книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

В лияние

гофрировки

внешней

и внутренней

поверхностей

сущ е­

ственным

образом зависит от упру ­

гих

свойств

материала.

Ш трихо­

вой

линией

на

рис. 7.18,

7.19

(по

правой шкале)

показано изменение 1

процентного вклада

A i

слагаемых,

которые

определяются

гофриров­

кой, в общую сумму, представляю ­

щую собой напряжение аве.з/<7„ на

поверхностях

S 2, S 3 (Б, V II,

=

=

0 2

= 0,5;

ш3 =

1).

Числовые данные табл. 7.15 ил­

лю стрирую т

практическую

сходи­

мость

применяемого М ВФГ.

2.4.

Двухслойные

изотропные

цилиндры. Рассмотрим двухслой­

ный изотропный цилиндр высотой Л

i

r

с поперечно

гофрированными

по­

I

верхностями

раздела, описываемы­

ми уравнениями (7.22), (7.38). При

VI -

заданных

значениях

геометриче­

ских параметров h, е, k различие в

геометрии

цилиндров

определяет­

ся

параметрами cot. В

частности,

на

рис. 7.20

показаны осевые сече­

ния,

соответствующие

значениям

Л =

4,

е =

0,1, 6 = 8 и парамет­

рам о), (I — 0,

1,2),

приведенным в

табл. 7.16.

У пругие

постоянные

изотроп­

Рис.

7.20

ных слоев принимались следующи­

ми:

vt

== 0,05,

va =

0,45,

G2/Gt >

>

1.

Исследовано

напряж енное состояние толстостенных поперечно

щего.

Экстремальные

значения нормальных

напряжений

возни­

Т а б л и ц а

7.16

кают,

как

правило,

на по­

верхностях,

ограничивающих

Вариант цилиндра

внешний слой. Распределение

VIII

относительных

нормальных

>

>

>

>

напряжений

а«.о/(/0 U = 0, г)

на поверхности S 2 (вариант II,

«о

0

0

0

0

0

0

0

0

k = 2,

G JG i =

2) показано

на рис. 7.21. Изменение am jQo

<02

—1

1

0

0 —1

1 —1

1

0

0 —1

1 —1

I

1

—1

и OzzjlQa

по

толщине

слоев

(сечение

г =

2)

показано на

'

N

%l/$0

*

N

1,5 s

i .

^69,1!'Чо

""-Л

N

3,s

^

—-----

<|

4 v '

W

1

\ч

\

\

/ /

J

V

V

3,0

It

V -

г

------

US,1,0

1,1

1,2

1,3

г

Рис.

7.21

Рис.

7.22

рис. 7.22 (вариант II) и рис.

7.23, 7.24 (вариант I).

К ривы м 1

соот­

ветствую т

значения

k = 2 , G2/Gi =

2, кривым 2 — k =

б, G2/Gt =

2,

кривым 3 — k = 2,

G2/Gi =

4, причем графики во внешнем слое по­

1

строены

по

правой

ш кале,

а

во

5,5 внутреннем — по левой.

вЭ’1/Чо

J

Зависимость м аксим альны х зна­

чений

аее.г/^о

на

поверхностях

S u

1 ч.

S 2 от

соотнош ения

модулей

сдви-

(

5,о

га GJGx

при

различны х

частотах

1

чЧ^

Ч Ч

\

ч

о\

Г

v

ч чч. Ч

4,5

2

1

п

J

V

2

— L—

-'А1,0

1,3

1,0

1,1

1,2

1,3

1,1

1,2

Рис.

7.23

Рис. 7.24

дв^\

__. ----- -— —

Чо

1^

«-ft

J /

ю

5 ^

—

6

2

1^

15

25

35 Gj/ijj-

Рис.

7.26

a jo t = 5

Т а б л и ц а 7.17

k

OJG, = ю

Gi/Gt = 20

s,

S2

s,

st

•St

s2

—

Гладкий цилиндр (е = 0)

4,355

4,035

4,715

4,374

4,922

4,569

Вариант

I

2

5,756

5,892

6,601

6,954

7,138

7,690

6

4,338

4,706

4,584

5,399

4,674

5,909

10

4,261

4,152

4,500

4,541

4,597

4,791

Вариант

II

2

3,810

2,967

4,029

3,083

4,157

3,175

6

4,821

3,466

5,343

3,549

5,655

3,559

10

4,785

3,869

5,314

4,105

5,641

4,219

ние

г

= 2)

и числовые данные табл.

