книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

где

Р п .т

(cos 0) — присоединенные функции Л еж андра первого рода,-

которые

вы раж аю тся через

полиномы

Л еж андра Р п {р) по формуле-

Рп,т {Р) — sin m 0 — Р.п} Р— {р = c o s 0).

(2.80)

dpm

Е сли

используем уравнения

(2.12) с учетом (2.74), представления

(2.76)

то

придем

к

заклю чению ,

что

однородные

уравнения

равновесия

(2.12)

удовлетворяю тся тож дественно,

если

постоянные

kn, vn

и

являю тся

корнями

алгебраических

уравнений

— cn ti {п + 1) +

си

------j - j — с~ +

kn (vn +

-g-J |с + +

+

( v „ - 4 - ) ( C i 3

+

c j ]

=

0,

(2.81)

n (n +

l) |c + — (c13 +

cu ) (v„ +

- i - ) ]

+

К |v „

+

4 - )

X

X

[2 (c13 — cn

— Cn ) +

C33

------— cu 1l {n +

1)

= 0 ,

Я п -

Cn2 ~ Cia

( П -

1 )(я

+

2

) - 4 - =

0.

И з

первых

двух

уравнений

в

результате

исключения

величины

К

получаем

следую щ ее биквадратное характеристическое

уравнение:

— 2anv l +

bn =

0.

(2.82).

Здесь

Я/j =

л

{tl ~t~ 1) [СцС33 “Ь С44 —

(ci3 “}■С44)"] -f-

ZCS3C44

I

+ C33C

-|- 2cu (cu +

c12 — C13) + ~2~ C33C44| *

(2.83);

bП —

—I

2 (Сц -(- cl t --- c13) +

—

C33 + C44^ (n +

l)j

X

X

|c ”

+

cn n {n +

1) - f 4 ~ с 4«] — n {tl +

0

c + ----- Jr faa

+

c4«)]

j

*0)

C11-- C12

h n

(n —

1) (n +

2) +

o(2)

2c44

Kn

СцП (я +

1) — cu

K f V

- ^ - l + c -

(C13+C44) ( vn) - 4

_) + .+

Н а основе (2.78), (2.84) ф ормулы для

перемещ ений (2.75) приобретаю т

вид

« „ = £

S 4 У

" ' ' ~

^ - | Г К |,( 9 , а )

+

п=0 i=l

ОК)

(2.85)

“ « = £ i

^

’- Т 1 Д г ^ г К „ ( 9 ,а ) -

л==0 i= 1

00

2

- E E f l X V * * ’’ * - A - K „ ( 9 ,a ) ,

n=1 4=1

00

а п = п ( п + 1) + ^ - , bn = \п ( п + 1) —

2 ,

^(1) _ ( я + 1) (я — 2 + 4v)

К п ) = — (л + 1),

(2.86)

Д

п ------------я +

5 — 4v

К п } = п,

К

(4) _

п (я Ц- 3 — 4у)

п ---

4 — я — 4v

Т ак о й

переход согласуется с результатам и, полученными д л я

изотроп­

ной среды .

В

осесимметричной задаче,

когда

сферические

ф ункции

Yn (Э,

а )

заменяю тся

полиномами

Л еж ан дра

Р п (cos 0),

перемещ ения

«е»

и а , Щ на основании (2.85)

принимаю т вид

00

4

m

l

«о = -

£

£

т ~рР'п,

/1=1 i= I

«

2

. (О

1

И а = £ £ ^ ° / П

2 р Р я,

п=1 f=1

ОО

4

(2.87)

«,

=

2S

22

«

Л

Ь .

«=0 i=l

=

dpo

>»

Рн ~— cos 0.

нр ~— ашsin dj0).

Соответствующ им

этому

случаю

компонентам

напряжений

отвечают

вы раж ения

оо 4

^

Е

4 °

{c33/ < f (v<°------1=) +

c18 [2ff<° -

n (n +

1)]} / « >_ ^ Л ,

oo

4

/

a eo +

ff«a =

S

S

A n'{

(cn

+

c12) [ 2 K f — « ( «

+ !)] +

n=0 t=l

'

+

2cu KP{m!>) ------5 - ) } / » , - T

P „

to

4

3 /9 ЙЙ\

°0e — ®aa =

—

S

S

te n — Сц) [л (л - f

1) P n — 2рЯД] r v^ ~

n=l 1=1

=

-

«

„ 2

2

л<;> [k « ?

