книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

В рассматриваемой задаче представлены все

варианты,

приведен­

ные в табл. 3.1. П редположим, что в уравнениях

(3.28)

имеем / + (г) =

=

f -

(/•) =

2ju

г (r0 — период

волны

формы осесимметричных ис­

cos —

кривлений поверхностей 5 *

в радиальном

направлении). Вид элемен­

та

слоя, ограниченного

поверхностями 5 *

и

плоскостями

0 = const,

на

протяж ении одного

периода (г0 ^

г ^

2г0) показан

на рис. 3.4 (он

соответствует варианту V табл. 3.1 и рис. 3.2).

§

2.

М ногослойны е толстостенны е цилиндры

с возм ущ енны м и поверхностям и р а зд е л а

Рассмотрим краевые задачи для многослойных толстостенных цилинд­

ров,

поверхности

раздела

которых

близки к соответствующим кру ­

говым цилиндрам [79]. При этом кроме общего

исследуем два частных

случая: когда

поверхности

раздела

изменяются

только в

окружном

направлении

(типа

продольно гофрированных цилиндров) и когда по­

верхности раздела изменяю тся в осевом направлении

(типа

поперечно

гофрированных

цилиндров). Первый

из

указанны х

частных случаев

имеет определенную аналогию с

поверхностями, рассматриваемыми

в § 2 гл. 2.

2.1.

П остановка задачи. Рассмотрим многослойный толстостенный

цилиндр с

внутренней

S 0 и

внешней S,v

граничными

поверхностями.

П редполож им,

что

поверхности

раздела

S t

(поверхности

контакта'

1-го и (/ +

1)-го слоев) в цилиндрической системе безразмерных коор­

динат

г, 0,

г

(отнесенных

к

характерному размеру

г0) описываются

уравнением

r — ri

+

&ifi (0, 2)

(г/ =

const > 0 ,

1 = 1 ,

2, . . .

,

N — 1). (3.39)

Здесь

fi (0,

z ) — дифференцируемая

ф ункция;

е, — малый

параметр

( | е/1

1).

В общем случае будем считать, что и граничные поверхнос­

ти

и S n

описываются уравнениями

типа

(3.39). Если, в частности,

цилиндрических тел конечных

размеров),

а такж е уравнениями

рав­

новесия и законом Гука представляют полную систему уравнений для

многослойны х

тел .

При этом, если торцевые поверхности совпадают с координатными

плоскостями

z =

± h , то

краевые условия

на них

могут быть, напри­

мер,

следующими:

если

торцы

свободны от напряж ений

о ш

|2=±h =

0

(/ =

г,

0,

г\

I =

1, 2, . . . ,

N)\

(3.47)

если торцы ж естко защ емлены

Uj,z \z=±h — 0j

(3.48)

при

условии

плоских торцов

Uj,l |z=±ft = о,

0Гг,1 |z=±A — G()z,l \z—ih

~

0j

(3.49)

в случае торцов свободных от нормальной

нагрузки

и не смеща­

ющихся

в

своей

плоскости

®zz,l |z=±ft =

О,

Ur,l \z=±h = Ue.l |z=±A = . 0.

(3.50)

Сложность геометрии поверхности раздела S t (I =

1, 2, ..., N — 1),

описываемых уравнениями (3.39), не допускает разделения перемен­

ных

в

условиях

сопряж ения

(3.40),

(3.42) даж е

в

случае

круговых

цилиндрических

граничных

поверхностей

S 0, Sn-

Это обстоятельство

не позволяет получить точного аналитического реш ения поставленной

задачи

непосредственно.

2.2.

Сведение к

последовательности краевы х

задач

для

круговых

цилиндрических

поверхностей

раздела.

О б щ и й

с л у ч а й .

Рассмот­

рим сначала случай, когда поверхности 5 ; описываются уравнениями

(3.39).

Реш ение поставленной

в п.

