книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

лов и сплавов в любых сочетаниях;

изготовления сплош ных и полых цилиндрических

композиционных

заготовок для профильного проката и непосредственного использова­

ния

в

деталях

машин;

непосредственной облицовки заготовок деталей машин (например,

лопастей гидротурбин) металлами и сплавами;

изготовления

в

виде плоских листов и цилиндрических оболочек

из волокнистых

композиционных

материалов

с неограниченным

чис­

лом слоев матрицы и волокон;

изготовления

некоторых типов

сварны х

соединений между

эле­

ментами конструкций из однородных и разнородных материалов (на­

пример, труб с трубными досками);

изготовления

из разнородны х

металлов и сплавов плоских компо­

зиционны х

карточек с высокопрочным соединением слоев, вырезки из

них поперек слоев переходников необходимой конфигурации (полос,

колец,

ф ланцев

и

т. п.) и

вварки их обычными способами меж ду

деталям и

из одноименны х

материалов. В этом случае открываются

ш ирокие возмож ности

д л я

создания

композитов с

промежуточными

слоям и , играющ ими при нагревах роль диффузионных барьеров между

основными, и для повышения прочности и работоспособности таких

переходников с помощью контактного упрочнения промежуточных

■слоев при

уменьшении их относительной толщины в неограниченных

пределах.

4 2. Ш ероховаты е поверхности р а зд е л а

Р еальн ы е поверхности

раздела

(в том

числе и граничные) отличаются

о т идеальны х геометрических

форм

наличием

шероховатостей (неров­

ностей),

природа

которых

различна.

Т ак, например,

неровности и

различного рода отклонения

поверхностей полостей и инородных вклю ­

чений (пород) в горных массивах от канонических поверхностей (плос­

ких,

сферических,

круговы х

цилиндрических

и др.)

имеют преиму­

щ ественно

случайный

характер

и

определяю тся

главным

образом

естественными условиями,

приведшими к их образованию .

Н а поверхности

раздела в слоистых, волокнистых и зернистых ком­

позитных материалах «механическая связь возникает в том случае,

когда

упрочнитель

имеет ш ероховатую

поверхность» [121].

Ш ероховатость

поверхностей

в

элементах

конструкций

является

неизбеж ным следствием

процесса

обработки. Несмотря

на то

что ше­

роховатость приводит в основном к незначительному изменению формы

поверхности рассматриваемых

тел, она оказы вает существенное вли я ­

ства (в частности,

на трение

и износ, концентрацию

напряж ений

и

усталостную прочность).

2.1.

Определение

и классиф икация. Согласно

работе [145]

под

ш ероховатостью

поверхности

понимается совокупность неровностей

формы поверхности

(рис. 1.8).

М е­

рой ш ероховатости

поверхности в

м атери алах и элем ентах конструк­

ций сл у ж и т класс чистоты. Н ап р и ­

мер, увеличение высоты неровно­

стей поверхностей ш ариков на один

__________________________________ класс сн и ж ает долговечность ш ари-

р ис. J.8

коподш ипников примерно на 70% .

О днако и

чрезм ерно

гладкие

по­

верхности

при трении не выгодны

(и д аж е

вредны ),

та к

к а к они н е

позволяю т создавать м асляны е

м икрорезервуары .

Н еровности, образую щ иеся

на

поверхности тела,

являю тся

кон ­

центраторам и н ап ряж ений и одной

из причин сниж ения

усталостной

прочности. П ри этом концентрация

напряж ений зависит не только от

глубины ,

но и в больш ей степени от радиуса

кривизны . И звестен

при ­

мер [137],

когда наруш ение поверхности (от

удара тупым телом) на

В

работе

[145]

предлож ена следую щ ая

классиф икация

ш ерохова­

тостей

поверхностей: детерм инированная

периодическая со

случайной

ф азой

(рис.

1.9, а),

детерм инированная основа с налож енной н а нее

и случайная,

причем последняя м о ж е т б ы т ь

изотропной (рис. 1.9, г)

и ан и зотропной (рис. 1.9, в). Т аким образом,

модель

ш ероховатости

представляется в виде двух составляю щ их:

детерминированной, кото­

р ая

описы вается некоторой

периодической

ф ункцией

со случайной

ф азой,

и случайной, описываемой нормально

распределенной случай ­

ной

ф ункцией .

Д остаточно

полная характеристика

ш ероховатых

поверхностей

(природа и механизмы образования, математико-статистическое опи­

сание

и экспериментальное

обоснование, а

такж е библиограф ия р а ­

бот

по

этому вопросу приведены в монографии

[145].

2.2.

М атематическое

описание. П усть

а ь

а 2,

а 3 — система к р и ­

волинейны х

ортогональны х

координат.