7.17.

В

случае наличия

возмущенной

внешней поверхности

(варианты

I I I —V III)

изменения,

вносимые гофрировкой в напряженное состоя­

ние

цилиндра, на рассматриваемом

интервале изменения

параметра

k (2 ^

k ^

50) носят нелокальный (для внешнего слоя) характер. К.ак

растаю т и уж е

при k = 18 значения

а Н(,,?/^0 на

внешней поверхности

S 2 (вариант V I, сечение г =

2; G2/Gj =

5) превосходят соответствующие

относительные

напряж ения

в негофрированном

цилиндре на 40,3 %

визны, выпуклых по отношению

к внешнему (более жесткому) слою.

В отношении цилиндров вида

I— II следует отметить, что суще­

напряженное состояние

ци­

линдра.

Так,

при

k = 2

(ва­

риант II, G./G,

=

5) происхо­

дит

одновременное снижение

максимальных

напряжений

а 0еУ?о

на

поверхностях 5 t

и

S 2 ’

примерно

на

12,5 %

и

26,4

%

соответственно.

Этот

результат

позволяет сделать

вывод,

что

оптимальный

вы­

бор

амплитуды и частоты

гоф­

рировки

поверхности разде-

Т а б л и ц а 7.18

G±/Gi = 5

Gt/Gt = ю

G,/Gl = 20

к

*00,2/0°

°ZZ,2/0°

*00,2/0°

*22,2/0°

*00,2/00

*22,2/00

Гладкий цилиндр

(e = 0)

4,569

—

4,035

0,664

4,374

0,609

0,572

Вариант V

6

3,190

—0,075

3,525

—0,068

3,745

—0,041

18

2,942

—0,988

3,285

—0,944

3,481

—0,933

30

2,518

—2,084

2,882

—2,024

2,911

—2,019

50

1,670

—4,163

2,171

—4,062

2,303

—4,048

Вариант VI

6

4,910

1,250

5,127

0,970

5,210

0,749

18

5,662

3,010

5,950

2,763

6,087

2,550

30

6,195

4,133

6,386

3,646

6,468

3,283

50

7,141

6,073

7,205

5,268

7,211

4,698

л а может стать одним из путей увеличения прочности двухслойны х

цилиндрических элементов конструкций.

П рактическую

сходимость итерационного процесса иллю стрирую т

.данные табл. 7

.19

(z = 2, G JG 1 — 5), где показан процентный вклад

Ал2 каж дого из

трех приближений в сумму их абсолю тных значений,

условно принятую за 100 % -

В работе [112] рассмотрены задачи А и Б , краевы е условия кото­

ностям

S 0, S lt S 2 {п — 4) соответствовали следую щие геометрические

параметры:

S o ~

r 0 = 1,

со0 =

0;

S i ~

r t =

1,3,

tDj =

0,5;

S 2 ~

r 2 =

1,5,

toa = l ;

h =

4.

(7.41)

Т а б л и ц а

7.19

Приближение

к

нулевое

%

первое

aU,2

второе

д $ . %

Ча •S*

6

0,664

41,9

I,

t =

Z

0,848

53,4

0,074

4.7

1,586

10

0,664

70,3

0,255

27,0

0,026

2.7

0,945

2

4.035

68,5

и,

t= Q

—1,462

24,8

0,396

6,7

2,969

6

4.035

85,7

—0,620

13,2

0,051

1,1

3,466

У пругие

постоянные

изо­

тропны х

слоев

принимались

равны ми:

Vl =

v2 =

0,25;

G2/G1 =

2.

Н а

рис.

7.28

по­

казано

изменение

стое,//<70

в

зависимости от частоты k по

толщ ине

двухслойного

по­

перечно

гофрированного

ци­

линдра

в наиболее н апряж ен ­

ном

сечении

(г =

0,5),

где

действует сравнительно

боль­

ш ая

нагрузка

(7.25)

(п

=

1)

по

направлению

минималь­

ной

толщ ины

(задача

А).

Н а рис. 7.29

(A, z =

0,5)

при­

ведены

соответствую щ ие кри ­

вы е,

полученные для

нагруз­

ки (7.25)

при

п =

1/360, близ­

кой к постоянному внутренне­

му давлению

(6 =

1).