+

(v«> -

4 ) ] r < ' - - p K

o - » - « u 2

2

\

1

l

n—l i=t

i

“

2

.

JL_

^0a =

"2“ te n

cia)

E

S

V

2

[— 2p P „ -(- Л (л -f- 1) Р л].

Согласно

(2.84),

(2.86)

величины

vU’, v,(f’, X(nl)

отвечают

внутрен-

ней

задаче,

a

v„’,

v ^ ,

Ял* — внешней.

С

учетом

соотношений (2.86)

приведенные

формулы

согласую тся

с

соответствующими

вы раже­

П редполож им , что

рассматриваемая упругая среда является изотроп­

ной и

неоднородной. О днако

нахождение общего

аналитического ре­

ш ения

уравнений

равновесия

в перемещениях в

общем случае неод­

нородности затруднительно.

В связи с этим предположим, что

коэффи­

циент П уассона v является

постоянным, а модуль сдвига G

зависит

сил примут

вид

[120]

G

де .

„

. I

ди,

, дих

\

dG

1 — 2v

- + G V - u> + ( - ^ - +

dz

j

dz

^

дх

G

де

(2.89)

1 — 2v ду + O V 4 + ( ду

1 dz ) dz

о-

,

„ „ „

,

dX

, о

диг

dG

n

2Gv \

1 — 2v

де + С ? - я , + « - з г + 2 - ^ ~ з г =

0

dz

где

е — объемное расш ирение;. их,

иу,

иг — компоненты вектора пе­

ремещ ений и.

Е сли

представить перемещ ения

через

некоторы е ф ункции N {х, у,

z),

L {х,

у , г) в форме

V 2W +

g (2)

=

0,

g (z )

= - ^ ~

In G,

(2'91>

П ред ставл яя ф ункции

N

{x, у,

z),

L

{x, у, z) в виде

N

{x, у , z) =

ф! (x, у) фх (2),

L (х, у , г) =

ф 2 (*> У) Фа (г),

(2.92)

д л я

определения

%

(х,

у),

%

(г) (/ =

1, 2) находим уравн ения

0гф,

Эгф.

дхй

+

дуг

+

“

= О»

-

5

L + g ( z ) - ^ L -

а 2Ф1 =

0,

(2.93)

- Т р - - 2 8

«

-

З

1- +

&

<2) -

*

W -

2 « 21 - 5

1- +

+

2 a 2g (г) - ^ 2 -

+

а 2 {а2 +

[g2 (z) —

g ' (г)] j ф2 «= О,

где

а =

const — числовой

параметр,

который

определяется

видом

ф ункций

фх и

ф 2 (как

частных

реш ений

уравнений

Г ельм гольца).

Компоненты тензора напряж ений

на основе (2.90) и обобщ енного зако ­

на

Г ука

определяю тся

через

N

(х, у,

г), L (х, у,

г) по ф ормулам

° , , = ( v - | r V

a +

) L + 2 0

d*N

дхду

’

^

=

[ v ^

r V

’ +

ЬцЧг% ) i — 2G

02Л/

дхду

’

д*

+

02

(2.94)

- ( ■

дх*

ду*

=

-

(v V ‘ -

Щ

- g

f

-

а

( - * . -

- £ - ) АГ.

бы ть

учтено в ур авн ен и ях

равновесия (2.14)

как действие

объемных

сил

К,

имею щ их

потенциал

П, который

допускает представление

п

=

2G •

+ 2vv а * 7 \

(2.102)

где

а* — коэффициент линейного

теплового

расш ирения,

а м одуль

сдвига

G и коэффициент П уассона

v считаю тся

не зависящ им и от Т .

В этом

случае уравнения

(2.14) записы ваю тся

в

виде

V 2u

+

-J~ 2 ~

grad (div u) = 2cc*

~ gvv g rad T .

