книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

дела, рассмотренных в § 2,

условия сопряж ения и краевые условия в

произвольном приближении

преобразованы

к виду (3.57),

(3.60) —

(3.63). При этом дифференциальные операторы D

(k =

1, 2, 3) в слу­

чае когда

неортогональные

поверхности раздела

5, являются некру­

говыми цилиндрическими,

описываемыми

уравнениями

г = rt -f-

+ есо/Д (0)

(в предполож ении, что нормаль к S t направлена в сторону

увеличения функции уровня),

на основе (3.64) имеют вид

D f f - l ,

=

0,

= с о ^ ( 0 ) - |г ,

= - - ^ ( 0 ^ ( 0 ) ,

D31

= 0,

О

(3.143).

операторы D $l) (k = 1 ,

2,

3;

m =

0,

1,

2,

3) (в предположении,,

что нормаль направлена в сторону увеличения

функции уровня) со­

гласно (3.65)

примут форму

Dfi

=

1.

Dfi =

D$> =

0,

^

= ( 0 ^ ( 2 ) ^ - ,

Du = 0,

^

= - 0 ) ^ ( 2 ) ,

О Ч Ы 0,

(3.144).

D g' =

0,

D§> =

-

- f -

f, (г) (Я (г) +

_

(z)|. } .

Замечание. В случае осесимметричных поверхностей

разд ела

S {r

близких

к

сферическим

и

описываемых

уравнениям и

г =

/7 +

+ ecuJ((0),

дифференциальные операторы D*?\ ф игурирую щ ие

в

ус­

лови ях

сопряж ения

(3.84),

(3.85)

и краевы х

условиях

(3.88), (3.89),

в четырех приближ ениях

( т

= О,

1, .2, 3) ф ормально

будут иметь вид

(3.143),

если

под г, 0 понимать сферические координаты .

6.3.

Поверхности раздела,

близкие к

коническим.

Рассмотренны е

в § 5 краевые задачи для составных тел с поверхностями

раздела

5 /,

близкими

к

коническим

и

описываемыми

уравнениям и

0 = 0 /

-4-

+ есо/уг (г,

а ),

сведены к

последовательности соответствую щ их

задач

для конических поверхностей раздела. При

этом дифф еренциальны е

операторы ($ ?

, фигурирующие в условиях сопряж ения

(3.127) в пер­

вых четырех приближениях ( т =

0, 1 ,2 , 3) для сл учая,

когда норм аль

направлена в сторону увеличения функции уровня,

имеют вид

В частном

случае,

когда поверхности раздела S t описываю тся

уравнениями

0 = 0 / +

еоа/у/ (г), т. е. являю тся поверхностями вра-

щ ения, дифференциальные операторы (3.145)

существенно упрощаются

и принимаю т форму

б ^ - й у у Д г ) ,

( $ = «

*

=

О,

Си = — <в/Гу, (г)

,

Gf? = - у - {у? (г) - ~

— г2 [у', (r)l2j ,

3

(3.146)

Gif = 0, Giv =

----- у - ry] (г) {у? (

г

)

—

IV/ O')]2} »

П риведенные дифференциальные

операторы

участвуют

при решении

с

точностью

О (е4) соответствующ их краевы х

задач

для

кусочно-одно­

родных тел

с неортогональными

поверхностями раздела.

§

7. О б одн ом обобщ ен и и второ го варианта

м е т о д а возм ущ ения ф о р м ы

границы

Рассмотрим случай, когда

уравнение

поверхности

нелинейно зависит

от малого параметра, т. е ., когда в уравнении поверхности раздела

многослойного цилиндра ф ункция ft зависит как

от координат 0, г

так и от малого параметра е,

характеризую щ его отклонение

поверх­

ности раздела от соответствующего кругового

цилиндра. Указанная

ф ункция

выбирается в

виде

полинома

относительно

е.‘ Приведем яв:

ный вид дифференциальных операторов, необходимых для. решения

краевы х

задач для кусочно-одн'ородных тёл

с‘ неОртбгональными ‘ по­

верхностями

раздела с точностью

О (е4).. Н а основе указанного обоб­

щ ения покажем

взаим освязь

первого, и второго .вариантов метода воз­

мущ ения

формы

границы .

7.1.

Обобщенный

вид

дифференциальных операторов

в частных

случаях. П редположим, что

ф ун кц и я .//, входящ ая

в уравнение (3.39)

поверхности

раздела S t

многослойного

цилиндра,

зависит не только

о т

цилиндрических координат

0, г, но и от малого

параметра

в, т. е,

//

= U (9.

z. е). Д опустим,

что эта зависимость полиномиального типа

относительно

в. Тогда вместо

уравнения (3.39) будем

иметь

Г = Г[ + е// (0, 2, е),

fi (0, г,

в) =

£

е % /

(0, г).

