книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

В (2.199) Xk, t/k, zk — декартовы координаты;

rk,

Qk, zk —

круто*

вые цилиндрические координаты, вк — безразмерный

малый параметр

( | ч I <£

1);

гок —

постоянная, характеризую щ ая абсолютные размеры

контура

Г*

и его

ориентацию

по отношению

к системе координат

<**, Ук)-

взаимного

однозначного соответствия при

конформном ото­

Д л я

браж ении необходимо, чтобы

корни уравнения

( Q = 0

лежали

внутри единичной окруж ности в плоскости

и tipkfk, прилож енных

соответственно

к поверхностям

Sk и на беско­

нечности (если

область

D является бесконечной). Тогда необходимо

найти реш ение

уравнений равновесия (в случае статической задачи)

в напряж ениях

(2.12) или перемещ ениях (2.13) (при рассмотрении изо­

тропны х многосвязных

тел), удовлетворяю щ их граничным условиям

+ °Pk'kK = % /*

(/* =

Pk> 7ч. Ы*

(2.200)

Е сли ж е полости заполнены жесткими

вклю чениями, то

на их поверх­

ностях S k {k —

1 ,2 ,

...,

т ) в случае идеального контакта имеем

(« 4

+

u/k)Slt =

0

(Jk = р*. yft, l k),

(2.201)

где

Л

соответствующ ие

основному

напряженно­

« /fe — перемещ ения,

му состоянию

oik,k, заданному на бесконечности.

Если область D конечна в направлении

zk, то уравнения (2.200)

или

(2.201) при

Ра =

const должны

быть дополнены соответствующи­

ми

краевыми

условиями

при

= const, т. е. условиями на торцевых

поверхностях

Sjf (в предполож ении,

что они совпадают с координат­

поверхности S f свободны от

напряж ений

(а /£к

^ 4 4 )5 ± — 0

(Д

— Pft. Yft» £*).

(2.202)

торцы жестко защ емлены

(«/* +

“ i,)s ± =

0

(4 =

Pft. Yft> 5*);

(2.203)

(Upk - f Upk)s ± = 0,

(uyk -f- uVk)s ± — 0, (a |ftgfe - f

~ ^ ; (2.204)

Е

й

®

у сл о ви я

п лоского

торц а

(Щк + 4 k)s ±

=

0,

(оРкък +

a Pktk)? ±

=

0,

(<TVfetfe +

=

0.

(2.205)

З ам еч ан и е . Е сл и

поверхности

S k явл яю тся

круговы м и

цилиндриче­

ски м и , то , сл ед у я

работам

[22,

26],

гарм онические

ф ункции

(/ =

= 1, 2 , 3), через

которы е

вы раж аю тся

перемещ ения

и

н ап р я ж е н и я ,

нап рим ер

по ф орм улам

(2.57) и (2.60) в реш ении

К . Ю н гдала для

изо­

тропной среды , д л я

m -связной

области

представляю тся

в

виде

т

£

*,)•

(2.206)

9=1

П р и этом при н ц и п и альн ы е трудности состоят в том , что в (2.206)

пред­

ставл ен о т

систем

координат,

а

для

одновременного

удовлетворения

граничны м

условиям

на всех

поверхностях

5 Х, S 2, ...,

S m необходимо

перейти к одной системе координат. Если

поставленная к р а е в а я

зад а ­

ча д о п у ск ает представление функций ¥ /„

через соответствую щ ие ф ун к ­

ции

Б е сс е л я , то

переход от

переменных

rqt 0fl, zq (q

=

1 , 2 ........ k — 1,

k

1, ...,

т ) к переменным гк,

Вк,

гк

м ож но осущ ествить

с помощью

теорем ы слож ен и я

д л я

цилиндрических

ф ункций [133]

COS

00

[Г

cos

z p (crQ)

.

pBq =

(—

l)p £

8nJ n (crk) j

Z p+n (ch q)

(p - f

n )

-b

Ы11

fi—0

olii

+

(— 1)

cos

1

Zp-n (clkq) sin

(p — n) q>kq COS n%k ±

sin

п) фkq — (— 1)

sin

"I

)

[ Z p+n (clkq) cos (p +

Zp_n (clkq) ^

(p — л) tpftJ sin Л0А|

(8o =

0,5;

8 n =

1,

n Ф

0),

(2.207)

где

J n — ф ункции

Бесселя;

Zp — произвольная

ц илиндрическая

ф ун кц и я,

с — произвольная

постоянная;

hq — расстояние

меж ду на­

чалам и 0*

и

0„

соответствую щ их

систем

координат

(lkq >

rk,

Uq >

>

гр),

—

угол

между осью

х к и

направлением

0*

0 ,.

