книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

при

заданны х

перемещ ениях

0

0

(2.126)

и/Л ко = U/'O,

Uf'M Isjy = Uj,N\

при

заданны х

напряж ениях

о

о

а р/.1 ко = а р/,0.

Opj.N \sN — Opj.N-

(2.127)

Здесь

«/,i, иj,N и

Qpj,N — перемещения и напряж ения

соот­

ветственно в первом, N -м слоях.

Если рассматриваю тся многослойные цилиндры конечной

длины

выми

условиям и

на

торцах

£ =

0 и | =

h.

Т ак, например,

если

торцы

свободны

от

напряж ений,

то

граничны е

условия

имеют

вид

o/i,i к=о.л =

0 (/ =

р,

у. Ь

1 =

1,

2,

N).

(2.128)

Заметим, что в случае достаточно длинных

цилиндров (если исследо­

вателей интересует

напряж енное

состояние

преимущественно в

сред­

ней части цилиндра), условия (2.128)

могут быть

приближенно

заме­

нены

интегральными

условиями

в

смысле

принципа

Сен-Венана

напряж ений в примыкающей

к

торцам области

цилиндрической обо­

лочки.

В случае когда на торцах £ =

0, h действуют лиш ь осевые нормаль­

ные напряж ения

сгц,/,

распределенные

таким

образом,

что торцы

остаю тся плоскими, граничные условия будут смешанными:

Щл ||=о,а =

0,

(jpg,/ |g=o,A =

a vg,/ |g= o,A =

0.

(2.129)

У равнения типа (2.129)

иногда

называю т

условиями

плоского торца.

Если ж е торцы

свободны от нормальной нагрузки

и не смещаются

в своей плоскости (торцы связаны с диафрагмой,

жесткой в своей плос­

виями

на них будут

*

щ,1 Jg=0,ft =

0 (у =

Р, V, £;

/ =

1,

2, . . . ,

N).

(2 131)

Н а

поверхностях

раздела

S t (I =

\, 2,

...,

N — 1)

предполагается

идеальный контакт (полное сцепление).

Следовательно, на них долж ­

ны

вы полняться условия сопряж ения,

характеризую щ ие

равенство

на

S t перемещений и

соответствующих

напряжений

«/,/ к/

=

u f,t+1к/*

a PiJ к /

=

°W -H к г

(2-132)

Если ж е контакт на

поверхности

раздела

5 , неидеальный

(возмож­

но

проскальзы вание без

отрыва),

то

вместо

(2.132) условиями сопря-

ж ен и я б уд ут

Up,l |s /

Mpj-f-i |s,t

&pp,l Is^ — огрр>ж

a pv.f |s, =

0 ,

<JpV,/+i |s t =

0»

ffpg,/ |s, =

0,

Op|,/+i |s,

=

0.

Т а к о го

рода

услови я

на

поверхности

р азд ел а

среды

и

н екругового

ц и л и н д р и ч еск о го

вк л ю ч ен и я р ассм атр и в ал и сь,

в

ч астн ости , в работе

1150].

В виду

сл ож н ости гран и чн ы х

поверхностей

S 0,

S n

и

поверхностей

р а зд ел а

сл оев

S i

(I =

1 ,2 ,

...,

N

—

1), совпадаю щ их

с соответствую ­

щ ими

координатн ы м и

поверхностям и р =

c o n st, реш ить поставленную

к р аев у ю

за д ач у непосредственно

не

представляется

возм ож ны м ,

так

к а к в кр и во л и н ей н ы х

ортогон альн ы х

координатах р,

у , 1 не удается

п о л у ч и ть

точное

общ ее реш ение с

разделяю щ им ися

переменны ми.

2 .2 .

П ервы й

в ар и ан т м етода возм ущ ения ф орм ы

гран и ц ы . Н ал и ч и е

в у р а в н е н и я х (2 .121), (2 .124), описы ваю щ их

геометрию граничны х

по­

вер хн о стей

S 0,

S h

и

поверхностей разд ела

Si

( 1 = 1 ,

2 .........N

—

1)

м ал о го

п арам етр а

е (|

е |

1),

позволяет и скать ан али ти ческое реш е­

ние

поставленн ой

в

п.