(3.147)

fe=0

Е сли решение поставленной в

§ 2 задачи ищем

в виде рядов

(3.51).

то на поверхности раздела S h в предположении, что искомые компонен­

ты

перемещений

и напряж ений

допускаю т разлож ения

в ряды Тей­

л о р а в окрестности г =

rh

получаем

M s , = £ «" 2 / Г « Й г т , и , .

1

ri=fi

тг=П

'

*

(3.148)

оо

п

Здесь дифференциальные операторы L\n)

в отличие от (3.58) в первы х

четырех приближ ениях (п =

0,

1 ,2 , 3) имеют вид

£ f = l ,

if*

= -п,,

д .

1

2

<Эа

дг

+ - 5 - Ло/

дг2

(3.149)

дй

,

1

„з

д3

= Ч21 - jr r

+

Ло/Ли

дг2

"Г “5" ЛО/

дг3

дг

С

учетом (3.54),

(3.147) представим направляю щ ие

косинусы

tijj (/ —

=

г, 0, г) в форме рядов:

оо

ОО

ОО

пг.1 =

£ гт а mt,

Пв,1= £

emfw ,

гсг>/ =

£

в^у,,,/.

(3.150)

r?i=0

/71=0

т=0

D ® = £

a slL f ~ s\

D® -

£ рstL(r

s\

D ® -

£

у ^ Г

Л

(3-151)

s=0

S—0

s=0

Если ф ункция

fi

в

уравнении

(3.147)

не

зависит

от переменной г,

т. е.

fi = ft

(0,

в)

=

л о/

(9) +

ели

(0) + егЛ2/ (0)

+

...,

то в

р яд ах

для

направляю щ их

косинусов

(3.150)

ymt =

0,

а

д руги е

вы раж ения

для

коэффициентов разложений

при т

— 0,

1, 2,

3

имеют

вид

а

1

а п =

п

«2/

1

'2

Ло/

/ 1

'

' \

01 = 1,

0,

----- Ло/.

аз/ =

—j-

Ло/Ло/ — “Hi/J *

Ро/=

0,

ри --------— Ло/.

р2/ = —

Ло/Ло/— Лi/j>

(3-152)

\

I

J

/

r

J

#

/

2

Рз/ =

-----— Лг/ +

—

(Ло/Лн +

Л1/Л0/) +

— г

Ло/ (Ло/ —

2ло/)-

I

О

" /

Приведенные в явном виде

дифференциальпые

операторы

L/ml, Dj™

(

т = 0, 1 ,2 ,

3) позволяют решать поставленные в § 2 краевы е задачи

с

точностью

О (в4) в случае, когда уравнение поверхности раздела не­

но-однородных

неканонических областей, рассмотренных

в гл.

3.

7.2.

О

взаимосвязи первого и второго вариантов

м етода

возму­

возмущения формы границы. Предположим, что некруговая

цилин ­

дрическая поверхность раздела (или замкнутая

поверхность вращ ения)

описывается с помощью конформно отображающей функции

со (£) =

= г0 [£ +

в/ (£)] (£ = pe*v, | е

1), причем

координатная

поверх­

ность р =

р* совпадает с поверхностью раздела S (, а величины р, =

тело в

недеформированном состоянии имеет тем пературу Т* = const.

Тогда

Т — Г* является

приращением температуры, где Т — абсо­

лютная тем пература. Если

в изотропном теле отсутствую т источники

теплоты и пренебрегают теплотой, которая выделяется в процессе де­

ф орм ирования, то

уравнение теплопроводности

в векторной форме

имеет вид

div (Я grad Т) =

,

(4.1)

где А, — коэффициент теплопроводности

изотропного тела; а — Х/рс —■>

коэффициент температуропроводности (р — плотность материала, с —

коэффициент удельной массовой теплоемкости);

t — время.

П ри постоянном

коэффициенте теплопроводности уравнение (4.1)

1

■ д / н 2н 3

дт \ , д ( н хн 3

дт \

ИуН2На

дах (

Нх

даг J

'

даг {

Нг

да2 J

■ д

( Н ХН2

дТ \ ]

__ 1

дТ

(4.2)

'

да3

Н3

да3

JJ

a

dt

У равнениями

(4.1),

(4.2)

описываются

нестационарные температурные

1

г

а

/

н 2н 3

дТ

\

д

(

НХНз

НХН2Н3

[

да.!