В этом

сл у чае

аналогичное

измене­

ние

частоты k

не

приводит к

существенному увеличению

<700,2/70- П рактическую

схо ­

димость

последовательных

приближ ений для задач А

и Б в зависимости от

час­

тоты k

иллю стрирую т

чис­

ловы е

данные табл. 7.20.

О ни

показы ваю т,

что при

переменном вдоль оси z н а ­

груж ении

с

увеличением

частоты

гофрировки

не­

сколько улучш ается сходи­

мость М ВФГ

(сущ ественно

уменьш ается

вклад

нуле­

вого

приближ ения,

а

вк л ад

второго

приближ е­

ния

остается

около 2 % ).

В табл. 7.21 приведены результаты расчетов

относительных напря­

ж ений

000,2/70 в изотропной

оболочке с геометрическими

параметрами

h =

4;

гх =

1,3; г2 =

1,6; е = 0,2 для задачи Б

(л

=

1)

в точках по­

верхностей

и S 2 (k =

10) по сечению z = 2 (минимальной толщ ине

оболочки). Числовы е данные иллю стрирую т влияние

модулей сдвига

и коэффициентов

П уассона

каж дого слоя, а такж е

амплитуды

гофри­

ровки ©! поверхности S x на о т .2/70 на поверхностях

и S 2. Здесь ж е

показано

относительное

отклонение

A| =

I gee,2 Ls,«o,=o) ~ Gee,2 ls,(<a,^o) I

(/ =

1;

2)

(7.42)

Т а б л и ц а

7.20

Приближении

g98.2

1

k

д®

нулевое

Ле?2' %

первое

*&• *

второе

о/

«о

l$t

ле,2’

'

I,

А,

Я =

1, 2 == 0,5

8

2,306

82,4

0,436

15,6

0,055

2,0

2,797

40

2^306

69,8

0,940

28,4

0,061

1,8

3,307

56

2,306

64,3

1,229

34,1

0,069

1.9

3,604

1, Р1,

я =

11360,

2 =

0,5

8

2,413

86,8

0,319

11,5

0,047

1.7

2,779

40

2,413

86,2

0,332

11,8

0,057

2,0

2,802:

56

2,413

85,7

0,361

12,2

0,060

2.1

2,834

I,

Б,

я =

1,

2 =

2

10

2,496

82,2

0,487

16,0

0,056

1.8

3,039

42

2,496

69,0

1,056

29,2

0,067

1.8

3,619

58

2,496

63,3

1,370

34,8

0,076

1.9

3,942

значений

аееУ*?о

на гофрированных поверхностях

(шх =

0,5; 1,0)-

и S

2 (<о2 =

1) от

соответствующих величин в

случае

гладкой

поверх­

ности

(шг = 0), которые условно приняты

за 100 % .

А нализ

результатов табл.

7.21 позволяет сделать вывод,

что нали ­

чие

гофрировки

внутренней

поверхности

приводит к более

равно­

Т а б л и ц а

7.21

Gt

О,

000,2/00 на

S,

°ее,2/0о на

о,

со, = 0

Ф®

Ди %

CD! =0

W| Ф 0

д2. %

Vi =

v2 = 0,25

2

0,5

2,497

2,631

5,4

2,810

2,796

0,5

2

1.0

2,497

2,818

12,8

2,810

2,770

1,4

5

0,5

3,273

3,493

6,7

3,797

3,760

1,0

5

1.0

3,273

3,802

16,1

3,797

3,689

2,8

vx = 0,05,

v2 =

0,45

2

0,5

2,756

2,805

1,8

3,697

3,658

1,0

2

1.0

2,756

2,959

7,4

3,697

3,630

1,8

5

0,5

3,176

3,434

8,1

4,404

4,359

1,0

5

1.0

3,176

3,903

22,9

4,404

4,029

8,5

2

0,5

2,118

II О 4* СП

1

О о Сп

2,320

9,5

2,023

2,022

0,1

2

1.0

2,118

2,544

20,1

2,023

1,995

1,4

5

0,5

3,186

3,412

7,1

3,101

3,057

1,4.

5

1.0

3,186

3,624

13,7

3,101

2,943

5,1

AZ,;

/

0

7

2

J

t

Рис.

7.30

относительные напряж ения oqqHQo на

S x (ojx ф 0) увеличиваются по

сравнению с таковыми в случае

= 0), а на S 2 несколько умень­

поперечно гофрированных трансверсально

изотропных

цилиндров.