2.1

задачи

(компоненты

перемещ ений

t

и н а п р я ж е н и й

в произвольном l-м слое) в виде степенны х рядов

П/',( =

п=0

Gm 'fJ ~

£nGni'j',l

(2.133)

п=0

(Г , 2 ', 3 '

~ а г ,

а,г,

«з* ~

Р» 7т £)•

Д л я

определения

составляю щ их

и}*;/,

csin'rj

используем

ф ормулы

п рео б р азован и я

компонентов тен зор а

второго

р ан га

{а},

вектора и

и п рои звольной

скал яр н о й

ф ункции

Ф

при

переходе от

кри воли н ей ­

ных

ортогон ал ьн ы х координат а х, а 2, а 3 к новым осям

ссу, щ -, а 3-:

3

3

Gm'j’,1 (^1'> 0^2'>

®3') — S

S

(®1» ®2> «з)>

k=l s—1

(2.134)

3

и/'./( а Г* а 2'» 053') =

А=1

hj>kUkAa V а 2» а з)»

Ф* ( a i а 2', а 3') — Ф { (a lf а 2, а 3)

(1,

2, 3 — a v

а 2, а 3 ~

г,

0,

г),

где %i>k — н ап равляю щ и е косинусы

норм али к координатной

поверх­

ности в l-м слое (табл. 2.5);

наприм ер,

на

Si

имеем

Я,/'* =

cos (e /v , е*.,/).

Е сли система координат (сц*, а 2',

а 3*)

повернута

отн оси тельн о

(a j,

a 2,

a 3)

на

некоторы й угол (5 вок р уг их общей оси а у

— а 3,

то

учиты ­

вая

значения

для

направляю щ их

косинусов

(табл.

2 .6),

на

основе

(2.134)

получаем

следую щ ие формулы

п реобразования:

Т а б л и ц а

2.5

Т а б л и ц а

2.6

Коорди­

а,

а*

Координа-

а.

а3

ната

та

а ,.

V i

V 2

*!'Э

ССу

cos р

sin Р

0

а 2,

Л2М

^2'2

^2'3

а 2'

—sin Р

cos р

0

а у

Ч ч

^3'2

^З'З

а 3'

0

0

1

д л я компонентов

тензора

второго ранга

a i'i v

=

°и,1

+

"5" (а 2и — 0ц,/) (1 — cos 20)

-f aid,/ sin 20,

°2'2',/

=

Ф г ,/----- (&22,i — 0ц,/) (1 — cos 20) —

sin 20,

^З'З',/ =

033,/.

<T1'2v = 4 "

(022./ — cm./) Sin 20

- f

ст12л cos 20,

для составляю щ их

вектора

Uv,i = «1,/ cos 0 + «2,/ sin 0,

(2.136)

u-i\i =

«2,/ cos 0 — U\,i sin 0, uy.i =

игл.

Здесь 0 — угол между радиальны м направлением

и нормалью к рас­

/р _

to '

(0 ш (Q

1 +

8 [ /'( О

+

1 ® - +

»*/' (О

ш _ \

1С 1К Ю 11® <01

X [1 + е (а +

с) +

s 2 (ас + b +

d) +

е3 (ad

+

be) +

б4М |

2

(2.137)

Зам ечание. Т ак

как в l-м

слое

переменная

р

изменяется

от p;_i до

Р/, то и угол 0 (С) =

0 (р,

у) изменяется

от значения

0<_|

до

0/. Н а­

пример, на

поверхности раздела

S, имеем 0

=

0, (p/f у).

П о аналогии

с

(2.133)

представим экспоненты е*е и ет

рядами

еФ =

^ e/Q, ( 0 ,

е ^

=

£

еiq, (£).

(2.138)

/=0

/=0

Ф ункциональны е

коэффициенты

Q/ (£)

на

основе (2.137)

допускают

представление

/

/г

/1

m

<2/(0 =

Е

S

E

E

N k.n,n.s (Q

(k +

n + m

+ s = j)

(2.139)

где

fc=0 ti—0 m—0 s=0

N k.n,n.s (0

=

й

*

. (0 +

1n o

+

f(Q

Qft-l.n.m.s (0

+

- ^

+

/ ' (0

- y -

(0

(0 <

s <

m <

n <

k < /),

(2.140)

0

/**\

~

/

1

__________/г I (2fe

1) ! 1________ _ /~

I

(g

(—

«/

(й — «) 1(n — m) I (m — s) 1s I (2ft) I!