2.1

краевой

задачи по

аналогии с

(3.11)

будем

искать

в виде

рядов

Uj,i —

£

8пи %

Oi/,i =

£

8noTi.i

( / =

1.

2,

,

N).

(3.51)

п=О

н=0

П ри

этом

в

качестве

малого

параметра

е (е

1) удобно принять

е =

m ax

I eft I

(efe =

cofee, — 1 ^

щ

<

1).

(3.52)

fe=0,l.... N

П редполагая,

что

искомые

компоненты

uf},

о щ

допускают

раз­

лож ения

в ряды

Тейлора

в

окрестности г = rk на

неортогональных

поверхностях

S k

(k =

0,

1,

2,

.... Л0,

получаем

„ . . |

V

ь

V

K fk

(0* г)

дт

1

'1

U,,l\r=rk+eakfk(Q,z) —

J j

2 j

' ~д?Г

,1=0

«1=0

(3.53)

-

г

=

f

,,

V

(0. *>

а -

,„_т)

Оцл |^ + в в ^ ( 9 Л

L

8

L i

ml

д^~

Ш

/2=0

т=0

Н а основе функции

уровня Ф й

(г, в,

z) =

г — есokfk

(0, z)

направля­

ющие

косинусы

ri},k (/ =

г,

0,

z;

k

=

0,

1,

N)

согласно

(3.44)

определяю тся

по

формулам

1

е%

dfk_

’ tlz.k —

dfk

(3.54)

fir,к —

> tlQ.k — — Акг

50

Ak

дг ’

где

(3.55)

П редставляя вы раж ения

(3.54)

рядами по полож ительны м

степе-

ням параметра

е,

получаем

"'•* = | о

е' ( ™

+

T/- w ) •

1

, 6' V' - '•*’

"

/

(3.56)

n z,k =

— Щ dfk

S sM V /- I.fe +

У н 2,ft)

(Y-i.fe = °)’

dz

/==1

\

П одставляя

соответствующие ряды

(3.53), (3.56)

в

условия

сопря­

ж ения (3.40),

(3.42) и

приравнивая вы раж ения

при

одинаковы х сте­

s=0

1

(3.57)

( < , ^ — 0*/./+1) +

(oS),/1— ou/,/+i) 4

s=0

+

DSt (<#7* - 0 Й ? 1 ))~ г, -

o.

Дифференциальные

операторы

L {1 \

D „j

имеют вид

L\n) =

5"

n !

5 /'

’

s=0 '

1

/

(3.58)

nW

“ l

ah

V

a

D a

V - l ji !

•

s=0

'

/

/

Здесь

i k

n

m

^ - 2 £ £ £ ( - | ) , д = д „

X

A=0 /1=0m=0 s=0

№ — « )! (л — I (m — s)! s ! (2/г)!!

(fe-j-/i4-m+s=/)

X

A!tr

nB'i~mCT~sD],

К раевы е условия на граничны х поверхностях

S 0, S N согласно

(3.45),.

(3.46) в произвольном приближении будут следующими:

на

внутренней поверхности

S 0

£

i

S{

f r s)U \ =

u f l

(3-60)-

ИЛИ

s=0

i [ 0 |К П 3 + D S M K 9 + B & f S m V , = Ъ .

(3 .6 0

S=0

на

внешней

поверхности

S

[jDlA/<Tr/,yVS>+

D^nOq},^ -f- ^з%Ог}./^]г=гы = Тда/,

(3.62)

ИЛИ

S=0

£

(3.63)

$—0

Замечание.

Краевые условия (3.60) — (3.63) записаны в предпо­

лож ении,

что

поверхности

S„,

S n описываю тся уравнениями

типа

(3.39)

и,

следовательно,

операторы

L f \

L n \ D (\о, 0 %

имеют

му

близка внутренняя

поверхность

S 0.

Ч а с т н ы е

с л у ч а и .

