книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела
..pdf..., N ). Вторая группа слагаемых (k — 0, п > 0), т. е. вместе с чле
нами u f f \ offУ, характеризует решение задачи u f f \ a f jf для со ставного тела с неканоническими поверхностями раздела Si (l = 1 , 2 , . . .
— , |
— 1) и граничными поверхностями |
S n, |
S n, упругие |
свойства |
||
которого описываются |
уравнениями |
состояния |
(5.58) при б = |
0, т. е. |
||
в этом |
частном случае уравнения равновесия (5.59) допускают точное |
|||||
общее |
аналитическое |
решение. |
|
|
|
|
Третьей группой слагаемы х ( k ^ s |
1, п |
1) описывается взаимное |
влияние геометрии неканонической поверхности и усложненных упру гих свойств на напряженно-деформированное состояние рассматривае
мого |
составного тела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В |
предположении, |
что |
компоненты u fjn\ |
o f ff |
(k |
0, п |
0) до |
|||||||||||
пускают |
разлож ения |
в |
ряды |
Тейлора |
в окрестности |
a t = |
cfi, {q = |
|||||||||||
= 0, |
1, |
2, ..., |
N), перемещения |
u/,i |
и напряж ения |
а :у,г |
на поверхно |
|||||||||||
стях |
S g можно |
представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(«2» “ з) |
дт |
Лк,п—т ) |
|
(5.65) |
|||
|
|
|
|
к—0 п=0 |
|
т=0 |
|
ml |
|
|
т |
и/-‘ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
да1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ Г С |
(а 2- «а) |
дт |
|
(fc.fi—т) |
|
|||
|
|
к |
=“ |
S |
S |
« '*■ |
Е |
- |
|
ml |
|
да? a a.i |
U=a°. |
|||||
|
|
|
|
Аг=0 «=0 |
|
Г?1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На основе функции |
уровня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Ф Д а 1’ |
а 2* «з) = а х— е ( 0 ^ ( а 2, |
а 3) |
|
(5.66) |
||||||||||
единичная нормаль |
е? к поверхности |
S q определяется |
по формуле |
|||||||||||||||
|
|
_ |
|
УФ, |
|
(у |
_ |
J i ___Э |
|
е2 |
|
З |
|
е3____ д_ |
(5.67) |
|||
|
|
17~ |
(УФ,! |
У |
~ |
Hi |
За! |
"Г я а |
За2 |
^ |
Я3 |
За*, |
||||||
|
|
|
||||||||||||||||
Н аправляю щ ие |
косинусы |
|
единичной |
нормали |
е9 на основе выра |
|||||||||||||
жений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
I |
ЗФ, |
|
|
|
(5.68) |
|
|
|
|
|
|
|
|
п ^ |
~ |
| Уф? | |
ffi |
dai |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
могут быть представлены рядами |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tli.q — |
вПА |
|
|
|
|
|
(5.69) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда в (k , п)-м приближении |
на основе (5.59), (5.64) получаем уравне |
|||||||||||||||||
ния |
равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
£ |
N (ju fja) + |
F f r Un) = |
0. |
|
|
|
(5.70) |
|||||
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
в произвольном |
приближении функции F f r Un) {k > 1, |
||||||||||||||||
п ^ |
0) |
представлены |
в |
(5.70) |
в |
качестве |
условных |
объемных |
сил. |
161
Краевые условия в (k , п)-ы приближении на основе (5.61), (5.65), (5.69) примут вид
£ I f и ? .Г 8 |
=■ » У . |
(5.71) |
s=0 |
|
|
ам
|
|
|
|
|
V |
V |
n {s) J k-n~ s) |
L |
„0 |
— J k‘n) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2j 2j •-'iN^ij.N |
= |
T/.tf . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
i=l s—.) |
|
|
|
|
«—“Д1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Н а том же основании условия сопряжения |
(5.62) в (k , л)-м прибли |
|||||||||||||||||||
жении |
преобретут |
форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Б L P l u f f ^ - u f f + r 'L |