T

+

c)fe- “ (ac +

b + d)n~ m (ad

+

&6')m- s (b d )\

a - n o + m

* = r ® n a .

c = i f - + J j L ,

ю

Н а о сн ове п р ав и л а

у м н ож ен и я

р яд о в в

см ы сле

К ош и коэф фициенты

9/ (С) в ы р аж аю тся через

Qf (£)

по

реку р р ен тн о й

ф орм уле

9 / ( 0 =

£

Q " ( 0 Q / - « ( 0 -

(2-141)

«=0

П редставим

п р ои звольн ую

ск ал я р н у ю

ф ункцию Ф* (г, 0, г)

по ана

логи и с

(2.133)

ф о рм альн о

в виде

ф , (г,

0,

z) =

f

ет Ф Г (г,

0,

z).

(2.142)

т=О

Т а к

к а к

со гл асн о

(2.117) имеем

Г =

Y

(О Й

О

.

0 =

a rc tg

,

(2.143)

то Ф/т)

(г,

0,

z) к а к

сл о ж н ая

ф ун кция относительно

парам етра

е мо­

ж ет бы ть представлен а

рядом

М аклорена

( т

дпФ\т) [г (р,

у, в),

0(р, у,

е),

г]

(2.144)

Ф}'

деп

8=0

п=О

У чи ты вая

соотнош ения

Г (р,

у,

е) |е=0 = р,

0 (р,

V»

в) |е=0 =

у»

ф /т> (r >

z) |е=0 =

=

Ф Р (р, У» 6).

(2.145)

получаем

5Ф},И> (л, е,

г)

~

[ —

д

,,

ао

(2.146)

де

8=0

8=0

\ d&

др

1

де

С ледовательно,

ф орм улу

(2.144)

м ож но записать в виде

Ф Г ( г , 0, г ) =

£

еп - 1 - 1 (л)Ф Г ( Р . V. 0 -

(2.147)

л=0

О тметим,

что

в (2.146),

(2.147)

ф ункции

Ф/т) (г, 0,

z)

и Ф/т)

(р,

у, |)

имеют одну

и ту ж е

аналитическую

стр у кту р у ,

т.

е.

Ф/т)

(р, у,

£)

по­

лучается

из

Фгт) (г,

0,

z)

ф орм альной заменой

г,

0,

z соответственно

на р,

у,

Д и ф ф еренциальны е

операторы

L m

определяю тся

из

реку р р ен т­

ного

соотнош ения

(2

148)

причем

dDП—I

Я 0 = = 1,

R X=

D U

D n =

(п >

1),

де

(2.149)

дпг

д

д%

( Л >

1).

деп

дг

"г

дъп

~W

(k, s =

r, 0, z) можно представить в виде

(Ф, (г, 0, 2), okSit {г, 0, г),

u s,i (г, 0, г)}

=

=

V V e"+m - i . Lw ( Ф Г

(p, V. E).

° S (p. Y. 5).

u f f (P. Y. E)).

m=0 a=0

(2.155)

или в

другой эквивалентной

форме

(т—п) /

(m—п) /

I)}.

т = 0 п=0

Фи./

(Р»

V» £). Ws,/

(р> V,

(2.156)

Если соответствующ ие ряды

(2.133), (2.138) и

(2.156)

подставить в

соотношения

(2.135),

(2.136)

и сравнить между собой вы раж ения

при

одинаковы х

степенях

параметра е, то для

определения

компонентов

/г-го приближ ения в системе

координат

р,

у,

|

получим следую щ ие

рекуррентны е соотношения:

для составляю щ их

тензора

напряж ений

< & j - Е [ Л Г % й + Л Г ” > й - а й ) + Л | ™ Ч о ! , ] .

т=О

С ' = _Е

1 Л Г * > о Я

-

Л ? " " 1 ( o f t -

а » ,)

-

A i" -” >a'ffi],

ш=0

a g ,

-

£

A f - " > < ® ,

(2.157)

т=О

< С =

Е „О Л Г « а Ж

+

4

AS""” 1(ай!, -

а й ) ] .