П оверхности раздела с мелкомасштабны­

м и отклонениям и о т

круговых цилиндрических

в окружном

направле­

нии. В этом случае функция fh

входящ ая

в

уравнение (3.39), зависит

лиш ь от переменной

0

и, следовательно,

d fjd z =

0, n zj

=

0. В этот

класс входят, в

частности,

продольно гофрированные

поверхности.

В

рассматриваемом

случае

дифференциальными

операторами будут

t f f ’i (й)

дп

•

D

! ?

- t L

( 0

)

+

^ L V .-1.1( 6 ) ] L f - 9.

L f

ш

s=0 L

l

J

= _

• t

-

Л T_ , . , <0) £ . Г !|.

Ш

= o,

(3.64)

'/

s=0

Ъ.1 (0) =

S

(— l)*' (2 ^ —

I ) !! СО/'Л (0) b<.s-k,i (0),

*=0

1

i

+

f,

(f>)

%>k,Vrl (6) — v ! {k — v) ! 4 - ® /M 0 )

/z (0)

(£ад./ — 1

^

0, ьо,л’./

0*

^

^)*

.Здесь ш трих означает производную

по переменной

0.

О бъекты

ис­

следования, соответствую щ ие этому

частному случаю ,

и рассм отрен­

ные в § 2 гл . 2 взаимно дополняю т д ру г друга .

П оверхности раздела с м елком асш табны м и отклонениям и о т

кру­

говых цилиндрических в осевом направлении. В этом

случае ф ункция

/ ;, входящ ая в уравнение (3.39)

поверхности раздела S h зависит лиш ь

•от переменной

г.

Тогда

д/,/д0 =з 0, h q j == 0 и,

следовательно, диф ­

ф еренциальны е

операторы

(3.58), фигурирую щ ие

в условиях

сопря­

ж е н и я

(3.57),

упрощ аю тся

к

виду

Ц

~

л!

дг11

’

N*

т_

М ?

=

2

( ~ ‘) г

dS? =

о, (3.65)

П1=0,2,...

*Г

,

£ * > -

2

( - 1 ) 2

— Ъ

,1!!

°>?+ ' Vt (г)Г"!''

т = 0.2,...

З д е с ь

N*

=

п,

N\ — п

— 2

(для

п

четных) и

N*

=

N ]

=

п — 1

.(для

п нечетных).

Здесь ш трих

обозначает

производную

по

переменной

г.

Е сли

торцы

цилиндра

совпадают с

координатными

плоскостями

.г = ± h,

то

на основании

(3.47) — (3.51)

краевы е условия

в

произ-

.вольном

приближении

соответственно

будут

следую щ ими:

если торцы свободны от напряжений

< й |г=±А =

0

(/ =

г,

0, г;

I =

1,

2,

,

N);

(3.66)

если торцы жестко защемлены

u f i\z=±h =

0;

(3.67)

при условии

плоских торцов

u fj jz—ifi =

О,

Grz.l |г=±/< — в ш

\z=±h =

0;

(3.68)

в случае торцов, свободных

от

нормальной

н агрузки

и не

смещ а­

ющихся

в своей

плоскости

сх£/ U±A =

о,

и?! |2=±ft =

|z=-t/i = 0.

(3.69)

§

3. М ногослойны е толстостенны е сф ерические оболочки

с возм ущ енны м и поверхностям и р а зд ел а

В

настоящ ем параграф е рассмотрим трехмерные краевые задачи ме­

дач входит и важ ны й частный случай, когда

границами раздела тол­

стостенных многослойных оболочек являю тся

поверхности вращения.

У казанны й

частный класс задач дополняет рассмотренный в § 3 гл. 2.

