книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

о гг =

р +

А (1 — cos 20) (1 +

cos 2а),

ае0 =

р +

А (1 +

cos 20) (1 +

cos 2а),

g ^

Оаа = <7 + Л 0

— cos 2а),

о,© = A sin 20 (1 +

cos 2а),

о ,а = — 2Л sin 0 sin 2 а ,

оеа = — 2 -4 c o s 0 s in 2 x [ а

= - ~ р

(2.137). Компоненты o f/,

входящие в граничные

условия

(5.103), яв ­

ляю тся

коэффициентами

разлож ений

номинальных

напряжений

Л

р, у, ф) в ряды по степеням е. В частности, в нулевом при­

Gij (i , /, =

ближении

(п — 0) они совпадают с (5.105), если

переменные

г, 0, a

формально заменить на р, у, ф. В первом

(п =

1)

и втором

(п = 2)

поверхностей

вращ ения, описываемых

на основе (2.174)

при f (£) =

= £~N, имеют вид

=

A N p~N~ l [cos (N — 1) у — cos (N + 3) у] (1 +

cos 2ф),

ofy =

— A N p~N~ l [cos (N — 1) у — cos (N -f- 3) у] (1 + cos 2ф), сГфф = 0,

Ору =

A N p~N~ l [sin (N —

1) у - f

sin (IV -f- 3) у] (1 - f

соз2ф),

a /ф =

— A N p~N_i [sinlV y -f- sin (N + 2) y] sin 2ф,

Оуф =

ЛА^р- ^-1 [cos IVy

cos (N + 2) y] sin 2ф,

^

^

a®

^

AN2p-w -2 [CQS 2y _

cos 2 (N + 2) у] (1 + cos 2ф),

Oyy =

— A N 2p~2N~ 2 [cos 2y — cos 2 (N +

2) у] (1 + cos 2ф),

=

0,

Opv =

— A N 2p ~ w ~ 2 [sin 2y — sin 2 (IV -f- 2) yj (1 +

cos 2ф),

Орф =

- j- A N 2p~2Nr 2 [2 sin у — sin (2N +

1) у — 3 sin (2N

+

3) y] sin 2ф,

e g =

A N 2p~2N~ 2 [2 cos у + cos (21V +

1) у — 3 cos (2N +

3) y] sin 2<p.

orr =

q ~ tp ■+

q о Р ■cos 20,

aee =

ЧЛ - Р-------- q 2 Р

cos 20,

(5 .107)

2

1

i

i

о<ш =

Ру

о>е =

sin 20

& а =

ава =

°)-

В связи

с этим компоненты 0I7

(t, J =

р,

у,

ф)

в

рассматриваемом

случае

не

будут

зависеть

от

угла

ф.

В

первом

(п —

1) и

втором

(а = 2)

приближ ениях соответствующие

им вы раж ения

следую т из

(5.100).

И злож енны й

подход, основанный на

применении

первого

вариан ­

та

М ВФ Г

(гл. 2) в

сочетании с интегральным преобразованием Л ап л а ­

са

по времени, к решению

пространственных краевы х задач о

напря­

фильтрации

газа впервые применен

в работах [143, 144].

3.3.

Неортогональные поверхности выработок. П редполож им, что

поверхность S конечной выработки в сферических координатах г, 0, а

(0 — угол,

отсчитываемый от горизонтальной оси

выработки

z, па­

раллельной

дневной поверхности)

описывается

уравнением

типа

поверхность S , то ее уравнение запишется в виде

г — 1 +

е/ (0, а ).

Краевыми условиями в напряж ениях на S будут

[(о>/ +

ог/) пг + (0е/ + 0е/) пв + (0«/ + а а/) n«]s =

х, {j ~

г,

0, а ),

л

(5.108)

где хг =

— Р в, т0 =

та = 0; 0// — компоненты

номинального

н апря­

ж енного

состояния,

определяемые по формулам

(5.105); 0*/ — компо­

выработки.