|
. = 0, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
“ '=а1 |
|
|
|
|
|
(5.72) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
Б |
|
|
1«Й Г * - |
° Й К ? ]„ _ о |
= |
о. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i=l s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где дифференциальные операторы имеют следующую аналитическую |
||||||||||||||||||||
структуру: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< * > 0 . , |
= |
0 , 1 , 2 , |
, |
АО, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.73) |
|
|
|
|
в ! 5 = Б ^ Г ” ' |
( / = 1 . 2 , 3 ) . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
/71=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В уравнениях (5.70)- — (5.72) перемещения |
и |
напряж ения |
состоят и з |
|||||||||||||||||
двух |
частей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u-i.i |
= |
ti/j |
+ |
ui.i |
» |
|
_ |
_0(fe,n> . |
*(k.n) |
|
(5.74) |
|||||||
|
|
u l/,/ = |
a if,i |
+ |
Ot/./ |
• |
|
|||||||||||||
Здесь |
компоненты |
u j j 'n), |
o lfjn) отвечают |
общему |
решению однород |
|||||||||||||||
ных уравнений (5.70), а и*$’п\ |
|
— частному решению |
неодно |
|||||||||||||||||
родных |
уравнений |
|
(5.70) |
с |
условными |
объемными |
силами |
F fj~ l,n> |
||||||||||||
.(k ^ |
1, |
п ^ |
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что трудности, связанные с практической реализацией |
||||||||||||||||||||
излож енного |
подхода, существенно |
зависят от |
аналитической |
струк |
||||||||||||||||
туры |
исходных |
функций |
F jj, |
определяемых |
видом возмущений |
|||||||||||||||
так как на каждом этапе итерационного |
процесса необходимо опреде |
|||||||||||||||||||
л ять частное решение системы уравнений |
(5.70). Поэтому |
ниж е рас |
||||||||||||||||||
смотрим некоторые конкретные виды возмущений в частных сл у чаях . |
||||||||||||||||||||
2.2. |
Частны е |
случаи |
(криволинейно |
ортотропные |
и |
физически |
||||||||||||||
нелинейные тела). Рассмотрим сначала случай ортотропных много |
||||||||||||||||||||
слойных тел, уравнения состояния которых описываются обобщенным |
||||||||||||||||||||
законом Гука (2.23). Если, в частности, |
предположить, |
что |
меж ду |
|||||||||||||||||
девятью |
упругими постоянными I-го слоя выполняются соотношения |
|||||||||||||||||||
|
С,Ш____ C44,J |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
сил 4- |
2сбб,/ = |
C\\,i |
, |
|||||||
|
СШ |
С55,/ |
|
СЦ./Й4,/ = |
|
С22./С55,/, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то уравнения равновесия в перемещениях для такого ортотропного тела существенно упрощаются и можно получить их точное общее ре шение.
162
В связи с этим будем исследовать тот случай криволинейной ортотропии, когда точное общее аналитическое решение, пригодное для непосредственного реш ения конкретных трехмерных краевых задач, построить не удается.
Ц и л и н д р и ч е с к а я о р т о т р о п и я ( м е т о д в о з м у щ е н и я и з о т р о п н ы х у п р у г и х с в о й с т в ) . Рас смотрим упругое цилиндрически ортотропное составное тело (ось ани зотропии совпадает с осью z цилиндрической системы координат г, 0, г),
для |
которогосвязь менаду напряж ениями о,/,; и малыми деформациями |
|
eij,i |
I-го |
слоя описывается соотношениями (2.23), в которых 1 ~ г, |
2 ~ |
0, 3 |
~ г. Выделим в них ту часть, которая по форме соответствует |
уравнениям (2.34) закона Гука для изотропной среды, т. е.
