книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

где

Хт — корни

уравнения

J l (X) =

0;

А %

В ? ,

— произвольные

постоянные.

Компоненты перемещений

vtz

на основе (2.73), (5,32) примут вид

B

P r -

S £

C{Jl]iXmc h 4 ^ = - J i M

+

i= 1

ш=1 i=l

V * i

+ И

£ X '.- V * А Л

(

У

cos knz,

/1=1 t=l

uf = _ 2 1 м » A . , + j

£

К

s h - ^ J o ( M -

i=l

*

m=l i=l

V Hl

oo

2

~ ■S

S

( К х Л / ) sin £nz

(a„ =

,

(5.33)

n—l i=I

'

'

где

kc — корни

алгебраического

уравнения

(2.64).

В

случае

кратны х корней х, (хх =

х 2) функции Ф (Л (г, г) и Ф2Л (г, г)

такж е

становятся линейно зависимыми. Поэтому, оставляя, например,

Ф{л (г, z)

в прежнем виде (5.32) при

г =

I, функцию Фгу) (г, г) следует

выбирать

в

форме

оо

Ф ^ (г , z) — ВтРг2 +

оо

+

s

A & rh (У*шкпГ) cos knz +

£

C & s h - ^ / o M - (5.34)

п=1

m=l

К ^2

тож е

должны

быть комплексно-сопряженными, т. е.

Ап\ = А п\,

В ? =

с £ ,

= С‘л 2.

Если на основе функций (5.32) найти вы раж ения для

напряжений

напряж ений

(с учетом того что J t (кт ) = 0 и sin knh =

0)

приводят к

зависимостям

С % - У ^ - sh - ^ 4 - = — С &

sh - ^ r -

с

Я.2

К «2

F x ,

Kxx

У*х

С44ЛОТ

(5.35)

y|l/>_ _

/I(/)

(1 + *1) v^«7/a (K x iy

л п.2-------/l/i.l

---------=----— ----- — ---------

(l + A2) / « 2/l(^«2ftn)

Ф$

«44 (И -

позволяющим

исключить из

рассмотрения

постоянные

А % и

чисел

N и М выполняю тся приближенные равенства (5.28). Это позво­

л я е т

(в предполож ении выполнения условий

парности касательных

н ап р яж ен и й по угловым линиям г — 1, z = ±

К) построить эффектив­

являю тся

более громоздкими

и

здесь не приводятся. Некоторые из=

них будут

приведены в п. 1.2

при рассмотрении краевых задач для

полых цилиндров с неплоскими

торцами.

сываю тся

уравнениями

S 0 '—' r

= a,

S

±

г = 1,

S t

z =

^ z h -f- £<в±/ (г).

(5.40)'

П араметры

е,

(о± ,

а

и

h

удовлетворяю т

следующим

неравенствам:

0 < е

1,

— 1

^

(о± ^

1, 0 <

а < 1,

h

= const >

0. Предполо­

{ОгтП? + <5гтП г)„± =

(/72 = Г, z),

Grm |s0 = Тт0»

(5.41)

&гт |s, — Тт [,

цевым поверхностям

S t \

T t ,

Тт о, Тт \ — известные функции.

Если

решение задачи искать в виде рядов (5.4), то в /-м приближе­

нии можно получить следующие

краевые условия

на

координатных

поверхностях:

o g

|г=±Л =

Т ? »

-

£

[Q tu•о й -»

+ Q i l* o i - % = ±h =

f t и) (г),

S=1

а й

-

Г « л -

£

ю ? « а й -*

+

=

Ф?М «

S=1

(5.42)

ст/г |г=а =

т%

=

$

(г),

о(Л \г=а =

Т% =

ч4л (г),

4 ? U . =

т $

=

f i ] (2),

4/1 U i =

T /i =

ф£л (г),

удовлетворяю щ ие

уравнениям равновесия и

построенные аналогично

(5.13),

будут иметь

вид

„

_

п(/‘)

“

и ?