С лож ность аналитического

реш ения

поставленных

вы ш е задач су ­

щ ественно увеличивается

ввиду

того,

что

поверхности

S k являю тся

некруговы ми

цилиндрическим и,

описываемыми согласно

(2.199)

у р ав ­

нениями

хк — rpk Rfi [£* 4- £й/й (C*)]pft=i»

U k ~ r ok Ini

4- б*fk ( ^ ) ] Pft—i.

(2.208)

Точное общее реш ение уравнений равновесия с разделяю щ им ися пере­

менными

рк, Vk, £fe, как уж е

отмечалось

в § 2,

найти

не уд ается . Э то

п репятствует

непосредственному

построению

аналитических

реш ений

д л я м ногосвязны х

областей.

4 .2 .

М етод возмущ ения формы границы . П оскольку метод реш ения

краевы х зад ач д л я многосвязных областей

с

круговыми

цилиндриче­

ским и поверхностям и

раздела разработан 122,

26],

естественным

пред-

(23, 27, 73]. Н а его основе реш ение задачи для

многосвязной

некано­

нической области ищем в виде рядов

< V * = J 0 е"а W

= J

0

/* =

Р*

Tit. Ы .

(2.209)

причем в качестве малого парам етра s примем

|е |

= m a x |e ft|<C 1

(е* =

е% ,

0 < r ] ft<

1, k =

1,

2,

,

m).

(2.210)

Д л я

определения

составляю щ их

п-то

приближ ения используем 'фор­

мулы

преобразования

компонентов тензора

второго

ранга

и векто­

р а

при

повороте

системы координат

rk,

0*,

zk на

угол рА вокруг

оси

гк,

т. е.

« V * =

+ - г

К

е* -

0V *) ^

- cos 2^

+

V

. sin

GW k =

° еЛ

----- г

( 1 — cos 2&) — V *

sin

=

<4ft*

4 v A=

4 -

Sin 2p* +

V

*

C0S

=

C0S P* +

CTVfc sin P*>

(2 -211>

0l,kh =

Gekzk C0S

° Гкгк S*n P*’

uPk =

Urk cos Pfe +

m k sin pft,

uy& =

uek cos pft — urk sin p*,

(&)

(£*)

“

Ч

sin pfe =

£ka u (£fc)

(Cfc)

(2.212)

Im |-

cos 2pft = cos2 pft — sin 2 pfe,

sin 2pft = 2 cos р/г sin pft.

П о аналогии с (2.156) составляю щ ие

напряж ений а,п Sft (г*, 0*. г/;) ( т к>

м е т р а s =

—1

, допускаю т представление

рядам и

efer|*

(r А»

0fe>

zk)'

u *k {r A>

6fe> 2/,)}

=

W

f/i

=

£

e”

£

K

7

’ (p*. V*. £»)•

< С

”) «р*. T‘ > !*))■

(2-213)

m=0

ц=0

Д и ф ф ер е н ц и а л ь н ы е операторы L к

определяю тся

на основе р екуррен т­

н ы х соотнош ений

=

Rk.n |е=0 =

^

b

1

—1)е=0

(п

1)>

R k0=

l ,

R kA= D kA,

D k,n =

6D,

Г

1

( n > l ) ,

(2.214'i

' ^

n

_

1 ( P 'k

d

i ^

_ L _ \

/ „ - > n

D *,n “

n2

\

aef*

drk

+

ae"

aeft J

{

> )‘

П р е д с та в и м

вы р аж ен и я

(2.212)

в виде

рядов

cos р* =

£

s/ R e Qk.f (bk).

sin Pa =

S

&/ Im Qa./ (&).