Orr,l = |
Cn,ierr,l + С(2Л (СеО,/ + ezz,l) + |
(с\зл — c\2,i)0zz,u |
|||
(У00,1 = 0(1,1000,1 + |
С12Л (вгг,1 + |
0гг,1) + |
(<?22Л — Си./) 0OO,l + |
(023,1 — 0ш ) 0zz,h |
|
0zz,i = |
C\i,i0zz,i + 0\2,1 (0rr,i + |
0oo,i) + |
(ci3,j — C\2,i) e„,i + |
||
|
+ (023,1 — 012,l) 0(10,1 + (033,1 — Ciu) 0zz,h |
(5.75) |
|||
0oz,i — Gi0Oz.i + |
(044,1 — G[) eoz,i* |
°rz,i — Gierz.i + |
|||
+ (C55,/ — Gi) er2,i, |
a ro,i = |
Gieroj -)- (сое,/ — Gf) erQj. |
Следовательно, соотношения (5.75) в соответствии с (2.34), (5.58) могут
быть представлены в |
форме |
|
|
|
оц,1 = |
2G, ^ и \/ + |
1 |
ei + |
6тЬ'£-£) » |
|
|
|
|
(5.76) |
a u,i — Gi (0цл -Г &%•,/) (i Ф |
/; i, j |
= r, 0, z). |
Здесь компоненты |
Gt и |
vz выражаю тся через упругие постоянные сщ |
||||||
и c\2,i по формулам |
|
|
|
|
|
|
||
|
Gi — |
(ci u — cw)> |
v/ = |
"T— ПГЗ— |
• |
(5-77) |
||
|
|
л |
|
|
|
C1U T" C12,1 |
|
|
Возмущения x Z/v , |
фигурирующ ие |
в соотношениях (5.58), имеют вид |
||||||
|
|
X/r.J ^ 2Gl4rrJ = |
(0(3,1 ' |
£l2,/) 0zz,l> |
|
|
||
Хее./ = |
2Git]00,l = |
(022.1 — Сил) 0OO,l + (Сззл — с12.0 0zz,h |
|
|||||
xu ,l — 2GlK\zzj = |
(0(3.1 — 0(2л) 0гг,1 + (023,1 — с12,/) 000,1 + |
(с33,1 — СН,/) 0zz,U |
||||||
|
|
когл — Gii\oz,i = |
(044,1— |
Gt) eoz.i, |
|
(5.78) |
||
|
|
Хлг,/ = |
G{X\rz,l — (055,1 |
Gi) 0rz,U |
|
|
||
|
|
x re,/ = |
GzT],.eiZ = |
(055,1 — Gi) ero,u |
|
|
Очевидно, что в каждом приближении однородные уравнения (5.70) соответствуют (2.13) (в отсутствие объемных сил) и, следовательно, допускаю т общее решение в форме П. Ф. П апковича — Г. Нейбера типа (2.52).
При 6 = 0 уравнения (5.76) переходят в закон Гука (2.34) для изо тропного /-го слоя с коэффициентом Пуассона vz и модулем сдвига
163
Gh а при б = |
1 — в уравнения типа (2.23) для ортотропного |
/-го слоя |
|||||||||
с приведенными |
по |
формулам |
(5.77) |
характеристиками |
v*, |
G/. |
|
||||
Ц и л и н д р и ч е с к а я |
о р т о т р о п и я |
( м е т о д |
|
в о з |
|||||||
м у щ е н и я |
т р а н с в е р с а л ь н о и з о т р о п н ы х с в о й с т в ) . |
||||||||||
Возможны случаи, когда упругие свойства ортотропного тела |
сущ е |
||||||||||
ственно отличаю тся |
от |
изотропных |
и вместе с |
тем |
незначительно |
||||||
отклоняю тся |
от |
трансверсально изотропных. |
Е сли |
учесть, что |
|||||||
уравнения |
равновесия |
в перемещениях для трансверсально изотроп |
|||||||||
ного тела |
в |
цилиндрических |
координатах г, 0, г |
допускаю т |
точное |
аналитическое реш ение в форме (2.66), то представляется естественным следую щ ий подход. И з уравнений (2.23) обобщенного закон а Г ука д л я ортотропного тела выделим ту часть (ее по аналогии с (5.58) будем отм ечать ш трихом), которая совпадает с уравнениями состояния тран с
версально изотропного тела (2.31). В результате получим |
|
|
||||||||||||||
|
|
Orr.i = |
Orr.it Сое./ = |
стеб./ + |
6i,/C22./6ee,/ + |
бг./Сгз./^гг./* |
|
|
||||||||
|
|
|
oZZii = |
огг,1 + |
бг./Сгз./вее,/, |
Qqz,i = |
OQz.it |
|
(5.79) |
|||||||
|
|
o>z,/ = |
Orz.i + |
&3,iCbs,ierz,it |
OrQj = |
orQ,i + |
&иСбб./бге./* |
|
|
|||||||
где |
6i./ = l |
41./ |
t |
бг./ = |
1 — |
|
i |
5з,i |
|
c44■/ |
|
|
||||
l22,1 |
‘'гз./ |
|
C5bJ |
(5.80) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
64./ = |
1 |
|
cn,f |
c'12,/ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2c,66,1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т ак |
к ак |
рассматриваю тся случаи, когда ортотропные свойства незна |
||||||||||||||
чительно |
отклоняю тся |
от трансверсально изотропных, то |
| 6n,i | |
1 |
||||||||||||
(п = |
1, 2, 3, 4). Тогда параметр 6, по |
которому согласно (5.64) ищ ется |
||||||||||||||
реш ение в виде рядов, будем выбирать по принципу |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
б = |
m ax (I бх |, |
|б а |, |б 3 |, |
|б 4 |), |
|
|
_ |
|
||||||
|
|
бп = б<к>„ |
( - 1 < й ) п < 1 , |
« = |
I, |
2, |
3, 4). |
|