-

B f r

+

- 5 -

+ £

{A fzsh l {z +

C f ch V ) N { (V )

+

Г

1=1

+

£ ( |М Л ( M

+

r Q f (knr) — 4

* -~ v -

(knr )j cos Ляг,

oo

(5.43)

u f =

A f z -f-

(~3 ~^4v

sh A-,-2 — A f z ch h(z — C f sh %tzj X

X N 0 ( V ) -

2

[РФ (V ) +

r Q f {knr)} sin knz.

n=1

З д е с ь

P f

(knr) =

£ ^ / 0 ( V )

+

^ / C o

( V ) .

Qort ( V ) =

Gjploiknr) +

Я < Х

(V )>

knP\n M

=

d P ^ ( M

>

W

</)

) “

dQg *( M

' V

" '

( V

dr

причем

A q \ B $ ,

D f , A f ,

C f E f ,

F f , G f,

H f — произвольные

по­

стоян ны е.

Соответствующие

перемещениям

(5.43) вы раж ения д л я

компонен­

то в

напряж ений

с

использованием закона

Г ука

принимаю т

форму

1

_(Л

"Ь

оо

£

( A f z sh \ z - f

2G

а "

—

1 — 2v

OQ

-f- C f ch

X(z) —

N t (X,r) +

£

(i4i;,^ z sh

+

2 v A f c h ^ z

-f-

r

<=i

+

с!"»., ch м

jv„ ( V ) +

f

[

( V ) -

~

P f 1 M

-

/1=1 L

r

— (3 — 2v) Q(,y) (knr) +

knrQ p (knr) +

4

L~

v - Qly) ( V ) ]

cos

1

„(/)

4 /] +

vAp

f

2

(A fz sh %tz - f

o f

ch V ) - j -

( V )

+

2G

ff00 “

1 — 2v

•"

л2

t=l

+ 2v £ A f ch M 'f . t V ) + s f - Г W ( V ) +

f=i

« = iL

+

(1 -

2v) 0У> (fe„r) - 4

Q P (*„r)] cos

(5.44)

— A \% z sh X(z — d / %

ch X£z] N 0 ( V ) — 2

[ M o ’1(knr) +

n=1

oo

+ 2vQo' ( M

- f ^„г<3|л ( V ) ] cos knz,

2G

аЙ =

2

[ 4 % г ch Xtz — (1 — 2v) A P sh Xtz +

CpXc sh Xtz) N t (X£r) —

t= I

OQ

-

2

[knp p ( M + knrQ P (knr) -

2 (1 - V) Q P ( M

l sin knz,

где

N 0 (X£r) — J i (^ui) У о ( \ r ) —

Ух (A.,) J о (X£r),

( V ) = J i (h ) Yг ( V ) - Уг (h ) Л M •

Здесь

Ут , Km, Ym — общ епринятые обозначения

цилиндриче­

Представим

функции, входящ ие в правые

части краевых условий

(5.42), рядами

Ф урье — Д ини, коэффициенты

которых определяются

по формулам

а

а

(5.46)

пряж ений

при

г =

1, а

и

z = ±

h

с

учетом

равенств

(Х£а) =

= N t (Х() =

sin knh — 0

приходим

к

соотношениям

„(Л

СРХ£ =

А р (1 - 2v -

X(h cth Щ +

,

К Р Р ( М ) =

2 (1 —

v) Р р

(kna) — krlaQo] (kna) — фз«,

(5.47)

K P P

{kn) = 2 (1 -

v) P P

(kn) -

knQP (ft,,) - <pP,

позволяющим исключить из рассмотрения часть переменных.