/=o

/=o

(2.215)

oo

oo

cos 2(3* =

£

e ' Re ?a./ (£*),

sin 2fo =

£

e ' Im ?*./ (bk),

/= i

/=o

где qkj (bk) вы раж аю тся через

Qkii ( Q

по ф ормуле

Qk.j (^/i) =

£

Qk,n (Cft) Q.k,i—n (bk)>

(2.216)

причем

Qk.j (tu)

— коэффициенты

разлож ения

соответствую щ их вы ­

р аж ен и й

(2.212) в ряды

по е,

которые имеют вид

/

v

п

т

(

Г

^ л . /( £ а ) =

2

£

£

£

р ™ .« .5( У

+

J /а(Ь>)a (bk

+“1

J ^ v—l.rt,m,s (Ca) H“

v=0 п=0 ш=0 5=0 I

Т

А (S/г)

2.n.m,s (С/г)j •

(2.217)

(v - f

/г +

/72 + s = j)

З д е с ь

f i v

, . „ , ( t . ) =

( - i r --------------- 1,l!

X

(v — n)l (n— m)\ (m — s)I si (2v)H

X

[Ofe (bk) +

ca (Ьк)Г

П \a k (br) ca (bk) +

bk (bk) +

d k (bk)]”

X

X

Iflfc ( w

d k ( У

+

6a (bk) Ca ( Ш т ~* [6a (bk) d k (bk)]s,

(2.218)

aA(b )

=

/a (b )

+

/a (b)>

bk (b ) =

/* (b ) /* (Ьа)»

c * (b )

=

- & £ * - +

- Ш

- ,

d k &k) =

М Ы

h M

- .

ЬА

Уг

U

СA

н ях параметра е получаем

следующие рекуррентные соотношения:

для компонентов тензора

напряж ений

п

для

компонент вектора

перемещений

<

’ =

£

|Л Й г",< ’ +

A S r - H ? ! .

л

т=0

11

„('0

п

гА(/1—т)/Лт)

—т)

(/гг),

=

V

(2.220)

*

2j

1^5/г

Wq

— Я 6/г

Ur. J,

щ=0

я

к

„<п>

V

л(л—т)

(т).

“ 6л =

А

Л,а

Ч ’

т=0

для

произвольной

скалярной ф ункции

ф Г

=

£

л Г

т ,Ф Г ;

(2.221)

т —0

для

производной

от скадярной функции

—т)

д

+

Л & -“ ’ - pfc

Ф1т). (2.222)

( ж

®

i f -

S

j A B 5*

др/г

5?* J

(П)

имеют вид

Д иф ф еренциальны е операторы Л /*

ЛГ.1 =

4 -

Ц * .

Л и --------- г

£

Re ? ../ (Ы

( » - « !

’

л!

9

^

л

J /=1

A S1-

£

Im q tJ (Ы

•

AS* =

Л |‘

- 2Л "

’

/=1

L(«-/-)

4 n-/>

(2.223)

-

S ^

& ./ (U) - f c b j j T

»

=

£ , Im Qft,/ (W

/=o

i-0

В р ек у р р ен тн ы х

соотнош ениях

(2.219) — (2.222) в

ком понентах,

фи­

гу р и р у ю щ и х

в

и х

п равы х ч астях ,

им еется

зависим ость

(Pft> Yft»

£*)'

=

lli^ (p£, yk,

£*)»

Ф й°

=

Ф *° (pfe, Ук, Ы

(mfc,

Sk =

r k,

Qk,

zk).

(2.224)

К р аев ы е

у сл ови я

на

некруговы х

цилиндрических

поверхностях

S k

в п рои звольн ом приближ ении

на

основе

(2.200),

(2.201), (2.209) при­

м у т

вид:

при зад ан н ы х

на S k н ап р яж ен и ях

[ ° (у А +

a Pfe/feb*= l

=

=

Р**

Ya>

Sfc);

(2.225)

в сл у ч ае

ж есткого

вклю чения

1и% +

« Г Х - 1

= 0

(/» =

Ра. Та- Ь )-

(2.226)

Зд есь

ap^/fe,

м/^ — коэффициенты

разлож ен и й

компонентов

на­

пряж енно -деф орм ированного

состояния,

соответствую щ его

заданной

н а гр у зк е

на

бесконечности. Е сли

поверхности S k свободны

от

н ап р я ­

ж ен и й , то в

(2.225) следует полож ить

=

0.

К раевы е

условия

на

торцевых

поверхностях

S f

в

л-м

приближ е­

нии

записы ваю тся

аналогично

на

основе

(2.202) —

(2.205),

(2.209).