В частности, когда упругие свойства двух

соседних слоев одинаковы,

а между этими слоями сущ ествует идеальный

контакт (полное сцепле­

ние),

рассматриваемый цилиндр становится

двухслойным. Числовые

расчеты двухслойных цилиндров (рис. 7.20, I, II, V, V I), находящ ихся

под внутренним давлением (7.6) (р0 =

I, р 2 =

0),

приведены для

сле­

дующих геометрических параметров: h =

4, s

=

0,1; r 0 =

1, r x =

1,2,

r 2 =

1,4. У пругие постоянные слоев

приняты

согласно табл. 2.2

(пер­

ооеУ^о и

о гг,2/<7о по

осевому сечению поверхности

S 2

показано

на

рис. 7.30

(вариант V I, /г = 2). Распределение

напряж ений аее.з/Зо

по

толщ ине

цилиндра

иллю стрирую т

рис.

7.31

(вариант

V I, г =

2),

причем кривой 1 соответствует значение

k =

2, кривой

2 — к — 6,

а кривой

3 — такж е

6 = 2, однако

вместо упругой

постоянной

сц,2

К ак

следует

из рис. 7.27 (изотропные слои)

и из рис. 7.32 (транс­

версально изотропные слои) относительные осевые

напряж ения o zzo/q0

сильнее

реагирую т на увеличение ча­

1ч1о,п

стоты гофрировки (т. е. на увеличение

г!Яо

кривизны

поверхности), чем

окруж ­

ные ОноУ<7оЭто приводит к тому, что

для

каж дого конкретного материала

1

сущ ествует

такое значение k, начи­

г/

ная

с

которого

0*2,2/^0 >

000,2/90

/

1

(рис.

7.32,

k >

36).

К оличественное

i

сравнение

изменения

напряж енного

2

10

18

26 Л

42 к

состояния

рассматриваемых

толсто-

Рис, 7.32

стенных

поперечно гофри­

рованны х двухслойны х ци ­

линдров легко

провести на

основе

данны х

табл.

7.22

для указанны х

выш е м ате­

риалов трансверсальн о изо­

тропных слоев и табл. 7.18

для изотропных слоев (ва­

риант V I,

v x =

0,05,

v2 =

=

0,45,

Gz/Ог

= 5).

В работе [112]

рассмот­

12

V

рены

задачи А

и Б с

гра­

ничными условиям и (7.36),

Рис.

7.33

(7.37)

г -

V

трансверсально

изотроп­

'$е,1’Чо

V

ных

цилиндров,

упругие

постоянные

которы х

со­

4

гласно

табл.

2.2

следую ­

7 ч______

щие: первый слой — м ате­

-------- 4

2JS

риал

№

5,

второй слой —

м атериал

№

3.

Ч исловы е

V

значения

геометрических

параметров

приняты

со­

28

гласно (7.41).

Н а

рис. 7 .33

2,0

(задача А,

п — 1; г =

0,5;

k

=

8; 24)

и рис.

7.34

(за­

Рис. 7.34

дача

Б,

п

=

1, г

= 2,

k =

=

10;

26)

показано

изме­

цилиндров в наиболее напряж енны х

нение

овеУ<7о

по

толщ ине

сечениях.

При

этом,

как

и вы­

ше, кривые, относящиеся к первому слою, построены

по левой ш кале,

а ко второму — по

правой.

2.6.

Частны е случаи. Если все слои толстостенного цилиндра обла­

даю т одинаковыми упругими свойствами и между ними осущ ествляется

идеальны й

контакт

(полное сцепление),

то

имеем

ф актически полый

вания

рассмотренных

цилинд-

ров, которые не отражены выше.

Т а б л и ц а

7.22

В

работе

[110, 111] рассмот­

Вариант V

Вариант VI

рена задача о напряженном со­

стоянии

поперечно

гофрирован­

<*00,2/<7o

^Z2,Т/Яъ

аав,Ф»

°ZZ,2^o

ного

(S 0 ~

г =

1,

~

г =

= г, +

е cos %кг,

А* =

kn/h) тол­

6

3,238

—0,078

4,491

1,278

стостенного трансверсально изо­

тропного

цилиндра

(v12 =

0,3,

10

3,199

—0,643

4,547

1,861

18

3,098

—1,687

4,688

2,861

v 13 =

0,1, E J E 3

=

4,

E-JG — 5,

30

2,891

—3,412

4,913

4,235

E J G

=

1,25),

находящ егося

под

50

2,519

—6,342

5,303

6,569

1

ъ

/ ь

-—*

)i/%o

//Т±1

fir** ' ----N

к у ?

f

А

Л

\

\

f

/

У

\

к л

}

'

г~г,

Л \

/ / /

----Ти

\\\

и

г

\\

----‘7—

/ *^ V.