При этом

такж е наблюдается определенная

формальная аналогия в

кой, у которой внутренняя

поверхность S 0, внешняя

Sn и поверхнос­

ти

раздела

S t

(I =

1, 2,

N — 1) описываются уравнениями

г — rk +

zkfk (0, а)

(гк =

const, k =

0, 1,

, N),

(3.70)

где

fk (0,

а) — дифференцируемые

функции,

характеризующие гео­

метрическую

форму указанны х поверхностей; е* — малые параметры

Г =

гк.

Д л я

координатных

ортов

ег, ее,

еа сферической системы

коорди­

нат

г, 0, а и ортов

е,,,*

нормалей

п* к

поверхностям S k условия орто­

гональности в общем случае не выполняю тся, т. е.

ее./t *

0,

Са,А • Git.u

0

(crife *

1» k

— 0> 1,

,

Л/). (3.71)

В связи

с этим поверхности S k будем называть неортогональными.

Если

предполож ить,

что меж ду

l-м и (/ +

1)-м слоями существует

полное

сцепление,

то

условия сопряж ения на поверхности

раздела

Si

(/ =

1, 2,

N —

1) определяю тся

равенствами

{ии

— Uj,i^.\)sl =

0,

(3.72)

Ко'г/./ — tf/7'.ж ) nr,i +

— 0 0/./-н) n o.i +

(аа/./ — ®a/,t+l) пл /Ц

— 0-

(3.73)

Здесь

п/,г — направляю щ ие

косинусы

ортов

нормалей щ

к

поверх­

ностям

S lt

которые

на

основании

функции

уровня

Ф, (г,

0, а) =

=

г — &tfi

(0,

а) согласно

(3.44) определяю тся по формулам

ПгЛ =

Пв,1 =

—

Е,

dft

Па.1 —

(3.74)

Д,

/■

<?9 ’

Д;г sin 0

с’а

’

где

(3-75)

причем

знак

«-)-» соответствует случаю, когда нормаль

п, к S t направ­

лена

в сторону возрастания, функции уровня,

а знак «—» — противо­

положному

направлению .

лочки, близкой к сферической

при заданны х

на ее граничны х

0

поверх-

0

0

0

ностях

S 0, S n

перемещ ениях

щ,о, «/,/v

или

н ап ряж ен и ях

х/,0, т/.^.

В этом случае граничные условия соответственно

будут следую щ ими:

на

внутренней поверхности

S 0

Щл к

=

«/.о

{} =

г,

0,

а ),

(3.76)

или

о

(°rj,\nr,0 +

СГ0/,1«О.О +

O'a/.lrta,o)s„ =

^/,ol

(3.77)

на

внешней

поверхности

S n

о

(Grj,Nflr,N +

СГ0/,лгПе,^ +

a a/,Nna,N)sN =

Т/.д/,

(3.78)

или

о

ttj.N \sN =

Uf,N

(/ =

г,

0, a).

(3.79)

Если поверхности S 0 и S w являю тся

сферическими, то

=

— пг,о =

~~ 1,

fl'd'N

^t),0

' Hot.0

0.

Полная система уравнений

включает уравнения равновесия

(2.12),

закон Гука (2.34), условия сопряжения (3.72), (3.73)

и

граничны е

ус­

ловия, например (3.76), (3.77) или

(3.78), (3.79). П ринципиальная сл ож ­

ность решения поставленной задачи состоит в том, что

переменные в ус­

ловиях

сопряж ения

и

граничных

условиях

не разделяю тся.

3.2.

Сведение

к

последовательности

краевых

задач

для

сферичес­

ких поверхностей раздела. Решение поставленной

в

п.

3.1

краевой

задачи

будем

искать в виде рядов

и/./ =

f

бпи %

а ш

=

f

8"<7Th

(3.80)

п=0

п=0

(/, /

=

г,

0,

а;

/ = 1,

2,

, N),

где

е =

шах

|e ft| <

l

(е* =

<oAs,

— 1

1).