Д л я перехода

от функциональных

уравнений

(5.42) к системе ал­

Соответствующий

ряд

для Qo1 (knr)

получается из

(5.48) заменой Р\Р

на Q\P с учетом,

что

knP \ ] (knr)

=

d P § {knr)!dr. У довлетворяя крае­

вым

условиям для Czz при z — ±

h и оУг при г =

1, а , получаем сис­

тему

трех уравнений

относительно

ЛоЛ, В о \ D o1

i f f =

~ 2 G ( - 1 ) " k j j f f (kn),

= 2G ( - 1 ) " ak nQ\n ( M ) ,

A0 =

K t (kna) / , (k„) —

К г (kn) / , (kna),

(5.51)

A i =

K i (kna) I 0 (kn) +

K 0 (kn) I г {kna),

A2 =

K 0(kna) I г (kn) +

К г (kn) I 0(kna).

Члены

ф Ц

Фга,

Фз?

представляют определенные

комбинации

коэффициентов

разлож ения

функций,

задаю щ их граничные условия

(5.42):

ф Й

=

( - 1 ) ”

f(/')

^2(1

,

,_(/) / Af

I \

/ з « -

—

+

срз„

* ~ j

&пД0

_

J L

V

(/)

ljA/0 (k,g)

mw

h

2 j

*£ + *?

i=

ф р

ч>з«

ф2п

f2tl =

[ «

+

М Л .

т Ь “) ] ~

"'(~S7 +

(/)

M o (A,t-fl)

(5.52)

-

4

2

r f

<

+ »!

i=i

ф $

=

-

/ I X

(a,) -

ФЙ* cth k{h N 0 (M

+

,

V

.

n ,I .

Nl fa) Фз/t — aN« fa) ^0 ( М

Ф(2п

+

n=l

"

+

свойства неизвестных

у п( , z(,P бесконечной системы (5.50) описываются

асимптотическими

равенствами

lim

ylC =

у о \

lim zj? =

zip.

(5.53)

rt-voo

гг—*-оо

Следовательно,

для

больш их

значений N и М можно полагать

Уп1 =

у о \

Zn] = г(0п

( V n > N),

(5.54)

л п

_

1 ^

{Xl)

..</>

,

1

No (h) N0 (Х{а)

Jf)

(V i > M).

Xi

~

2

R,

У°

' f_

2

R(

Z°

чета

цилиндров с выточками

на

боковых поверхностях является то,

что

в правых частях уравнений

(5.42) (в отличие от уравнений (5.5))

ф игурирую т производные по

переменной z (а не по г) от напряжений

Рассмотрим, например, производную

N0 (М

дг

+

+

S

0 (^W) "f—

Qo iHmf) “t“ fotnfQi (^m^)j| Kn s *ri kmZ —

OO

00

=

— h £

Л4</ )

+

£

sin &mz.

(5.55)

i=i

/71=1

И спользуя асимптотические выражения

при

больш их

/,

п

для

ф унк­

ций

Бесселя

и

корней

уравнения

N x (Ха) =

0 [133],

получаем

М (Р

«

М*(/) -------- ехР

6е (h — ZU {уоЛ

[т»

+

,

3 (аа — 1)

, J .

(— !)f 4У)

Г

,

ч .

3 (а3 — 1)

rt

. Л \

+

— 8яш

' C0S

<r>J +

у=а---- [ *

W +

16я^—

C0S “ * W J) ’

8i =

- j 4

s - ’

а * (r) =

8t- (1 — г),

/ч

9 (1 — а) (I — г)2

, .

З г+ 1

.

м .

ъ

(г) =

— -— ё е т — ~

cos а{ W —

§ г “ sm а <

+

(5 -56>

+

—

~6l a r ri + 1 )~ C0S «*

+

-(l5 - - l 62

8

^ (1~ g- C0S «*• W +

+ 6tcos a { ( r ) ------J p

sin

a , (r),

,

f_IVяf/Л

Lm «

I « w =

—

Y 'r

°

exp l— km (1 — r)]

x

[*«(1

- r )

3r2 + 6r — 1

33r3 — 27r* + 3r — 9

8r

\28r2kn

] •

m “ U) =

£

m : u\

l* * (/) =

s

l;„(/) sin kmz.

i= 1

m=I

Значения

сумм

М *,(й и Г ' (Л

находят по формулам [126] и вычисление

производной

можно производить по формуле

d a ^

+

Зг

Л4

+

£

( I #

-

L X ') sin /гт г

+

Г

,(й.