[

у

Г=Г,

' х. чД

Г*/

« „ А

*1

1

1

1--------

}0

ОА

W

“*3------г

z

1,2

и ?

ts

£0

0,4

0,6

1,6

г

Рис.

7.35

Рис.

7.36

(7.6) (б =

1).

При

числовых

расчетах

принято:

h

=

4; г0 =

\\

гг =

— 1(4;

е =

0,10;

0,15.

Распределение

Сее/</0 и

oZ2/q0

вдоль

половины

осевого сечения

граничных поверхностей

цилиндра при е =

0,1,

k —

= 8 показано

на рис. 7.35 (п

= 2,

k

=

8)

и рис. 7.36 (п =

5,

k

=

8).

Приведенные графики свидетельствую т

о том,

что

с

увеличением

па­

раметра изменяемости н агрузки п относительны е осевые

напряж е­

ния a2J q 0

становятся сравнимыми с относительными

окружны ми

на­

пряж ениям и

аоэ/(70

(табл.

7.23, п

=

5, k

= 8).

Д л я

толстостенных

цилиндров,

поверхности

5,- (г = 0; 1) которых

описываю тся

уравнениям и

г =

r x +

s cos

/sjt г, в табл. 7.24

приведе­

ны числовые значения для

сее/д0 на поверхности 5 0 для трех

значений

Т а б л и ц а

7.23

Приближение

<*И I

е

нулевое

* f\ %

перпое

а®. %

4 1>- %

второе

U

<W<?o> z =

0,4

0,10

1,464

71,6

0,478

23,4

0,103

5,0

2,045

0,15

1,464

60,7

0,717

29,7

0,232

9,6

2,413

г =

1,4

0,10

—0,698

56,1

—0,500

40,2

—0,046

3,7

—1,244

0,15

-0,698

45,1

—0;75Q

48,3

—0,103

6.6

—1,551

<1.И1

Т а б л и ц а

7.24

Приближение (ft =г18, 6 = 0, 8=0,1)

qB9

1

Г%

второе

нулевое

4 0>- %

первое

4 2)- %

«о

U0

1,2

—6,483

85,2

—1,019

13,4

0,105

.1,4

—7,397

1,5

—3,508

84,3

—0,614

14.7

0,041

1,0

—4,081

1.9

—2,622

83,0

—0,534

16,9

0,004

0,1

—3,152

Т а б л и ц а

7.25

Приближение (ft = 6. 6=1. г,1=

U4)

gea

I

8

нулевое

д0О)‘ %

первое

*

второе

%

во

Is,

0,10

3,018

90,1

0,299

9,9

0,034

1.0

3,351

0,15

3,018

85,1

0,449

12,7

0,078

2,2

3,545

0,20

3,018

80,4

0,599

15,9

0,138

3.7

3,755

му

улучш ению сходимости МВФГ. Табл. 7.23, 7.24 иллю стрирую т

так ж е практическую

сходимость М ВФГ. Т ак, например,

при п = 5,

к = 8, г = 0,4; е =

0,15 (табл. 7.23) на основе оценки (6.51) получаем

Д ?

<

3 % .

§

3.

К раевы е эф ф ек ты в цилиндрах конечных р а зм е р о в

с осесим м етричны м и вы точками

Н екоторы е краевые эффекты в многослойных поперечно

и продольно

кализации

(концентрации) напряж ений

вблизи

неканонических

по­

верхностей

раздела в зависимости от геометрических и м еханических

характеристик. Об этом свидетельствуют,

например, рис. 7,3, 7.4,

7 .8,

7.28, 7.33,

7.34, а такж е табл. 7.8, 7.9, 7

.12, 7.15,

7.24 и др.

ные задачи

решены с точностью

не ниже О (е3). Н а осесимметричных

задачах об

упругом равновесии

цилиндров с кольцевыми вы точками

на боковых

поверхностях, находящ ихся под действием осевого растя ­