книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

Т а б jm

ц'а- 7.9

Приближение

°ее

нулевое

* ? • *

первое

С *

второе

%

5,

1,961

Р == 0

1,3

41,7

2,475

52,7

0,265

5,6

4,701

1,5

1,569

43,8

1,818

50,7

0,198

5у5

3,585

1,7

1,279

46,6

1,328

48,4

0,135

5,0

2,742

1,961

Р = ■V,

1,3

43,0

2,341

51,4

—0,254

5,6

4,048

1,5

1,569

45,7

1,695

49,4

—0,169

4,9

3,095

1,7

1,279

48,9

1,233

47,1

—0,108

4,0

2,404

7.10, полученные

для

относительных напряжений

<W<7iS (<?« =

= G8* sin Xnz) на

поверхности

5 j изотропного

(v =

0.3) продольно

гофрированного цилиндра

при

h — б, е — 0,1,

п =

1.

Они подтверждают ранее сделанный вывод о том, что

с.увеличением

на указанны е

напряж ения. Это справедливо для различных форм я

частот

гофрировки

поверх­

ности S ,.

Н а рис. 7.12

показано

из­

менение

aee/fcs

при

Р = 0,

k

=

8,

гх =

1,4,

0

= ЗлЛ б

в

зависимости

от

изменения

одной из пяти упругих по-

стояных

сц

в

X

раз

при

фиксированных

остальных.

Сплошные линии соответству­

ют

продольно

гофрирован­

ному цилиндру, а штрихо­

вые — круговому

цилиндру

постоянной

толщины

(е =

0).

За

основу

(X =

1)

принят

трансверсально

изотропный

материал № 4 табл. 2.2.

При

этом

интервал

изменения

па­

раметра

А, (0,5

А ^

2)

вы­

бран таким, чтобы корни ха­

рактеристического

уравнения

(2.65) были

вещественными и

различными и, следовательно,

гармонические

по

перемен­

ным

| / ^

г 0. z

функции

Ф (/ '

можно выбрать

в виде (7.8).

Т а б л и ц а

7.10

Приближение

1

ge8

нулевое

первое

второе

Ае>. %

4 ' - %

4 У- %

S,

к == 6

1,3

1,961

48,9

1,853

46,2

0,194

4,9

4,008

1.5

1,569

51,1

1,361

44,3

0,143

4,6

3,073

1,7

1,279

53,6

1,009

42,3

0,099

4,1

2,387

к =» 22

1.3

1,961

20,0

6,913

70,6

0,918

9.4

9,792

1.5

1,569

22,6

4,792

69,2

0,565

8,2

6,926

1,7

1,279

25,2

3,444

67,7

0,362

7,1

5,085

ки м к

кругово м у цилиндрическом у. П ри этом на поверхности

раздела

р ассм атр и ваю тся д ва типа условий соп ряж ения: а) идеальны й

контакт

(п олн ое сцепление); б) неидеальны й

контакт (проскальзы вание без от­

р ы в а).

§ 2. С л о и с ты е п о п е р е ч н о го ф р и р о в а н н ы е цилиндры

Р ассм о три м осесим метричны е краевы е задачи для

поперечно гоф риро­

ван н ы х

слоисты х цилиндров (с неортогональны м и

поверхностям и р аз­

д е л а ).

П ол уч ен н ы е с точностью О (е3) приближ енны е

аналитические

р еш ен и я отвечаю т цилиндрам конечной длины r\h (г\ =

\, 2, 3,

...), пе­

ри од и чески н агруж ен н ы м

вдоль оси г по тригоном етрическому закон у .

П р и этом на то р ц ах г =

0 и г — ф

автоматически вы полняю тся спе­

по ко си н усои д ал ьн ом у закон у) и (3.50) (если

давление изм еняется по

си н у со и д ал ьн о м у

закон у).

И сследуем н ап р яж ен н о е состояние двух -

и трехслойны х

изотроп­

н ы х и тр ан свер сал ьн о изотропны х цилиндров,

находящ ихся

под дей­

ствием вн утрен н его

или внеш него д авл ен и я, а так ж е характерн ы е м еха­

н и ч ески е

эф ф екты [55,

100, 112].

2 .1 .

П остан о вка

осесимметричной

задачи

и

выбор общ его реш ения.