(2 .103>

Отметим так ж е,

что потенциал П

центробежных

сил

записы вается в

форме

П

= - - ^ - ( х

2 + £/3),

(2.104)

где

ю — угловая

скорость

вращ ения,

р — м ассовая

плотность.

Трансверсально изотропное т е л о .

Н е

ограничивая

общности рас-

суж дений

предполож им, что компоненты

Кв, К а,

К г вектора объемных

сил

К

в

сферических координатах

0,

а ,

г допускаю т представление

* « - S С

/ " ”

Т

у „ (0, а ) ,

(2. Ю5>

K r =

S

D

/ " - ^ Y

n (<b,a),

где У п (0, а ) — сферические

функции п-го порядка;

Сп, D n — неко­

торы е известные

постоянные.

С оставляю щ ие

«е.«,

иг,* вектора

перемещений

и*, соответству­

причем постоянные коэффициенты /г„ и Еп определяю тся

через извест­

ные постоянные Сп, D„.

Д ействительно, используя вы раж ения (2.76), (2.105)

и (2.106) из

Е п =

|с</11^2 {fiiз

Сц

Ci2)

Ч- с33 ^[Ап

СцЯ (я Ч* 1)j

(Cl3 +

С44)(^я— " г ) + С+

}

£о*о ^Мч) Ч" ~2~j =

—

° 0 [2 (С13 — С11 — сп ) Ч- сзз ^ 0 ----- j - j

,

(2.108).

Enk'n

+

~Y j

=

Q - 1\ c n | >

— (c13 + c41) |p.rt +

4 - )

n (n +

1) +

- f

D n

c

+

cn n (я +

1) — c4i

J ,

где Q„ =

C33C44

(рп — 2a n\in +

bn),

а

коэффициентам an

и

bn соответ­

ствую т вы раж ения

(2.83).

Н апряж ения

a

t

соответствующие объемным силам (2.105), опре­

деляю тся

по формулам типа (2.76), которые в случае осевой симметрии,

упрощ аю тся:

а гг.* =

Д

Е'п (с33/ и

( р „ ------+ сi3 [2 К'п — я

(п +

1)]} / п~ т

Р п,

ст00I..* +

а«а.* =

£

Ёп j(cu

+

с12) \2Кп — Я (я +

1)] -Ь

/1=0

I

+ 2 с . Х . ( |1 „ - х ) )

(2.109)

оо

3

000,* — СГаа,, = — (cn — С12) £

Е'п [п (п + 1) Р п — 2рР'п] r Ufl

2 ,

л=0

®гв,* =

^44 Д

Е п [ к п Ч-

------2~) ] г

2 рЕI»•

где

п (п +

1) СЛ1 — си ^1Я-----i - ) +

С-

Кп =

kn

Ч----Y j = -

j + f+

(2.110)

(с13 +

с44)

т

а 00 =

сп еоо -f- с12еаа + с13егг — ЬгТ,

G<m

C426fl0 -)- Сцёсссс Ч- ^1з&гг

Ь ,

~

с1з (е0о Ч" саа)

(2.111)

Ч~ сзаегг — Ь2Т ,

°ге = Сц€гв>

а га ~ Ci4erа,

СТ0а = -g- (Сц — С12) еда-

Д л я

такого рода

кусочно-однородных

тел дана постановка соответ­

ствую щ их

пространственных краевы х задач механики сплошных сред

и излож ен

[71, 79] приближенный аналитический метод их решения —

первый

вариант метода

возмущ ения формы границы.

Развитый

под­

ход не зависит от уравнений состояния, равновесия или движения тел

(он зависит только от геометрии поверхности раздела). Это

позволяет

распространить

его на ш ирокие классы

краевы х задач

механики

ку­

сочно-однородных сплошных сред.

2.1. П остановка задачи. Рассмотрим

толстостенный

многослойный

полый цилиндр, у которого граничная поверхность

S 0 совпадает с ко­

ординатной

поверхностью

р =

р0 криволинейной

ортогональной

(не­

круговой цилиндрической)

системы

координат

р, у, £. Предположим,

что контур Г 0 поперечного

сечения поверхности S 0 описывается функ­

цией

® (£) =

го 1C +

е/ t£)l

^

j 17^

(х +

iy = ret0 =

r ^ l(a (£),

£ =

P<?‘v.

t =

V

—

1).