Следовательно,

радиус-век­

тор R произвольной точки тела полностью определяется заданием трех

конкретны х

значений а х, а 2, а 3. Тогда орты

ek касательны х к коорди­

натным линиям

находят по

формулам

е* =

grad а и

{ k =

1 ,2 ,3 ) .

(1-1)

Здесь

H k — коэффициенты Л ам е.

а

5

Д опустим,

что на некоторой

идеальной

поверхности

координата

а 3 принимает

постоянное значение a s — а 3 =

const, что соответствует'

векторной записи R = R (а ь а 2, аз). Если предположить, что шерохо­

ватая поверхность мало отклоняется от идеальной, то ее

уравнение

можно

записать

в форме

или

R* = R (а х, а 2, а 3) +

е3Я (a v а 2),

(1.2)

а 3 =

а з +

Н («1. « 2)

(1.3>

Я3 (ах> а г, сф

где

Н

(а х, а 2) — ф ункция,

определяю щ ая

высоту

шероховатостей.

Приведем некоторые примеры конкретного задания функции Н

[145].

А. П усть

в

прямоугольной

системе

координат

а х =

х,

а 2 =

у,

а 3 =

г

граница

полуплоскости

описывается

уравнением

х =

Н {у).

(1.4).

В

предполож ении, что

ш ероховатая

граница

полуплоскости обра­

зована

системой периодически

чередующихся

выступов

и впадин,,

можно записать

Н

(у)

=

A c o s - ^ - y ,

(1.5)

где А — высота

(амплитуда)

выступов,

Т — ш аг

(период).

Б . Д опустим, что в цилиндрической

системе

координат

a t =

0,

а 2 =

2,

а 3 =

г

идеальная

поверхность

задается

уравнением

г =

г0,

а поверхность ш ероховатого цилиндра

представляет

поверхность вра­

щ ения,

так что

Н (2) — стационарная

случайная

функция

аргумента

г с нулевым значением математического

ож идания. В этом

случае ее

можно

задать

спектральны м

представлением

00

Я ( 2 ) =

j

e ^ d Z ( l ) .

(1.6)

Здесь

неслучайная ф ункция s (А) — спектральная плотность случай ­

ного

процесса Н (г).

В.

П редположим, что поверхность полупространства г = И (х,

оо

оо

Н { х ,у ) = J

f e ^ + w 'd Z (р, v),

(1.8);

EdZ (р, т) =

О,

1 00

оо

оо

оо

$

)

/ (И- v) dZ (р, v) j

J

g (р,

V) dZ (р, v)

--00 —ОО

--Оо —оо

оо

оо

=

С

[ f (р. V) g (р,

v) s (р,

v) rfprfv.

(1.9)

с

»

—оо —оо

Я (0) = £ V*e'*e,

(1.10)

k=—oo

тематического ожидания и

дисперсиями

D k,

EVk =

0, E[V kVi] =

Dk8ki-

(1.11)

материалов открывают широкие возможности управления

жесткостью

и прочностью материала в изделии путем изменения схемы

армирова­

где

i ( ( l , «

= [ .

+

(

^

«

)

4

(

^

L

) 2

(1.14)

Здесь

tlt /3 £ (— 00,

+ 0 0 ) —

парам етры ,

2И

— толщ ина

слоя

напол­

нителя.

Н а

основании (1.13)

для

н аправляю щ их

косинусов

я * ,

я * , я *

ортов

нормалей

п*

к поверхностям

D ± получаем

вы раж ения

„ ± _

1

[

ду*

dz±

dz*

Пх

— ' A* (h,

/3)

\

dly

dt3 - +

dty

dt3

/*

Пу

=

'

dz*

dx±

I

. dx*

dz±

\

(1.15)

'

g

(,

dty

dt3 ’

I

dty

dt3

)

а ± (h,

п ?

=

1

I

dx*

dy±

+

dy±

dx± \

А± (/!. g

\

dty

dt3

dty

dt3

)•

Здесь

dy± dz±

dz±

dy*

, dty

dt3

dty

dt3 • r +

дх±

дг^

\ 2 .

I дх*

ду±

ду±

дх±

\ 2

dt, dL.3

dty

dt3 ')1 +11V dty

д(3dt3

~~ dt,

dl3dt3

J] J

( 1Л 6)

у = A sin

— х cos —j— 2,

(1.17)

‘1

‘з

где Л — длина стрелы подъема

искривления; 1у и /3 — периоды волн

костях

хОу и yOz.

В предположении, что А <

1г и А <

/3, в качестве

малого

параметра

е можно взять,

например,

отнош ение А И Х или Л //3.

В

частности, когда искривление слоя наполнителя

происходит тол ьк о

в

плоскости хОу,

уравнение (1.17) упрощ ается:

у — A sin -у — х.