|
|
||||||
Следовательно, уравнения |
состояния (5.79) допускаю т представление |
|||||||||||||||
(5.58), где возмущ ения «{/,/ характеризую т отклонения |
свойств орто- |
|||||||||||||||
тропии от трансверсальной изотропии тела и имеют вид |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Krr,l — «ОZ.I — О, |
V.QQ.I = |
©хС22,/вв0,/ + |
ШгС23,/вг2./» |
|
|
|||||||||
|
|
|
Kzz.i — ®2^2з,/б00,/> |
Krz,i — 1H3Cs5.1erz.it |
|
(5.82) |
||||||||||
|
|
|
|
|
НЛ0,/ = |
tO4C66./6r0,/- |
|
|
|
|
|
|
||||
В |
данном случае уравнения равновесия имеют вид (5.59), в которы х |
|||||||||||||||
функции |
Fj,1 |
определяю тся |
через |
возмущения |
(5.82) |
по |
формуле |
|||||||||
(5.60), где следует положить |
Oj = |
г, а 2 = 0, а 3 = |
г, Н х = |
1, Я 2 = |
г, |
|||||||||||
/ / 3 = |
1. |
Последующие выкладки |
проводятся согласно общему подхо |
ду, изложенному в п. 2.1 гл . 5. Отметим только, что линейные дифферен циальны е операторы Ni,- в уравнениях равновесия (5.59), (5.70) в рас сматриваемом случае отвечают трансверсально изотропному телу, и, следовательно, однородные уравнения (5.70) допускаю т точное общее решение в форме (2.66).
.164
Замечание. В случае сферической ортотропии все выкладки прово
дятся |
аналогично. Они могут быть получены такж е из приведенных |
выше, |
если в (5.75) и последующих уравнениях формально заменить |
г, 0, z (цилиндрические координаты) соответственно на 0, а , г (сфери |
ческие координаты), что следует из (2.51), (2.74). В этом случае одно
родные уравнения равновесия |
(5.70) такж е |
допускаю т точное общее |
||
аналитическое решение |
в форме (2.75). |
|
|
|
Ф и з и ч е с к а я |
н е л и н е й н о с т ь |
( м е т о д |
в о з м у |
|
щ е н и я л и н е й н о |
у п р у г и х с в о й с т в ) . Предположим, |
|||
что физически нелинейные упругие свойства |
составных |
изотропных |
||
тел, описываются уравнениями |
состояния (2.35). С учетом представ |
ления функций удлинения и сдвига рядами (2.38), (2.39) физически нелинейный закон (2.35) для l-то слоя составного тела в соответствии с (5.58) может быть записан в виде (5.76). При этом функции возмуще
ний г|*/(/, |
характеризую щ ие отклонения |
физически нелинейных соот |
||||
ношений |
(2.35) от |
уравнений |
закона Гука (2.34), |
имеют вид |
||
4 W |
- S [ i |
+ |
bij |
1 + у / |
Kn,teОц"1 — |
У2п/фо”^0,/ . (5.83) |
1 — 2vi |
||||||
|
п=1 L |
|
|
|
|
|
В частном случае, когда функции удлинения и сдвига допускают пред
ставление |
(2.48), |
возмущения |
t],/,/ упрощаются и приобретают форму |
||||||||
|
|
|
ч\цл = |
— £2,/фо,/ {ец.1----- б,у£/|, |
|
(5.84) |
|||||
где интенсивность |
деформаций |
ф§,/ |
определяется по формуле (2.37). |
||||||||
У читывая, что v.u,i |
= 2Git\u,it |
Kifj = |
G fti/j |
(i Ф /), функции |
|||||||
F f jn), |
фигурирую щ ие в |
(5.70) |
как |
условные |
объемные силы, опреде |
||||||
ляю тся |
по |
формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
L |
a |
|
|
|
d{HxHzy\%f) |
+ |
|
|
|
|
H,H2H3 И |
|
да, |
|
|
I" |
(За2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
д(Н,Н2 |
+ |
2.1 |
|
дН, |
■ |
Л13.У |
дИ, |
(5.85) |
|
|
|
+ |
дая |
а д |
|
да 2 |
|
Н,Н3 |
да3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2ц<*;7> |
дН2 |
2'Пзз’.7) |
дН3 |
|
(1 ,2 , |
3). |
|
|
|
|
|
Я,Н2 |
5»! |
Я ,н 3 |
да, |
|
|
|||
|
|
|
|
ц----------- |
|
||||||
При этом функции r\f/j согласно |
(5.64), (5.84) определяются из ре |
||||||||||
куррентных соотношений |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m=0 s=0 |
|
|
L |
|
|
|
(5.86) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражения для ф ? Л) можно найти из формулы (2.37), если в ее правую и левую части подставить соответствующие ряды для фо,/ и е щ типа (5.64) и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях параметров 6, е и их произведений. Д ругие выкладки проводятся в соответствии с общим подходом, изложенным в п. 2.1 гл. 5.