конформно

отображаю щ ей

внутренность | £ | <с 1 (внешность | £ | > 1)

единичной

окруж ности

на

внутренность

(внешность)

контура

Г„.

П ри

этом аналитическая

функция

f (£) и малый параметр е ( | е | <^

1)

характеризую т

форму

контура

Г0, а

постоянная

г0 — его абсо­

лю тны е

размеры

и ориентацию

по отношению

к системе прямоуголь­

ных

координат

хОу. Отметим

такж е, что

параметр s

характеризует

отклонение

поверхности

S 0 от соответствующего кругового

цилиндра.

Д л я

взаимно-однозначного соответствия необходимо, чтобы а»' (£) ф

ф

0,

т. е.

чтобы

корни

уравнения

1 + е / '( £ )

=

0

(2.118)

л еж али

внутри

единичной

окруж ности

в

плоскости £.

Заметим, что если область D , зан ятая телом, конечна, то при | £ | <

<

1 ф ункция

to (£) голоморфна, и поэтому разлагается

в ряд по поло­

ж ительны м

степеням переменной £. Если ограничиться

некоторым

конечным числом k0 членов указанного ряда, то аналитическую функ­

цию

/ (£) можно

представить в

виде

полинома

/ (£) =

Е

а*£*

(ак =

const).

(2.119)

k=i

Если

область D

бесконечна, то для f (£) справедливо представление

/ ( 0

=

£ с » Г *

t o - c o n s t ) .

(2.120)

к=\

П редположим,

что поверхность

5 ,

раздела

1-го и

(/ +

1)-го слоев

2.119)

мож но

зап и сать в

виде

х =

I р cos у

+

s ^

a kр/е cos k y

р=р,т

k=\

(2.121)

Г

*•

1

у =

у

+

Е

a kр* sin ky

(m

=

0 , 1

, 2 , . . . ,

N ).

р s in

£

L

В этом случае

наблю дается следую щ ее

соответствие

• $ о ~ Р =

Р о = 1 *

*Si •—' Р =

Pi <

1»

Si ~

Р =

Р/ <

1, . . . ,

(2.122)

S n ~ р =

p,v ■< pi <С

<С Ро •— 1

( / = 1 . 2 ,

N

— 1).

С огласно

данном у выш е определению поверхности

S 0,

S h S n

являю тся ортогональны м и, так

к ак в произвольной их точке вы п олн я ­

ю тся

условия

ортогональности

Cv.m ' Cfi,m — 0,

6g,m

вл,т — 9

(2.123)

(Cp.m * Сп.т ~

1>

Ш = 0»

I,

N ).

Д опустим ,

что

поверхность

Si

раздела

/-го

и

(/ 4 -

1)-го

слоев,

а так ж е внеш няя

поверхность

S n совпадает с координатны м и

поверх­

ностями р

=

р* >

1 (/ =

1, 2,

..., N

—

1)

и р

= Pn >

1. Тогда

соглас­

но (2.117),

(2.120)

их

уравнения

имеют

вид

So ~ Р = Ро = i» S j ~ р = р , > 1, . . . , 5 / ~ р = рг > 1,

(2.125)

S.v ~ р = р л г > р ; >

>

р0 =

1

( / = 1 , 2 , . . . , / / — !).

Н а

координатны х поверхностях

5 0,

S h

S n так ж е вы полняю тся усло­

вия

ортогональности (2.123).

П усть требуется исследовать

напряж енно-деф ормированное состоя­

кругового цилиндра при заданны х

на его боковых

граничны х поверх-

о

о

и

ностях

S 0, S n

перемещ ениях и/,о,

И/,л или

н ап р я ж ен и ях

сгр/.о,

Стр/.лг (/

= р, у,

£). Следовательно,

в статических

зад ач ах необходимо

найти

решение уравнений равновесия

в н ап ряж ен и ях (2.12) или

пере­