Они представляются в виде

суммы: оц = 0?/ + а ]/, где

составляю щ ие

0?/ отвечают общему решению трехмерных

уравнений

равновесия

в

сферических координатах,

а о** — частному

реш ению

через

приведенное

давление Р г аналогично тому,

как в несвязанной

теории термоупругости условные объемные

силы

вы раж аю тся через

тем пературу

по

формуле типа (4.75), так как уравнения

состояния

(4.61)

и (5.90) имеют аналогичную аналитическую структуру . Е сли

учесть, что на поверхности S для давления Р

выполняется

равенство

л

(Р +

P )s =

Р Ву

то

краевое условие д л я

приведенного давления Р 1

на поверхности

S с учетом (5.89) имеет вид

P x \s =

зр*р*

\

D*

2ц* 0pp Is -

(5.109)

3 ^ + 2ц*./ +

3?i|

П рим еняя сначала преобразования

Л апласа по. безразмерному времени

F ° i Для напряж ений a i} и

приведенного давления Р ъ в

пространстве

изображ ений

аналогично

(5.97)

получаем

компоненты

а и (г, 0, a , s),

P i (r> 9, a , s),

где

s — параметр

преобразования.

Если решение задачи искать в виде рядов типа

(5.99), то в произ­

вольном приближении на

основе (5.108), (5.109) в пространстве изобра­

ж ений получаем краевые

условия

C(r?\r=l1г=! = ----- (огг +

Р в),

Оуе* |r= i =

1

л

~(0) ,

1

л

Г“ °г0>

|г=1

Т

° га'

ф

- р в) (в *

+

зр*Р*

D*

2ц*

■<т(0)

ЗА.*

+

ЗХ* +

ирр г=1.

£

[ О р Ч Т " 1+

£ > Г Й Г “ ’ +

I =

(5.110)

m=0

£

i}m)p f ~ m) |r=1

л*

l

n

L(fn)a {n- nt) I

,

= ---------------- --

У

( n > 1).

m=0

31? + 2ц*

s

2

^

°pp

!r=l

Здесь L <m), D*m' (k =

1, 2, 3) — дифференциальные

операторы, кото­

рые в общем виде определяю тся формулами

(3.86), а в случае осесим­

метричных поверхностей выработок, когда f = /

(0), в первом (m =

1),

втором ( т =

2) и третьем ( т = 3) приближениях им отвечают формулы

типа

(3.143).

Замечание

1. Если

поверхности

выработки

являю тся осесиммет­

ричными

относительно

вертикальной

оси у,

перпендикулярной днев­

ной

поверхности, то рассматриваемая

задача будет осесимметричной,

так

как

номинальные напряж ения

в сферических координатах г, 0, а

(0 — угол широты, отсчитываемый

от оси у) определяются по форму­

лам

(5.107).

Замечание

2. В случае бесконечной

горизонтальной

выработки

с

мой насыщенной

пористой среды, ослабленной такой выработкой,

является плоской.

Основные

уравнения плоских краевых задач, их

приближенные решения для

конкретных

форм поперечных сечений

иекруговых цилиндрических

выработок,

а такж е механические эф­

П ри разработке приближенных методов и особенно при их

примене­

нии к решению конкретных задач одним из главных вопросов

является

этим

проверка эффективности первого

и второго

вариантов М ВФ Г в

различны х

классах пространственных

краевых

задач для кусочно­

однородных

неканонических областей

проводилась на основе сравне­

ния

полученных приближенных решений для эллипсоидальных обла­

условиям , а

такж е

сопоставления с экспериментальными данными.

В некоторых

случаях необходимо проверять такж е точность удовлет­

ворения уравнений

равновесия (например, при решении краевы х за ­

дач термоупругости

в случае, рассмотренном в § 4 гл. 4). Однако так

при кручении моментом М изотропного цилиндра радиуса

со

сво­

бодной от напряжений эллипсоидальной полостью,

ось которой

сов­

падает с осью цилиндра. При этом предполагается,

что его

внешняя

ний о£ф на

поверхности

полости (р =

1)

определяются по формуле

Ьт

—

УФ

.

я

2 (It -

О2

( р > _

2М

(6.1).

—

Р'Ь

З ф - 5

^

+

2 \

nR‘l

P=l.v= —

где

arcte/ Ц Е

!

(6.2)

ИЛИ

| J

‘ = 7 f = r [ , n ( l + | / 1 -

р = 1, который при у =

я /2

имеет вид

о* I

=

I1+ е)а

(о —

а ~ ь

(6.4).