П р и

реш ении

конкретны х

задач

уравнения (2.225), (2.226) зам ен я ­

ю тся эквивалентны м и

им граничны ми

условиям и

на основе

р ек у р ­

рентны х

соотнош ений

(2.219),

(2.220). Т ак ,

наприм ер, на поверхности

ж есткого вклю чен и я

вместо (2.226) имеем

Ur^ (Pfe> ук>1а) |р*=1 =

иРк (Ра> Va> Ъд |рА=1

—

S

[Л5”

m)Ur^ (Pk* Ук> £fe) 4~ М б

m)U ^ (Pfti Ук> Efe)]pft=l»

771=0

(р*. Ук> 5а) |р,=!

=

(Ра> Та. 5а) 1р,=1

-

s '

1 Л Г " ’4 " ’ (РА. Та. 5а) -

Л Г ' Ч

? (Ра. Та. 1а)Ц -1 .

(2.227)

т=0

^4^ (р/г>

^/г) 1Р^=1 =

= —

(Рл» У

5*) |рА=1 —

S

(Pft, Yft* У |рл=1*

т=0

Т аки м образом , излож енны й в п. 4 .2 метод возм ущ ения формы гр а ­

ницы позволяет свести поставленную в п. 4.1

пространственную к р а е ­

вую зад ач у д л я m -связной области D

с некруговы ми цилиндрическим и

поверхностям и раздела

S k (k =

1, 2,

...,

т )

к рекуррентной последо­

вательности соответствую щ их

краевы х задач

для m -связной

области

с круговы м и

цилиндрическим и поверхностями

р азд ел а .

дач

в настоящем параграф е

являю тся многосвязные тела вращения

с замкнутыми, поверхностями

раздела, близкими к сферическим [73}.

П ри

этом ось вращ ения каждой из поверхностей раздела совпадает с

5,1.

П остановка

задачи. Рассмотрим пространственное т-связное

тело, занимаю щ ее область D с общей границей S , которая представля-

т

ет

объединение S =

(J S k. П редположим, что поверхности Sk {к —

k=1

=

1 ,2 ,

т ) являю тся замкнутыми близкими к сферическим поверх­

отображаю щ ей

функцией

Ч +

iRk =

( У

=

гок &

+

(&)1 = г^

вк

(2.228)

(£* = р Л

0 < т |* < 1 . |в | « 1).

Зд есь

го к — постоянная,

характеризую щ ая

размеры

контура

Г* и

его ориентацию

относительно системы

координат

(г*,

R k),

R k — рас­

стояние рассматриваемой точки от оси

вращ ения;

/>, 0Ь а к — сфери­

ческие

координаты; р*,

y k,

щ

— криволинейные

ортогональные ко­

ординаты (координаты тела вращ ения). Д л я

однозначности

конформ­

ного

отображ ения

необходимо,

чтобы

корни

уравнения

1 +

Щк(и ( У

=

0

(ft =

1 ,2 ,

т )

(2.229)

леж али

внутри единичной

окружности

в плоскости у

П редположим, что требуется исследовать напряженно-деформи­

рованное состояние рассматриваемого

тела

вращ ения

при

заданных

о

на поверхностях

S k напряж ениях

Орк/к- Тогда при

рассмотрении ста­

тических

краевых

задач

необходимо найти

решение

уравнений рав­

новесия

в напряж ениях

(2.12)

или в

перемещениях

(2.13)

(в

случае

изотропного

тела),

удовлетворяю щ ее

на

поверхностях S k

краевым

условиям

(Gokii/ "Ь °рk'i)s k =

аркЧ

(^ ~

^’

т ) .

(2.230)

Если

рассматриваемые

полости

заполнены

жесткими

включениями,

то в

случае

идеального

контакта на поверхности

S fc краевыми

усло-

(и/fe + и ф к = о {jk = pk, ykt фА),

(2.231)

В у р а в н е н и я х

(2.230),

(2.231) crPft/ft, u /k

соответствую т

зад ан н ы м

уси ­

л и я м

на бескон ечн ости .

З а м еч а н и е .

Е сл и

поверхности

S k явл яю тся

сферическими,

то в

с и л у

линейности задачи реш ение для

/и -связной канонической облас­

ти

согласн о

[22,

26]

ищ ется

в виде

суммы

т

реш ений типа

(2.206).

П р и

этом если

постановка

задачи

допускает

представление

реш ений

через

присоединенны е

ф ункции

Л еж ан д ра

(в

сл учае

осевой

симмет­

рии — через

полиномы

Л еж ан дра), то переход в суммарном

реш ении

ти п а (2.206)

от

переменны х

rqi

Qq>

a Q (q

=

1, 2,

.... k — 1, k +

1, ...