(5.57)

Аналогичным образом строятся

расчетные выражения и для

произ­

П р ед п о л о ж и м , что

требуется исследовать напряж енно-деф орм ирован ­

н о е состояние тел а

при заданны х на его неканонической поверхности

о

о

у с л о в и я

на

гран и чн ы х

поверхностях

имеют

вид

о

з

о

(5.61)

и1Л ISo =

и/,о,

Zj

a tf,Nn i,N |siw =

Т/.ЛГ,

i=l

:где

tii,N —• н ап равляю щ и е

косинусы

единичной

нормали

елг к

Sn-

В

сл у чае

идеального

контакта

на

поверхности

раздела

Si (/ =

• = 1, 2,

.... N

—

1)

условиям и

сопряж ения

будут

{Щ.1 —

w/,/+i)s, =

0,

Yj

(а и-1 — a i/./+i) п и Is, =

0.

(5.62)

1

f=.i

1

Д о п у с т и м ,

что граничны е

поверхности

S 0, S n ,

а так ж е

поверхности

р а зд е л а

S i

{I =

1, 2,

...,

N

—

1) являю тся иеоргогональны ми

и

опи­

сы ваю тся уравнен и ям и

a i =

Н~ еЛ

(а 2*

а з)

(<7 =

0, 1,

2,

. . . , N ),

(5.63)

где

f q ( а и

а 2) — непреры вны е

и

дифференцируемые

ф ункции,

гд —

м ал ы е

п арам етры

( |e e |< ^

1),

характеризую щ ие отклонение

поверх­

н о с те й

S Q от координатны х

поверхностей а х =

а°

=

const

(q =

0, 1,

2 , ..., N ).

П ри

аналитическом

решении поставленной

задачи

возникаю т две

п р и н ц и п и альн ы е

м атематические трудности,

которые

вы нуж даю т р аз­

р аб аты в ать

приближ енны е

методы.

П ервая — слож ная

геометриче­

с к а я ф орм а

поверхностей

раздела

и

граничны х

поверхностей,

описы ­

ваем ы х

уравнениям и

(5.63). В таки х

случаях

на основе второго ва ­

р и ан та

М В Ф Г (гл.

3)

поставленная

задача

сводится

к

рекуррентной

последовательности

соответствую щ их

краевы х

задач для

составных

тел

с

координатны ми

поверхностями

раздела

<хг =

а ” (/ =

1, 2,

...,

N — 1) и граничны ми

поверхностями a L =

a<j,

= а%- Вторая —

слож ны е уравнения состояния, схематически

записанны е в виде (5.58),

в р езу л ьтате

чего

уравнения

равновесия (5.59)

не допускаю т точного

общ его

реш ен и я .

П о

этим

причинам

реш ение задачи

предлагается

искать

в

виде

двойны х рядов

U/.1 =

f

S

8kenu fjn\

о if,I

= У

У

6 V a f t7 \

(5.64)

k=0 /1=0

k—0 /1=0

где малый парам етр е выбран

по принципу (3.52), т. е. eo)e =

&q (—

1 <1

< ;

<о, < ; 1).

Д л я

удобства

интерпретации

разделим

ряды

(5.64) на

тр и

группы . П ервая

группа слагаем ы х (k

0, п =

0) с компонентами

u f j° \

crf/j

будет

характери зовать

реш ение

задачи

для

составного

тел а

с

услож ненны м и упругими

свойствами,

описываемыми

уравне­

ниям и

состояния

(5.58),

в

случае

канонических

(координатных) по­

в е р х н о с т е й

разд ела и граничны х поверхностей a L =

a° (q — 0,

1, 2,