Р ассм о три м слоисты й

толстостенны й цилиндр,

у

которого

граничны е

п о верхн ости 5„, S n и поверхности раздела S t (I =

1, 2,

...,

N

— Д о п и ­

сы ваю тся

уравн ен и ям и

г = г, 4 - ею // (г)

(г/ = co n st >

0, 0 ^

е I , —

1 ^

^ 1). (7.22)

П р ед п о л о ж и м , что требуется исследовать нап ряж ен н ое

состояние ука ­

зан н о го ц и л и н д р а, н ах од ящ егося

под действием осесимметричны х уси-

о

о

ли й : т/,о

на поверхности 5 0 и x/,n

на поверхности

Sn-

С ледовательно,

к р аев ы е усл ови я б у д ут

иметь вид

(3.45),

(3.46),

где tie j е э

0, т. е. рас­

см атр и вается второй

частны й случай § 2 гл . 3.

У словия

сопряж ения

в предположении

полного сцепления

между

l-м

и (/ +

1)-м слоями

имеют

вид (3.40),

(3.42).

Н енулевы е

составляющие

О

F N {z)nr,N,

xr,N =

=

F n (z) nZtN

вектора

in

с

точностью О (e2) можно

найти, если

учесть

разлож ения

nr,N = 1

----- J

e2(°w [/' (г)]2 +

О (а4),

n ZiN = —

(2) + О (es).

(7.23)

_

0

0

Следовательно, для коэффициентов разложений xr%N и x2.n

в

ряды по

степеням 8 имеем

= F n (z),

х %

= 0, х %

----- [/' (г))2 F N (г),

ri°N = 0,

х %

=

— ю н /'(z) F N (z),

х %

=

0.

(7.24)

о . о

Соответствующие

компоненты

т]■% х Л{ , относящиеся

к

поверхности

5 0, будут с противоположными

знаками.

зовать

такж е

функцию F m (2)

(m =

0, N) в виде

Fт (г) =

— pmq0 cos K z

(ро =

б, Pn =® 1

— б»

- х ~ ) . (7.25)

где 6 =

1 отвечает внутреннему давлению, а

б =

0 — внешнему.

В случае внешних усилий, описываемых функций (7.6), будем пред­

сопряж ения (3.57),

краевые условия типа (3.68) или (3.69) на торцах

г — 0, h. При этом

дифференциальные операторы D (u , Dft (3.65) в

для слоистого

трансверсально изотропного поперечно гофрированного

цилиндра

высотой h

гармонические по переменным |/к ~ г , г функции

Ф $ (i =

1, 2),

через

которые выражаю тся компоненты перемещений

ц)/; и напряжений a $ i/f согласно

(7.8) для вещественных положитель­

ных K\,i ф кг.1

выбираются

в виде

00

__

COS А, Г

Ф $ (Г, z ) =

£

[A lihl 0 (!К

V b itr )

+ BlihKo (К

V * i,ir) \

" .

(7.26)

fl=l

bill

Если

корни

характеристического

уравнения

(2.65)

кратные

(«и =

= к 2,/

=

Ксзз,//сц./),

то функция Ф{(| (г, г) имеет вид

(7.26),

а

< D i 3 ( r , z ) - r f

+

2)111

(7-27)

rt=l

<Х>2?/ (г,, г) =

/I(/>

h ip )

|

о (Л

^0* (Р)

(7.32)

На>n п-1

"U

Re Л (р„)

+

й "1'

Re fl|l>(p„,

Sl'nX„2

,

•

••

0i

»/

(р =

^

V7*T1 re

рт

=

К У ~ \щ \r

j

Ро< р <

pw);

з случае изотропногЬ цилиндра

(Г, г)

=

Ф $

U ,f=i.c44(W= <;iv,

1тг(У) /г

т\

^ ^

^

Гу|(/)

h

№л^)

j

Ы/)

Ко

1 COS KnZ

(7.33)

I и (Г, г) -

1 ,

T

j S ^ r +

« * ,

j s l n V .

В (7.30) -

(7.33)

АНЬ, В('Ъ — произвольные

постоянные.

Компоненты осесимметричного напряженно-деформированного со­

стояния согласно

(2.57), (2.60),

(2.73)

определяются через

введенные

ф ункции по формулам:

для

изотропных цилиндров

« а = 4 - ' ^ + ^ ! ь

(Л

„ [ 0

dft

,

v;

'■

а » т $ 1

Orr.l — 0 t |2

+

■1 _

v;

Лг2

j ’

„(/)

^ f

2

№{/»

,

V,

a* p $

1

(7:34)

оде,/

0 / [

r

dr

•“

L— v,

dz2

J '

'■*~

CTC/)r», =

0 , ^

- [

2 й Г

Ч

^

-

^

] .

vzz.i

< & . =

° ч ш

^

К

=

ч' 1'1 +

Т Т Г ^ Г

:

для

трансверсально

изотропных

цилиндров

2

5ФМ

„•л _

V

дг

1

и{!) -

У

k

,

Mrj — 2ш±

!—

f=i.