165
Аналогично могут быть рассмотрены и |
другие случаи услож нен |
ных упругих свойств деформируемых тел, |
если только они незначи |
тельно отклоняю тся от допускающ их точное общее реш ение однород ных уравнений равновесия в перемещениях.
|
Замечание. В |
|
настоящем |
параграфе |
изложен |
общий |
подход |
к |
||||||||||||||
решению краевых |
задач |
механики кусочно-однородных тел с |
неорто |
|||||||||||||||||||
гональными поверхностями раздела. В случае |
|
ортогональны х |
поверх |
|||||||||||||||||||
ностей |
выкладки |
|
проводятся |
аналогично. Д л я |
криволинейно орто- |
|||||||||||||||||
тропных |
и физически нелинейных тел подход, основанный |
на |
приме |
|||||||||||||||||||
нении |
первого |
варианта МВФГ |
в |
сочетании |
с |
методом |
возмущ ения |
|||||||||||||||
упругих свойств, изложен в работе [77]. Однако |
для этой цели можно |
|||||||||||||||||||||
использовать такж е взаимосвязь |
первого и второго вариантов М ВФ Г, |
|||||||||||||||||||||
установленную в § 7. гл. 3. При таком подходе вместо (5.63) уравнения |
||||||||||||||||||||||
поверхностей раздела следует |
выбрать в форме (3.147), а во всех после |
|||||||||||||||||||||
дующ их |
вы кладках п. |
2.1 |
гл. 5 |
положить |
а х — г, а 2 = |
у, |
а 3 = |
z, |
||||||||||||||
H i |
= |
1, |
H z = |
г, |
|
H a = |
1 (в случае |
некруговых |
цилиндрических |
по |
||||||||||||
верхностей раздела) и <хг = |
г, а 2 — у, а 3 = |
а , |
Н г = г, |
Н 2 = |
г sin у, |
|||||||||||||||||
Н 3 = |
1 (в случае |
границ раздела в виде замкнутых |
поверхностей вра |
|||||||||||||||||||
щ ения, |
близких |
к сферическим). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
§ 3. М етод интегральных п реобразований Л апласа и МВФГ |
|
|
||||||||||||||||||||
б связанны х краевы х задачах для насыщ енных |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
пористы х с р е д с неканоническими полостям и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
О сновная система |
уравнений, описывающих связанны е процессы |
д е |
||||||||||||||||||||
формации и фильтрации жидкости или газа, используемая в настоящ ем |
||||||||||||||||||||||
параграф е, |
получена в |
работе Л . П. Х орош уна |
1141]. Д л я реш ения |
|||||||||||||||||||
краевы х задач о напряж енном состоянии |
насыщенных пористых мас |
|||||||||||||||||||||
сивов |
с |
ортогональными |
неканоническими |
|
выработками |
применен |
||||||||||||||||
М ВФ Г в сочетании с методом преобразования Л апласа по времени [34, |
||||||||||||||||||||||
35, |
95, |
96, |
143, |
144]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 .1 . |
Постановка задачи |
и основные уравнения. Рассмотрим |
полу- |
||||||||||||||||||
бесконечный |
тяж елы й |
пористый |
насыщенный |
|
ж идкостью |
или газом |
||||||||||||||||
массив, который в ненарушенном состоянии находится под действием |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собственного веса |
и порового давления Р (при |
|
этом ф ильтрация |
от |
||||||||||||||||||
сутствует). |
После |
образования |
полости |
(это |
|
связано, |