—

V

гл1п- т)гт(т)

а

а

М

ш

,

Zj

1а 5

(Тг2,/ Т“ Ag

С^ег,/]»

т=0

> ) ,

_

п

I А(п-т)

(т)

д (я-от) («),.

V

CTvi.( —

L

1л 5

Gqz.i— Аб

т=0

д л я составляю щ их

вектора

перемещений

п

« 8 - Е [ А Г Х ? + А Г ” '„ « | ,

т=О

(2.158)

п

t / n\ —

Гд(«—ш) /т)

д (п—т)

(/71),

V

—

L

1^5

UQJ — Аб

«г,/],

д л я произвольной

скалярной функции

Ф /(я) =

и

Л |и""т)ф}'п);

(2.159)1

т=О

для производной от скалярной функции

( ^ ■ ф ' Г

=

1 о [ 4 “~ ”,’ ^

г

+

Л

Г ” Т

- | г ] ф

Г

(21 60)'

Д иф ф еренциальны е операторы

A f ] (/ =

1, 2,

6) имеют вид

А <«) _

1

/ ('D

д('*>______ L

V

Rp (7

^<ft

Al

я! L ’ Д 2 “

2 L j

(я — k )! ’

Ajr* — S

л Г

= Л Г’ - 2 Л ? \

(2.161)

Я

I (я—*)

Я

, (л—Л)

Л

Г

А

Г

=

£

1

т &

^ .

В ы раж ения Qft, ф;, а такж е

операторы

L (n) определяю тся

соответствен­

(2.157) — (2.160),

зависят от аргументов р, у, £, т.

е.

ofr.i =

o #|, (р, у. £).

о#!* =

сЙ!/ (р,

у, I),

(2.162)

ф ['1>=

Ф Г (р, у, I).

и?!/ =

«л/ (р. у,

I),

Зависимости (2.162) играю т

важ ную

роль

при решении конкретных

ции в

цилиндрических

координатах г, 0, z для

непосредственной

их.

записи

в переменных

р, у, В в результате

формальной замены г,

0,

z соответственно на р, у, £. Т ак,

например,

при решении трехмерных

краевы х задач статики

упругого

трансверсально изотропного много­

слойного тела компоненты перемещений uf},

и{$, uf}, соответству­

ющ ие общему решению уравнений равновесия

/-го слоя, на основе:

(2.66)

в произвольном

приближении допускаю т представления

у, I или р, у, H V ^ u i ( / = 1. 2, 3); k u ,

— известные постоянные,

которы е

определяю тся

через

у п р у ги е

константы

а ц

трансверсально

и зотропн ого

/-го слоя по

ф орм улам

типа

(2.67),

(2.70).

Г ран и чн ы е условия

(2.126) — (2.131)

в

произвольном

приближ е­

н и и прим ут

соответственно

вид:

при

заданны х перем ещ ениях

u /?i 1р=р« =

м/.о*

1р-рд, =

« &

(2-164)

при

заданны х н ап р яж ен и ях

о

< л /

Ip=pw =

(2-165)

а Р/.1 |р=Ро — °р/.0»

в сл у ч ае

ненагруж енны х

торцов

a f h

|5==0.ft =

0

(/ =

р,

у,

I;

/

=

Ь

2,

. . . ,

N)-,

(2.166)

при вы полнении условий

плоского торца

fe=o,& =

0,

<7р|,/ ||=о.л

=

tfvi./ li=o./» =

0;

(2.167)

в сл учае торцов свободных от норм альной

н агр узки

и не смещ аю ­

щ и х с я

в своей

плоскости

Up!i ||=o.h =

.(л)

0,

(я)

0;

(2.168)

Uy,\ ||=o,h =

a ||j ||=о,л =

д л я

ж естко

защ емленных

торцов

и $ |!= о л

=

0

(/ =

р,

у,

I

=

1, 2 ............N ).

(2.169)

У словиям и

соп ряж ения

на

поверхности

Si

(при идеальном

контакте)

ъ произвольном приближ ении на

основе

(2.132), (2.133) будут

u l"J |р=Р( = u jj+(

i |р=р;»

Цр/./lp=pi =

CTp/j+i |р=р;

(1 — 1,

2,

. . . »

N — 1).