{

Нх

дах

J

да2

(

Нй

+

д

/

Н ХН2

=

0.

(4.3)

да3

у

Н3

Если теплопроводность тела

в

направлениях

а х и а 2 одинакова,

а в

направлении а 3 иная,

то

уравнение

теплопроводности будет

типа

(2.113).

Теплопередача

на поверхности S тела может происходить, как из­

движением

среды (жидкости или

газа), омывающей поверхность тела,

а перенос тепла излучением происходит между удаленными друг от

друга телами

посредством

электромагнитных

волн. Д ля

однозначнос­

ти

реш ения

уравнения теплопроводности необходимо дополнить его

начальным

и

граничными

условиями.

1.2.

Начальное и граничные условия. В качестве

начального усло­

вия обычно задается распределение температуры в начальный момент

времени. В

предположении,

что

это распределение равномерно, на­

чальное условие записывается

в виде

П = о = 7 \ ,

(4-4)

Заметим, что необратимый процесс теплопроводности описывается за­

коном Ф урье о пропорциональности вектора

теплового

потока q гра­

диенту температуры, т. е. q =

— X grad Т. Однако так как на поверх­

ности тела могут происходить три

указанны х выше вида теплопереда­

чи,

то граничные условия

отраж аю т сложный теплообмен. Поэтому

в математической теории теплопроводности обычно используют следу­

ющие краевые условия [121, представляющ ие определенную идеализа­

цию

действительных физических

процессов:

когда на

поверхности S

задан о распределени е тем пературы

T \s

— t* |s

(4.5)

(** — известная ф ункция);

когда

на поверхности

S зад ан

подвод теп ла

дп

=

r *9 Is

(4.6)

(q — тепловой поток

в направлении

безразм ерной отнесенной

к

х а ­

рактерной дли н е г* внеш ней нормали

п к S );

когда на поверхности S задан а тем пература окруж аю щ ей среды

Т*

и зако н

конвективного теплообмена

а т

— т ( Т

— T*)s

(4.7)

дп

s

(m — критерий Б ио,

h — коэффициент теплообмена,

или поверхност­

ной

теплоотдачи);

когда

на

поверхности S

возможность теплообмена

исклю чена (слу­

чай

идеально теплоизолированной поверхности)

дт_

(4.8)

дп

Зам ечание. Если задан тепловой поток q через поверхность тела 5 в

граничны х условиях. (4.6)

необходимо

поменять

зн ак ,

т. е. на

5 име­

ем ХдТ,!дп — — r*q.

В теории

теплопроводности различаю т теплообмен

при

свободной

конвекции (при

естественном

перемещении ж идкости

или

газа

вслед ­

ствие

неравномерной их

плотности,

обусловленной

неравномерны м

нагревом) и

при

вынужденной

конвекции (при

движ ении жидкости

или газа от механических воздействий, например, от

нагнетания насо­

сом). Теплообмен при вынужденной конвекции происходит в основном

более интенсивно, чем при свободной.

Заметим,

что

при теплообмене излучением меж ду

поверхностям и

S t и S 2, имеющими температуры

T t и Т2, плотность теплового

потока

через

Sx определяется по

формуле

138]

q =

о0е12 (Т | -

71),

(4.9)

где ст0 = 5,67

1СГ8

Вт/(м2

град4) — постоянная Стефана —

Вольц--

мана;

е12 =

const — коэффициент, зависящ ий от характери стик и зл у ­

чения и поглощ ения поверхностей, а такж е от относительного их рас­

положения.

1.3.

У словия

теплового контакта. При исследовании

тем пера­

турного поля кусочно-однородных или составных тел необходимо, кро ­

ме краевых условий (4.5) — (4.8), задать условия теплового контакта

(условия сопряжения) на

поверхности

раздела

S t ,

представляю щ ей

общую границу сред с различными теплофизическими свойствами.

При

-этом

условия

теплового

контакта, например,

на границе 1-го

и (I +

1)-го слоев

многослойного

тела,

могут

быть

следую щ ими:

верхности температура и тепловые потоки одинаковы)

Ti |sj =

Т/+1 Is,,

дТ,

дТ1+1

9

(4.10)

'1~дп

дщ

в случае неидеального теплового контакта

дп1

г*

XtRt

(4.11)

Зд есь П/ внеш няя нормаль к поверхности 5 / по

отношению к /-му слою,

Rt — контактное

сопротивление (R T1 — контактная

проводимость

поверхности раздела

5 г); m l — критерий

Био,

— коэффициент

теплопроводности,

h t — коэффициент теплообмена

/-го

слоя.