az

1—1

а2

i

а

+

1 — ki,)j

SI *

Ф &

дг2

г

а^

VK3,l

А

(

* u

_ - \ - k u J

дг3 W a ,

\

4 t

(7.35)

а2Ф<л

t

l’1

dz3-

tfrz.f = Й4,/

S

(1

4* &i.l)

a2<r>$

drdz

*

i= 1

П осле

подстановки ф ункций, например (7.30), (7.33),

в

соответствую ­

щ ие формулы (7.34), (7.35) и применения рекуррентны х

соотношений

д л я модифицированных ф ункций

Бесселя получаем вы раж ен и я,

со­

держ ащ ие их отнош ения типа первой группы (7.13). П ри р0 ^

Р ^

Pn

отнош ения модифицированных функций удобно вы числять по форму­

лам

(7.14).

Д л я

конечных многослойных цилиндров высотой h

в соответствии

с вы раж ениям и для функции нагрузки будем реш ать

две

граничны е

задачи, для которых краевы е условия и условия сопряж ения

в нуле­

вом приближ ении имеют вид:

Зад ач а

А

для

ф ункции

н агрузки

(7.25)

Grr.l |r=rm ~

— РтЯо COS XnZ,

0^,1 |r=rm ~

0

(S0 ~ / =

1, т =

0;

Sjv >—>I =

т — N ),

Ы и — « u + i]r= r/ =

0,

[efh —

=

0

(7.36)

( / =

1 ,2 .

,

N

— 1;

/ =

г, г),

и?} \г=о.н = 0,

o fh |г=0(Л =

0

( / = 1 , 2 ............ N ).

Зад ач а

Б

для

ф ункции

нагрузки

(7.6)

a% i \r=rm =

— p mq0 sin Хпг,

o fh \r=rm =

0

(5 0 ~ / = 1, т = 0; S n ^

/ = т = N ),

lu fl -

иЙ+ i W

, = 0,

[о% -

o f h + i ] ^

=

0

(7.37)

( / = 1 , 2 ,

. . .

,

N

— 1;

t — г, г),

Ur] |г=0,А — 0,

Ozz,l |г=0,А — 0

( / = 1 , 2 , . . . .

N ).

Ф ун кц ию /

(г), на

основе

которой

согласно

(7.22)

описываю тся

по­

перечно

гоф рированны е поверхности раздела (в том

числе

граничны е

поверхности),

примем в виде

f (г) = cos Xkz

(Я* =

k n /h , k =

1, 2,

. . . ) .

(7.38)

Т огда краевы е условия и условия сопряж ения для задач А и

Б в после­

дую щ их

приближ ениях легко записать в явном виде на основе

(3.57),

(3.61),

(3.62), (3.68), (3.69),

если

учесть вы раж ения

(7.5),

(7.6),

(7.24),

(7.25),

(7.38).

2 .2 .

Трехслойны е

изотропны е

цилиндры .

Рассмотрим

трехслой ­

ный толстостенны й

цилиндр

высотой

h с

поперечно

гофрированными

Т а б л и ц а

7.11

©,

Варианты трехслойных цилиндров

1

11

111

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

COi

0

0

1

—1

—1

1

1

— 1

—1

1

1

—I

—1

1

щ

0

0

1 - 1

1 —1

1 — 1

1 —1

1 — 1

1 — 1

(Од

1

— 1

0

0

0

0

1

1

1

1

— 1

—1

—1

- I

in '7 ■7—' Г У

Т^Г гг1 0

|

" 1

1 L J

и I

г

ъ

г

г

W

\\\ уа /ii №

ши

'7У10ПТС

г AY10

гто

п\\о

Ш

*/

хп

ии т

XIV

Рис. 7.13

поверхностями

раздела S u

S 2

и внешней

поверхностью S 3, описывае­

полагать,

что внутренняя поверхность S 0 является

круговой цилинд­

рической

(г = 1). При

заданны х Л, в, k различие

рассматриваемых

трехслойных цилиндров

в геометрии

поверхностей S lt S 2, S 3 опреде­

ляется комбинацией параметров соt (l

= 1 ,2 , 3). В частности, для осе­

вых сечений, показанных

на рис. 7.13, значения параметров со, для со­

ответствующих

вариантов

трехслойных

поперечно

гофрированных

цилиндров приведены в табл.

7.11. П ри

числовых расчетах принима­

лись

следующие значения

геометрических параметров:

h =

4;

е = 0,1;

г0 =

1;

гх = 1,2;

г2 = 1,4;

г8 = 1 ,6 . (7.39)

У пругие

постоянные

изотропных

слоев выбраны такими:

Vi =

v3 =

0,05,

va =

0,45,

Gx : G2 : Оя =

1 : 5 : 1 .