.... m)

к едины м

переменным

r k, 0fe, a ft для

рассм атриваем ой

внеш ней

зад ач и

м ож но

вы полнить с помощью формул

преобразования

Р ? ( cos9„)

1

оо

(п — гп — s)!

1

cos m a Q

X

ч

(п — т)\

s!

,n-m+s-1-1

ykq

X r ks

mP?-m (cos 0fc) cos m a k,

(2.232)

гд е P n

— присоединенны е

функции

Л еж андра;

4 , — расстояние

ме­

ж д у н ачал ам и

0ft и 0д соответственно k -й и q-й систем координат

(1кд >

>

r k>

lkq >

гд).

Второе

аналогичное

соотнош ение

получается

из

(2.232) заменой cos т а д и

cos tn a k соответственно на sin m a Qи

sin m a k.

О днако поставленная выш е задача значительно услож нена тем, что

поверхности

S k отклоняю тся

от

сферических

поверхностей. И х у р ав ­

нения

на основе

(2.228)

имеют

вид

Zfe =

Гok [ pft cos yk +

6T)fe -f^

k) + ffe (0t) . |

^

L

_____V

1

(2.233)

Pk

=

rok [P ftsin y k +

e%

Zt

4 - i

L

С лож ность геометрии поверхностей вращ ения

S k {k — 1, 2,

m )

п реп ятствует

возмож ности

непосредственного

использования

подхо­

д а ,

которы й

разработан

д л я

реш ения

м ногосвязны х

краевы х

задач

в

случае сф ерических

поверхностей

раздела.

5 .2 .

Рекуррентны е

соотнош ения.

Д л я

аналитического

реш ения

поставленны х

в

п.

5.1

трехмерны х

краевы х

задач д л я

пространствен ­

ны х неканонических областей используется

метод возм ущ ения формы

границы , подробно описанны й в п.

4.2. Он дает

возм ож ность

свести

исходную задачу

к

последовательности

краевы х

задач д л я

соответ­

ствую щ их сф ерических поверхностей разд ела. И менно наличие в у р ав ­

н ен и ях

(2.233)

м алого

парам етра

в позволило искать

реш ение задачи

в виде рядов по его

полож ительны м степеням:

—

X

8”а »'й4>

u/k =

X

е”и4

(4>

jk =

Р*> Ук> Фа)*

(2.234)

я *

/1=0

* "

п=0

в

П ри этом для

определения компонентов напряж ений <Jfyk и переме­

щ ений

и%

использую тся

формулы

преобразования,

которые фор­

мально

можно получить

из

(2.211),

если в них

заменить %k на cpft1.

a Zk на а к. В этом случае

под

(3* следует понимать угол между радиаль­

ными направлением и нормалью в произвольной

точке

контура Г*.

заклю чить, что

тригонометрические функции

угла

(3* определяются

по формулам

(2.212).

Е сли

последовательно провести

все выкладки по аналогии с изло­

ж енной

в п.

4.2

методикой, то в итоге для определения компонентов

п-го приближ ения рядов

(2.234) можно

получить

рекуррентные со­

отнош ения

о («)

J/n) ч I

д(п—m)

bn) ,

S

+ л

Г

“ '< 4 &

— % rk) +

^3k

Cr,fe0J ,

plfik

kak>

m=0

n

Jn)

v

л (ft—in)

(III)

G(D,<D, =

2j

Al/г

° а ьаь9

m=0

(n)

V1 Г Л ln—m)(tn)

t

1

a (n—tn) /

(m)

(m) v

% v A =

1

% e* +

—

Лз*

(a0fe0ft — 0Vft)j ,

m=0 l

„(ft)

n

га (п—т)Ш )

,

д (n—m) On)

,

V

(2.235)j

®РкФк —

2j

[As*

@rkalt “Г Аб*

®®какI’

< =

s А

й - * < .

m=0

П ри этом дифференциальные операторы Л /1* в

общем случае имеют вид:

(2.223). Компоненты, фигурирующ ие

в правых

частях

рекуррентных

соотношений (2.235) зависят от

переменных

р*,

у*, <р*

и получаются

из соответствующих им вы ражений

в сферических координатах фор­

мальной заменой г*, 0*, а к на Р*, Ya>

Фл-