(2.170)

П р авы е части уравнений (2.164), (2.165) представляю т коэф фициен­

ты разлож ений соответствую щ их известных

вы раж ений (2.126), (2.127)

в ряды по полож ительны м

степеням

параметра

е.

Т аким образом ,

поставленная

в

п.

2.1

пространственная

к раевая

зад ач а теории

упругости для

толстостенного многослойного цилиндра

-с ортогональны ми

неканоническими

поверхностями раздела

и гран и ч ­

ными

поверхностями

одного

семейства,

описываемыми

уравнениям и

ти п а (2.121),

(2.124),

сведена

к

рекуррентной последовательности

соответствую щ их

краевы х

задач

для

многослойных круговы х

цилин ­

дров.

З а м е ч а н и е

1.

Если

рассматриваемый м ногослойны й цилиндр я в ­

л я е т с я

бесконечным в осевом направлении, то задача зн ачи тельн о упро ­

щ ается, так

к ак

уменьш ается

количество

граничны х

условий

из-за

отсутствия

уравнений

(2.166) — (2.169).

Если

рассм атривается

за д а ­

ча д л я бесконечного слоистого

пространства,

полупространства

или

сл о я с

некруговой

цилиндрической

полостью ,

ограниченной

ортого ­

нальной поверхностью

S 0, то в этом случае

(внеш няя

задача)

гранич ­

ные условия при р =

р0, например

в н ап р яж ен и ях ,

в

произвольном

приближ ении имеют вид

(2.165). А налогичную

форму

имеют

гранич-

ности

сплош ного слоистого цилиндра

в случае заданных на

S0 (р =

= р0)

краевы х условий в напряж ениях

(внутренняя задача).

Если ж е

подкрепленной

некруговой цилиндрической

полостью, то в

отличие

от (2.170) условия сопряж ения в

произвольном

приближении

на орто­

гональной поверхности

раздела <SX (р =

рх) в

предположении

идеаль­

ного

контакта

имеют

вид

I

Г„(п)

I

р(Л),

(п)

|

_

г (rt)

1

'l(n).

и/.1|p=Pi — lw/.2 +

И/ ]р=р,»

Of)],1

|р=р, — 1<7р/,2 +

°р/|р=р,»

где

u f \

Ор/ — коэффициенты разлож ения

соответствующих

компо­

нентов

основного напряж енно-деформированного

состояния,

вызван­

соответствует подкреплению ,

а

индекс «2» — внешней

среде.

З а м е ч а н и е 2. У словия сопряж ения (2.170) записаны на основе

(2.132) в предполож ении, что

на

поверхности раздела

осуществляется

идеальны й контакт (полное сцепление). Если ж

е контакт между слоя­

ми неидеальный (возможно проскальзы вание

слоев без отрыва),

«р./|р=р, — Hp./+i |р=р/>

upp.t |р=р/

— a pp./+i 1р=р,>

^

Opv./ |р=р; = 0 ’ Ору,(+1 |р=Р/ =

0, Opgj |р=рг = 0,

<Тр|,/+1 [р=р, =

0.

( / =

1 , 2 ,

N — 1)

л а многослойного

цилиндра

осущ ествляется

полное сцепление, а на

д ругих возможно

проскальзы вание без

отрыва. Тогда условиями со­

п ряж ен ия

на них

будут

соответствующие

комбинации уравнений

(2.170), (2.171).

2.3.

Ч астны е

случаи.

П риведем

явны й вид дифференциальных

операторов

Л /2* (п

=

0, 1,

2;

/ = 1, 2, ..., 6), необходимых для реше­

сываю тся

ортогональны е поверхности

раздела

и граничные поверх­

ности, а

именно

m

=

r "

+

a r ft.

(2-172)

где а — некоторая действительная

постоянная.

В этом случае дифференциальные операторы

Л /°

в первых трех

приближ ениях имеют вид [31]

Ai0) =

A<0) = Л5 ’ =

1.

Л-Р = Лз0> =

Лб *=

0,

л !" =

cos (N -f

I) у

+

а

cos (k -(- 1) у

(

dp

Р*

sin (k -f- 1)

sin (N +

1) V

-

(

_/v-H

+

а

av