наприм ер, с |
|||||||||||||||
проходкой выработки) в ее окрестности происходит перераспределение |
||||||||||||||||||||||
напряж ений |
и |
начинается |
процесс |
фильтрации |
жидкости |
или газа. |
||||||||||||||||
В |
дальнейш ем |
предполагается, что |
давление |
Р в в |
вы работке |
близко |
||||||||||||||||
к атмосферному. М акронапряж еиия |
а,*/, макродеформации |
ец, |
м акро |
|||||||||||||||||||
перемещения и] и давление Р * в насыщенном массиве с полостью пред |
||||||||||||||||||||||
ставим |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Oj/ — Qif -{- Oif, |
= eij -(- eijy |
Uj — Uj -j- М/, |
|
P * — P |
-]- P , (5.87) |
ЛA A
где |
оц, eu, Uj — основные (номинальные) напряж |
ения, деформации |
|
п |
перемещения ненарушенного массива; а ц , |
eij, |
щ — компоненты |
возмущенного состояния, вызванного наличием |
полости. |
166
Основные уравнения д л я возмущенного состояния, описывающие связанны е процессы деформирования насыщенной пористой среды
ифильтрации жидкости или газа, в линейной постановке согласно
[141]примем в форме
|
*</./ = |
0, |
а,-/ = КвррЬц + |
2 ц % / — p p b lh |
|
|
|
|
|
|
(5.88) |
еч |
= ~ |
(й <\/ "Ь uf.i)f P.il ~ |
~cji~ |
а 2ерр)‘ |
|
Здесь ?ii, (л*, |
р*, |
а и |
а2 — эффективные постоянные; с2 — объемная |
||
концентрация |
пор; |
k — коэффициент |
фильтрации. |
Нижними индек |
сами (после запятой) обозначено дифференцирование по координатам, а точкой (вверху) — по времени t.
Если ввести |
замену |
|
|
Р г = сгк ■{а.Р + |
а^рр) = В* + |
зр*р* |
D* |
ЗХ, -f- 2[д* р + |
+ 2ц* СТрР* (5.89) |
и использовать уравнения совместности деформаций, то уравнения
состояния и фильтрации в (5.88) |
преобразую тся к виду |
ос/ = ЬЦеррбс/ + |
2ц*еС/ — р Г Р Д /, |
|
(5.90) |
^ '• u |
aFox • |
Здесь |
|
|
(5.91) |
где Foj — безразмерное время; R — некоторая характерная линейная величина.
В случае плоской задачи вместо (5.89) следует вводить замену
|
р*Р* |
D* |
|
О, |
(5.92) |
|
я-Г + и* Р + |
2(х; + |
ц*) |
РР‘ |
|
|
|
|
|||
Заметим, что при а2 = |
0 и, следовательно, D* |
= 0, система |
уравне |
||
ний (5.88) становится |
несвязанной. |
|
|
|
|
При постановке рассматриваемого класса нестационарных задач для насыщенных пористых сред должны быть заданы начальные и граничные условия. В связи с этим предполагается, что в начальный момент времени (t = 0) содержание жидкости или газа в порах сохраня ется вследствие невозможности ее мгновенного оттока, т. е. давление в порах изменяется несколько медленнее, чем упруго-мгновенные де
формации, вызванные нарушением сплошности массива. |
|
|
Следовательно, согласно (5.87) |
имеем |
|
Р |/=0 = Р |
|fo,=0 = 0. |
(5.93) |
167
Т огда на основе (5.89) для приведенного давления Р х получаем н ачал ь
ное условие |
|
|
Рг Ifo,-o = |
D * 4 = 3 ^ . ° * ^ . - С |
(5-94) |
причем врР, ОрР соответствуют упруго-мгновенному |
напряж енно-деф ор |
|
мированному состоянию насыщенного пористого |
м ассива, в окрест |
|
ности выработки, которое |
определяется решением соответствую щ ей |