П редполагая,

что

искомые

компоненты

u f }, a tfj

допускаю т

раз­

ложения в ряды Тейлора в окрестности г =

r t на

поверхности

S t, по­

лучаем

S L\s) [и% s) — u% +l]r=r =

0,

(3.84)

S=0

‘

S [Dfl (a n ,iS>— a n'.i+ 0 +

Dm (oe/,/s> — cro/./+i) +

s=0

~h D y (OajjS) — ffa/,;+i)]r=r, =

0.

(3.85)

, («)

®?/7

dn

n(„)

y

(

i

“ Л

„

Г2—S)

W(«

L1

=

—

~^pr>

D " =

2

j ^

+

—0

Ъ - u j U

(3.86)

n (n)

®/

dh v ..

r<«-s)

n(n)

_

^

(')—S)

dft у ,. , г1

Da/ -- ------- i o

Ys~ u L /

’

3/

~

~

v O

T

Граничные

условия

(3.76) — (3.79)

в

произвольном

приближении со­

2 £ W

r ° U =

«

$

Ц

- г , 0, а),

(3.87)

ИЛИ

s=0

2

[OiS®!tr" +

+

D

S

t e V . =

(3.88)

s=0

на внешней

поверхности

Sw

S

-f- 7?3AfOa/(jv]/-=r^ = Т/Л»

(3.89)

s=0

или

V

r (S)

(«—s) I

_

V )

(3.90)

L,Nllj\l\J

|Г=Гдг — MjMa

При

этом

дифференциальные

операторы

L f \

L $ , D ($ ,

D?n опре­

деляю тся

через функции

f0 (0,

а) и /дг (0,

а ),

описываю щ ие согласно

(3.70)

поверхности S 0 и S n , по формулам типа

(3.86).

Если на поверхностях

S 0, S n заданы

н ап ряж ен и я, то

граничны е

ности раздела S t (l =

1 ,2 ,

..., N — 1), а такж е

внутренняя

S 0 и внеш ­

няя S n

граничные поверхности имеют осевую

симметрию

(т. е. я в л я ­

ются

поверхностями

вращ ения), то они

описываю тся

уравнениям и

(3.70)

,

где

fk — fk (0).

Следовательно,

dfkld a == 0,

n a,k = 0 (k =

=

0,

1,

...,

N). Тогда дифференциальные операторы (3.86)

упрощ аю т­

ся

и

принимают вид

1

(3.91)

ys_i .,( 9 ) U ,_i), П$> =

0.

Этому

классу толстостенных

многослойных оболочек

вращ ения с не­

ортогональными осесимметричными

поверхностями

разд ел а отвечаю т,

в частности,

поперечно

гофрированные оболочки.

О днако в

отличие

от тел

вращ ения с ортогональными

поверхностями

разд ела,

рассмот­

ренных в § 3 гл. 2, здесь

любая из

поверхностей S k (k =

0,

1, ..., N)

мож ет

быть,

например,

сферической, или описываться

по

другом у

аналитическому закону по отношению к остальным .

§ 4.

М ногосвязны е тела с неортогональны м и

поверхностям и р азд ел а

В § 4, 5 гл. 2 исследованы краевые задачи для многосвязных

тел с ор ­

тогональными поверхностями раздела (совпадающими

с координатны ­

ми

поверхностями используемой криволинейной ортогональной систе­

мы

координат). В настоящем

параграфе рассмотрим

в определенном

дрических поверхностей раздела и для

тел вращ ения

с замкнутыми

поверхностями раздела [73]. Однако эти

поверхности

разд ел а не сов­

m -связную

область D с

границей

S = S x (J

S 2

U ... (J S m. П ри

этом

область D может быть как конечной, так и бесконечной, т. е. одна из

указанных

поверхностей

может

охватывать

все

остальны е. Оси

0/{г*

=

1, 2, ..., т ) предполагаются

параллельными. Д опустим , что конту­

ры

Г* поперечных сечений S k

в безразмерных цилиндрических ко-