха­

рактеризуется функцией (7.6). При этом на торцах

цилиндра г — h

автоматически

выполняются

краевые условия

(3.69).

В табл. 7.8 при­

ностях

( т =

0; 1) для

р =

0;

е = 0,1; n

= 1 и различных значе­

ний параметра

толщины

^ ( 6

=

1 отвечает

внутреннему давлению,

а 6 =

0 — внешнему). Они свидетельствуют о том, что с увеличением

улучш ается

практическая

Т а б л и ц а 7.7

сходимость

на гофрирован­

Изотропные слон

Трансверсалыго

ной

поверхности,

что

со­

k

изотропные слон

гласуется

с выводами,

сде­

8 = 0

е = ОД

8=0

е = од

ланными

в

п. 1.3

гл. 6.

Это

заметно

проявляется,

6

0,956

2,081

0,570

1,528

когда обе

граничные

по­

14

0,956

3,331

0,570

2,872

верхности

являю тся

нека­

22

0,956

4,519

0,570

4,227

ноническими,

так

как

при

Т а б л г ц

а' 7.8

Приближение

сее

Гл

нулевое

%

первое

второе

Af>. %

?ZS

S,n

на Sx (S0 ~

т =

1 +

е/,

~ г =

rlf

0 =

лМ, k = 6,

6 = 0 )

1,4

—3,145

64,4

—1 ;404

•28,7

—0,338

6,9

—4,887

1,6

—2,352

75,2

—0,577

18,4

-0,200-

6,4

—3,129

1,8

—1,970

82,9

—0,281

11,8

—0,127

5,3

—2,378

на S0 (S0 ~

г =

1 -)- в/,

~

/• =

Гх +

8/, 0 — я / 16, k = 8, 6 !

1)

2,529

28,0

5,742

63,7

0,749

=

1,5

8.3

9,020

1.6

2,206

29,3

4,914

65,4

0,398

5,3

7,518

1,7

1,976

30,0

4,408

66,9

0,201

3,1

6,585

на

<

Г =

1 r Si ^

Г — Г1 + 8 /, 0 .== n/4,,ft =

14, б =

1),

1,7

1,106

33,3

1,934

58,3

0,279

8,4

3,319

1,9

0,813

36,4

1,269

56,8.

0,153

6,8

2,235

2,0

0,712

37,1

1,056

56,6

0,118

6,3

1,886

уменьш ении г\ их

взаимное

влияние

увеличивается и, следовательно,

увеличивается

погрешность

МВФГ.

ческой

поверхностью S 0

и внешней продольно гофрированной поверх­

ностью

S lf описываемой

уравнениями

(7.1),

(7.2), возникаю щ ее от его

тепловой посадки или прессовки на

ж есткий вал переменного ра­

диуса

г — 1 + 6* sin Xnz, где 6* =

6 7 r0

(б' — натяг, г0 — радиус

в перемещ ениях на S 0 (если не учитывать возможное

проскальзывание)

имеют вид

« Г |r=i

=

б sin Xnz,

u f

|r=l =

u f |л=1 =

0,

u T |r=i =

0

( / > 1 ,

t =

r , G ,z;

X„ = - 2 L ) .

вольном приближении имеют вид (3.69). При такой

постановке н ап р я ­

ж енное состояние

рассматриваемого

цилиндра

качественно аналогич ­

но возникаю щ ему

от внутреннего

давления,

которое изменяется

по

синусоидальному

закону (7.6). Н а

примере

этого

частного

случая

выясним два вопроса: влияние параметра толщины

на напряж енное

состояние при различных формах и частотах

гофрировки;

а такж е

влияние каждой

из упругих постоянных сц трансверсально

изотроп­

ного материала

на окруж ны е напряж ения вблизи гофрированной

по­