статической задачи теории упругости. Кроме начального условия (5.94) необходимо задать граничные условия для напряж ений и приведенного
давления |
на |
поверхности полости S . Они |
будут сформулированы в |
пп. 3.2, |
3.3 |
при рассмотрении краевых задач для конкретны х форм |
|
поверхностей |
выработок. Таким образом, |
изложенный подход позво |
л яет свести связанную систему уравнений (5.88) с однородным началь ным условием (5.93) для давления Р к системе, в которой уравнения
состояния и фильтрации |
(5.90) являю тся несвязанными |
относительно |
||||||
приведенного давления Р г с неоднородным начальным условием (5.94). |
||||||||
В итоге (после определения приведенного |
давления Р г |
и объемного |
||||||
расш ирения ерр) по формуле (5.92) определяется добавочное давление |
||||||||
Р , |
вы званное |
наличием |
полости. |
|
|
|||
|
3.2. |
О ртогональные поверхности выработок. Предположим, что по |
||||||
верхность 5 конечной выработки является замкнутой поверхностью |
||||||||
вращ ения вокруг горизонтальной оси z (параллельной дневной поверх |
||||||||
ности), уравнение которой записывается на-основе конформно отобра |
||||||||
жаю щ ей функции (2.174) |
и в общем случае имеет вид (2.177) при р = |
|||||||
= |
р0 = |
1. Если |
решение задачи |
искать в криволинейных ортогональ |
||||
ных координатах |
р, у, |
ф, то |
граничные |
условия на |
поверхности |
|||
S |
(р = |
1) примут вид |
|
|
|
|
||
|
|
Л |
|
|
|
Л |
Л |
|
|
(Орр -f- Opp)p=i = |
— Р в, (Ору -f- Opy)p_i = 0, |
(сГрф -)- о'р(р)р= 1 = 0, (5.95) |
где Р в — давление в выработке, которое принимается равным ат
мосферному.
Л
Т ак как (Р + P )s = Р в, краевым условием для приведенного дав ления с учетом (5.89) будет
р ; и = — ( р - р 8) в* + |
30*D* |
|
D* |
|
|
|
||||||
|
2|д* |
+ |
ЗХ* |
2|х* ’Gpp lp=l* |
(5.96) |
|||||||
|
|
|
|
зх; + |
||||||||
где |
Р \ (р, у, ф, 0 = P i {г, 9, a , |
f) и |
переход |
от |
переменных |
г, |
0, а |
|||||
к р, у. Ф осущ ествляется |
по формулам (2.143). |
|
|
|
|
|||||||
|
П рименяя |
сначала |
интегральное |
преобразование Л апласа |
по |
без |
||||||
размерному |
времени |
Fo1( для |
компонентов |
напряжений |
а м (k , / = |
|||||||
= |
р, у. ф) и давления |
Р\ |
в пространстве |
изображений (эти |
величины |
|||||||
будем отмечать тильдой) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
оы (р, V» Ф» «) = j' е |
s?a'okt (р, |
Y, |
ф, F o Jd F O i, |
|
|
|
168
DO
(5.97)
P \ (p, Y* Ф» s) = j e~sVo'P \ (p, y. Ф, Foi) dFolt
где s — комплексный параметр интегрального преобразования.
Обращение преобразования Л апласа (переход к оригиналу о*/, Р{). производится по формулам
Oki (р. |
Y> |
Ф* |
Fox) = |
j |
esFo,Oki (p, |
Y» |
Ф» |
s) ds, |
|
|
|
|
a—ioo |
|
|
(5.98) |
|
|
|
|
|
a+i oo |
|
|
|
|
P\ (P> |
Y» |
Ф» |
Foj) = "2^Г |
I |
e5F°‘fi(P > |
V> |
Ф» |
s) ds> |
|
|
|
|
a—loo |
|
|
|
|
причем путь интегрирования в комплексной плоскости s проходит* справа от особенностей подынтегральных функций (интеграл берется вдоль прямой Re s = а и понимается как предел интеграла вдоль от резка (а — ib, а + ib) при b оо). При этом обращение (5.98) единст венно.