Р lp=l,V= - j

1— Б

\

fl-f6

причем а, b — полуоси эллипсоида

вращ ения.

-конформно

отображающей

функции (2.174) при

f (£) =

p ~ le~ lv, е

=

В табл. 6.1 приведены

числовые значения для

коэффициентов кон­

центрации

напряжений

Ауф[48]

и feljq,, полученные на основе формул

(6.1),

(6.5).

Н аряду с

этим

приведены

погрешности (в

процентах),

т.

е.

A*0, % =

|Av

d

~

0 100 %

(л = о,

1,

2),

(6.6)

*V<p

где

k%, ky<l и k$> соответствуют одному, двум и трем

членам полинома

(6.5). При этом значениям е >

0 (а~ > Ь) отвечают вы тянуты е, а е <

О

'{а <

Ь) — сжатые эллипсоиды

вращения.

задачи с точностью

О (е3)

погрешность не превышает 3 %

при | е | ^

0,333. Примерно

такая

ж е погрешность получается для

| е | < 0,2

при решении задачи

с точностью О (е2).

радиуса

с упругим

неканоническим

включением

при идеальном

контакте на

поверхности раздела

S . В

частности,

уравнением г =

= 1 + е cos 20 при

малых положительных значениях параметра е

достаточно хорошо описывается поверхность S , близкая к вытянутому

эллипсоиду

вращ ения

с

полуосями

а = 1 + е , b =

1 — 8. В случае

заменить в на — е.

Получено решение для произвольных отношений

G JG X(Gx — модуль

сдвига

вклю чения, G2 — цилиндра), которое в

частности, при GJGX =

0 отвечает жесткому включению, а при G2/Gx =

= оо — цилиндру

со

свободной от

напряж ений полостью. Так как

согласно второму

варианту

М ВФГ

задача реш алась в сферических

координатах г, 0, а

(а — угол долготы), то на поверхности раздела S

Ода,2 — (0га,2 + Ora) tlr ~Г (06а,2 _г 00а) По,

(6-7)

Л

/ч

0sa,2 = (Р0а,2 "Ь 0(Эа) Пг

(Ога.2 ~Ь 0ra) flQ,

ному состоянию

при

кручении; пг, по — направляющ ие косинусы

единичной

нормали п к

S (s — касательная к S).

В табл. 6.2 приведены числовые значения коэффициентов концент­

рации

(л = 0,

1 ,2 )

на поверхности полости (0 = л /2, GJGX=

00)

в тех ж е обозначениях, которые приняты в табл. 6.1.

Числовые данные табл. 6.3 отвечают случаям жесткого {GJGX=

0)

ся указанным выше уравнением при s =

0,077. Д л я

сравнения приве­

дены

точные значения коэффициентов

концентрации напряжений

kla

148].

1.2.

Осесимметричная деформация

среды с

эллипсоидальной о-

напряж ения 0yV и

в сечении р =

1, у = л/2 определяются по фор­

мулам

р=1,у=я/2

= - k r (2 (1 + v ) - с ( 2 ^ + 2v + 7 У 4-

"Ь 1 ~f*

"Ь 2v]f

Т а б л и ц а 6.5

Р= 1

Р = Р|

Pi

ДО)

Д2)

kT

Л0)

%

*«

ям

ки

Rii

i =

у, ер; у =

0

тах

Ti, ф. При этом внутренней S 0 и внешней

поверхностям эл­

липсоида отвечают значения £ = £0 и £ =

liПриближенное аналити­

ческое решение этой задачи, построенное

с помощью первого варианта

ней S 0 и внешней S t координатным

поверхностям эллипсоида

враще­

ния соответствуют значения р =

1 и р =

рг. Д ля возможности

сравне­

ния числовых

результатов, полученных

на

основе двух

различных

подходов,

установлена взаимосвязь

ch £о —

1 + е

ch

=

Р] + е

(6.13)

2 1 /1 ’

2 1^1р,

Числовые

значения

для

коэффициентов

концентрации

напряжений

k)j = о}//р

и

kfj =

(of/ +

го1}} +

£2ofJ)/p

на

внутренней

(р = 1) и