(7.40)

ра

показано на рис. 7.14 (IV , k = 2,

г =

2). С увеличением частоты гофри­

круговом у

трехслойному цилиндру,

для

которого

г0 = 1,

гх — 1,2,

г2 =

1,4,

г3 =

1,6).

П рактическую

сходимость

второго

варианта

МВФ.Г

в

рассматриваемом

классе

осесимметричных

краевы х

задач

иллю стрирую т

числовые

данны е

табл. 7.14.

Т а б л и ц а

7.12

:2,3. Трехслойные транс­

°rr.2fo°

a00,2/?o

версально

изотропные

ци­

k

линдры . В

работе [55] изу­

s,

Ss

S,

s5

чено

осесимметричное

на­

пряж енное состояние трех­

е =

О

слойны х

поперечно гофри­

—

—0,880

—1,094

—2,403

—2,353

рованны х

трансверсально

изр.Т|ррпных упругих

тол­

III, e =

0,1

стостенных

цилиндров.

2

—0,825

—1,045

—2,358

—2,348

Ч исловы е

расчеты

прове­

10

—0,620

—1,213

—1,811

—2,421

дены

для

геометрических

18

—0,305

—1,806

—1,191

—2,504

параметров

(7.39).

У пру ­

26

0,031

—2,320

—0,861

—2,624

гие

постоянные

трансвер­

34

0,362

—2,733

—0,571

—2,771

42

0,684

—3,117

—0,251

—2,917

сальн о

изотропных слоев

приняты согласно .табл. 2.2:

IV, 8 =

0,1

первый

слой — материал

2

—0,934

—1,137

—2,401

—2,284

№

4,

второй слой — мате­

10

—1,029

—0,800

—2,708

—1,668

риал

№ 5,

третий слой —

18

—1,495

—0,314

—2,903

—1,097

м атериал

№ 3.

26

—1,925

0,146

—3,134

—0,814

34

—2,275

0,589

—3,395

—0,545

Исследовано

упругое

42

—2,602

1,020

—3,654

-0,231

равновесие

рассматривае­

мых цилиндров при внеш­

них

н агрузках,

описывае­

Т а б л и ц а

7.13

мых функциями (7.6), (7.25),

CO

т . е. рассм атривались крае­

н a

агг,2/Ял на S,

вые

задачи А и Б ,

для ко­

* Ef

<0£

торы х

граничные

условия

a ^

s ■

*= 10

OO II

k =34

|

k = 50

в

нулевом

приближении

имею т

вид

(7.36),

(7.37).

III

0,790

1,569

1,830

2,318

П ри

указанны х

видах

на­

IV

—0,589

—0,687

—1,329

—2,156

Т а б л и ц а 7.14

Приближение

att,2

I

нулевое

%

первое

йЛ2> %

второе

%

Чо

|SZ

%

ш , / == г, 1 = 2 >

18

—1,094

58,4

—0,746

39,8

0,034

1.8

—1,806

34

—1,094

39,4

—1,661

59,8

0,022

0,8

—2,733

IV, / =

0,

/ =

1

10

—2,403

80,2

—0,448

15,0

0,143

4,8

—2,708

50

—2,403

49,0

—2,001

40,8

0,499

10,2

—3,905

IV, 1 =

г,

1 =

1

42

—0,035

1,7

—1,892

90,0

0,176

8,3

—1,751

50

—0,035

1,5

—2,237

93,7

0,116

4,8

—2,156

ляю тся относительные напряж ения аоеУ<7о-

Их

изменение по тол­

щ ине слоев цилиндра показано на рис.

7.16— 7.17

(штриховые кривые

относятся к цилиндру с невозмущенными

круговыми цилиндриче­

скими поверхностями раздела). Гофрировка

внеш ней поверхности 5 3

приводит к изменению максимальных

напряжений на ней даже при

k = 8 (задача А, табл. 7.11,

вариант /)

и k —

10 (задача Б, табл. 7.11,

вариант I) примерно на 21,5

% по сравнению

с напряжениями в не-

личением

частоты k

значения

GQQ,i/qQна поверхности 5 3 увеличивают­

ся .

Так,

при

k — 26 (Б , I)

их превышение над соответствующими

напряж ениями

в негофрированном трехслойном цилиндре составляет

29,6

%

(табл.

7.15).

При

переменном

в осевом направлении радиальном давлении мак­

нения в А, раз упругих постоянных сц,з и С12.3 внеш него слоя

при ф ик­

сированны х

остальных

константах. А налогичны е зависимости оее,з/<7о

от упругих

постоянных

на поверхности 5 а демонстрирует

рис. 7.19.