линдры

и

близкие к

сферическим

оболочки вращ ения,

поверхности

раздела которых описываются на основе некоторой конформно отоб­

ражаю щ ей

ф ункции.

Разовьем

приближенный аналитический

метод

реш ения

краевы х

задач теории

теплопроводности

для

указанных

ку­

сочно-однородных тел, изложенный

в гл. 2. Т акая

форма аналитичес­

кого решения удобна для использования

при решении соответствующих

краевы х

задач теории

термоупругости.

2.1.

Некруговые цилиндрические поверхности раздела. Рассмотрим

многослойный толстостенный

цилиндр.

Его граничные

поверхности,

а та клее поверхность раздела /-го и (/ -f-

1)-го слоев обозначим соответ­

ственно через 5 0, 5,v и S { (I =

1 ,2 ,

М —

1). Предположим, что кон­

туры

Г 0, Гц

.... Г,у поперечных

сечений поверхностей

S 0t S u

...,

Sn

списы ваю тся

функцией

/•гГ'ю (£) =

£ +

е/ (0

= re iQ

(? -

peiv),

(4.12)

конформно

отображающей

внешность |£ | >

I

(внутренность |£ | <

I)

единичной

окруж ности

на

внешность

(внутренность)

контура

Г0.

П ри

этом

кривым

Г 0,

1 \,

...,

Г /v отвечают

координатные

линии р =

=

р0 =

1,

р

= р1(

...,

р =

рN

( к ^

1). Аналитическая функция /

(£)

и

малый

парам етре ( |е |

1) характеризую т форму поверхностей

5 0*

S lt ..., Sn,

а го, plf р2........Pn

их

размеры.

Предположим, что перенос теплоты во внутрь рассматриваемого

слоистого цилиндра происходит только теплопроводностью, причем

преобладает

установивш ееся состояние (т. е. происходит стационарный

теплообмен

без источников тепла).

В этом

случае

тем пература

T t

в

/-м изотропном слое с граничными

поверхностями

5 ; _ i

и

(/ =

1,

2,

N) в круговых цилиндрических координатах г, 0, z удовлетворяет

уравнению

теплопроводности

(4.3)

(а г =

г,

а 2 =

8,

а 3 =

г,

Н г =

=

1, Н 2 =

г, Н 3 =

1). Н а граничных

поверхностях S 0 и S N м огут бы ть

заданы

краевые условия

типа

(4.5) — (4.8)

или их

комбинации. Н а ­

пример, если

на S 0 задана

температура t0, а

на S n — подвод теплоты ,

то

согласно

(4.5), (4.6) краевыми условиями будут

Is» = ^0 ls„i

дТ.

=

r 0qN\sN

(4.13)

дпN SN

(qt\ — поток теплоты в направлении

внешней

нормали

Цу

к

S n ). У с­

ловия

сопряж ения

на поверхности

раздела

(/ =

1,

2,

.... N

—

1)

имеют вид (4.10) или (4.11) в зависимости

от того, идеальны й или неи­

деальны й тепловой контакт на S t .

Д опустим, что

требуется исследовать температурное поле

рассм ат­

поверхностей. Если на основе (4.12)

учесть

соотнош ения

Г = Го1Y a r n =

г (р, V, е),

0 =

a r c t g - ^ -

=

0 (р, у,

в),

г =

Ь

(4.14)

то в выражении для температуры

можно перейти

к

криволинейны м

ортогональным координатам р, у, £, т. е.

Т[ (г, 0, г) =

Г Д р,

у Д ,

е).

(4.15)

Температуру T t будем

искать

в виде

рядов

Т ^

у ,

1, е) =

£

e " 7 f 1(р,

у Д ).

(4.16)

л=0

Согласно

(2.156)

температура

Tt (г,

0,

а)

определяется

по

ф орм уле

T i(r,

jjn)rp{m—n)

(4.17)

т = 0

м=0

(р> ? . I).

где дифференциальные

операторы

1}п)

записываются

на

основе

ре­

куррентного соотношения

(2.148),

а температура

Т}т)

(р,

у,

g)

со­

гласно (2.162) удовлетворяет гармоническому уравнению

теплопро­

водности

(

др2

1 Г др

"р5"

ду2

^

) (Р» V» £) =

О-

(4-18)

После подстановки рядов (4.16), (4.17) в (4.15) для определения

ком ­

понентов

Т1п)

(р, у, |) получаем

формулу

7 t 4 p . у Д )

= s

(n — m)1 т Г Ч р , v ,i ) .

(4.19)

m=(