Этому случаю соответствует рис. 1.11. Возможны случаи

когда в слоях

композитного м атериала имеются

локальные искривления.

При этом*

если искривление слоя напол­

нителя

возникло

только в

плоскости

хОу,

то

уравн ен и е

его

срединной

поверхности

можно взять, например, в ви ­

де

14]

у — А ехр

, ( М 8 )

[ - ( * ) * ]

где А — м аксимальное значение

стрелы подъема искривления, L —

геометрический параметр (рис. 1.12).

Зам ечание. М атематические

вы кладки существенно упрощаются

нением вида (1.12). Т акие

поверхности раздела

совпадают

с поверх­

ностями уровня и, следовательно, при таком описании слои

наполни­

теля

будут иметь

переменную

толщ ину. В этом

случае формулы

для

направляю щ их

косинусов

нормалей

к каждой

неканонической

по­

верхности

раздела

имеют вид

пх

б

д/ (*, г)

___ 1_

«г

е

д/(*, г)

п

iq

Д

дх

'

пи ~

д

Д

дг

’

где

=

±

j / l +

B

*

[ ( - ^

- ) *

+ (

-

^ -

) ’] .

(120)

При

этом

знак

«+ »

у

радикала

соответствует

направлению

нормали

в сторону

увеличения

поверхности

уровня, а знак «— » — противопо­

лож ному

направлению .

3.2.

Волокнистые

материалы .

Д л я

простоты

вы­

кладок рассмотрим

бесконечное

упругое тело,

арми­

рованное одним искривленным волокном. При этом

рассмотрим, случай, когда срединная линия волокна

является

плоской

кривой,

находящ ейся в

координат­

ной

плоскости

yOz

(рис.

1.13).

Тогда

уравнения

срединной

линии

волокна

можно записать в виде

у

=

F

(z) =

еб (г),

х =

0,

(1.21)

где

б (z) — дифференцируемая

ф ункция,

в — малый

безразмерный параметр

(0 <

е

1).

П редположим, что поперечные сечения волокна

являю тся

кругами

постоянного по всей длине

радиу-

ca R .

Е сли

использовать

условие неизменности

поперечного сечения

во л о кн а

и у р а в н е н и е '(1.21),

то можно получить

уравнен и е поверхно­

сти

разд ел а

волокна и

м атрицы S , которое

в

цилиндрических

коор ­

динатах

г,

0,

г

примет

форму

19]

r =

l +

88'jy (o r - s in 2T

<еб W +

е36 W [б' W ]2 sin 0 +

+

I/?2 — е2б2 (/) — е4 16' (О]2 б2 (0 (1 +

е2 [б' (О]2 s in 2 0 ) ] 2 },

2 = I — еб' (0 г (0, 0 sin 0 +

е2б (/) б ' (tj,

(1.22)

где

t —

парам етр

(— оо <

t < ;

-fo o ).

С ледовательно, нап равляю щ и е косинусы

п г, «е,

пг

орта

норм али

п к

поверхности

р азд ела

S

определяю тся

по ф ормулам

t (О,

О

дг (9,

О

1

дг (0, t)

дг (0, t)

ае

dt

дг (0, ()

дг (0,

/)

п, =

г (0,

о

дг (0,

t)

(1.23)

ао

а/

А (0,

0

dt

Здесь

дг (О, О \ 2 ,

/

дг (0,

t)

дг (0,

t)

Л (0 , О = [ ( г ( 0 , О - ^ 2 - ) ! + (

ао

dt

дг (0, ()

дг (0. t)

\а

I)

- у

-

5 - ) * ] 8

(1-24)

ао

а/

) Ч ( г ( 0 ,

В частности,

для

реш ения

конкретны х

задач в

работах

[3, 9]

уравне­

ние

срединной

поверхности

волокна взято

в виде

y

=

9л

х =

0,

(1-25)

L $ m - j - z ,

где I — период волны искривления, L — высота подъема

искривлен и я

срединной

линии

(L <

/). В качестве м алого параметра ё

принято от­

нош ение LH.

Зам ечание

1.

Если срединная линия

волокна

не искривлена

и сов­

от координатной поверхности

г =

r0 =

const,то в

предполож ении, что

ее уравнением допускается представление

г =

г о +

е Ф (0, г)

( | е К

1 ) ,

(1.26)

формулы для

направляю щ их

косинусов

пг,

/го,

пг орта

нормали п к

поверхности

р азд ел а

S

имеют вид

п , =

пв =

е

1

д<р(0, г)

------Г - —

50

г

(1.27)

е

дф (0, г)

причем

Дх

дг

Л1 =

± j / l

+

* [ ^ -

( A

»

*

L j

+ ( A f i L

f

(1.28)