Впространстве изображений решение задачи ищется в виде рядов
оо__
|
|
Оы (р. Y* |
Ф» s) — S |
вяо ^ (р, |
у* |
Ф* s), |
|||
|
|
|
|
|
,,=0 |
|
|
(5.99) |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
р \ |
(р. Y* |
Ф» S ) = |
£ |
впр \1п)(р, |
у, |
ф, |
s). |
|
|
|
|
|
гс=0 |
|
|
|
|
Компоненты |
а*), |
Р \ п) согласно |
(2.159), (2.188) |
в |
произвольном при |
||||
ближении |
определяю тся |
из рекуррентны х соотношений |
|||||||
с $ |
= |
S |
[ A f '- 'V ; 1+ Л Г -Я1) (о© — a<f) + |
AgM ,)o®)], |
т—0
п
п
(5.100)
т=О
гп=О
р [(п) = s л (г т)Р1т). т=0
Здесь дифференциальные операторы Л*0 в общем случае определяютсяформулами (2.161), а в частных случаях — (2.173).
169*
Компоненты о ^ (р, у, cp, s), ст^ (р, Y> Ф> s) согласно (2.190) за писываю тся на основе соответствующих им выражений в сферических
координатах |
формальной |
заменой г, 0, а |
соответственно |
на |
р, у, <р. |
При этом они состоят из двух частей: |
|
|
|
||
о(ш (р> Y, ф» |
s) = а« т) (р, |
у , Ф, s) + а*|т) |
(р, у, ф, s) (fc, |
l = |
г, 0, а ). |
|
|
|
|
|
(5.101) |
Составляющ ие, отмеченные нуликом, соответствуют общ ему реш ению уравнений равновесия в сферических координатах, а звездочкой — частному решению этих ж е уравнений с условными объемными силами,
которые |
выражаю тся |
через давление |
|
Я Р |
аналогично |
тому, как в |
|||||||||||
несвязанной термоупругости условные объемные силы |
вы раж аю тся |
||||||||||||||||
через температуру по формуле типа (4.75). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Д авление |
Я р |
(р, У. ф» s) |
согласно |
(5.90), |
(5.97), |
(5.99) |
является |
||||||||||
реш ением |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V2P P ( p , |
у, ф, |
s) — sP\m) (р, у , |
ф, |
s) + |
/ \ ( p , Y. Ф> |
0) = |
0, (5.102) |
||||||||||
где Р х (р, Y. Ф» |
0) = |
p i (Р. Y. Ф» F o ^ f o ,^ |
определяется |
по |
формуле |
||||||||||||
(5.89). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н а основе (5.95) — (5.97), |
(5.99) краевые |
условия |
в |
пространстве |
|||||||||||||
.изображений |
в произвольном |
приближении |
примут |
вид |
|
|
|||||||||||
|
|
|
орр [p=i = |
— - г Й |
|
|
1р=‘ + |
|
р в). |
|
|
|
|
||||
|
;<°) I |
— |
1 |
п<0)1 |
~(0) I |
__ |
— |
а (0)1 |
, |
|
|||||||
|
■*PV|р=1----------Г" a PV |р=1> |
°рф |р=1 — |
s |
°рф1р=1» |
|
||||||||||||
я ™ и |
_____ L ( р __р |
) / в* |
I |
3Р*р * |
\ |
I______ о*____ 1_ - (0) | |
|||||||||||
- |
8 |
\ г |
r j y s |
+ |
3^i + |
|
2n*J |
+ |
ЗЛ.; -h 2fx* |
* |
applp=I |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.103) |
|
~(fl I |
_ |
1 |
£(/> I |
, |
~(/) |
I |
, |
_ |
|
• — Орфct(/) |p==l,I . |
|
|||||
|
Opv |p=I |
— ------7~ °PV 1р=Ь |
Op<p |p= l — |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D* |
|
|
|
|
|
( / > ! ) • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3X* + 2ц* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отметим, что напряженное состояние в ненарушенном массиве на |
|||||||||||||||||
глубине |
Н |
от дневной |
поверхности |
в |
прямоугольных |
координатах |
|||||||||||
х, у , 2 (ось г/ перпендикулярна дневной |
|
поверхности) в соответствии с |
обозначениями (5.87) согласно [32] определяется следующими номи
нальными |
напряжениями: |
Л |
Л |
Л |
А |
|
|
||
|
Л |
Л |
|
|
|
||||
|
о** — о „ = |
р, |
Ощ, = q |
(оху = |
о « = |
оу2 = |
0), |
||
Р = - |
(bfYcp# |
+ |
2р*р*Р) (>-* + 2ц*)- 1 , |
= |
— YepЯ , |
||||
где Yep = |
cxYi + |
c2Y2 (Yi и Y2 — удельный |
вес твердой |
и |
ж идкой ф аз). |
||||
170 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|