книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

В силу

симметрии упругих постоянных справедливы равенства

■^1^21

■^'2^12*

^2^32 == ^3^23’

^3^13 = ^1^31'

(2.27)

Обратные по отношению

(2.26)

зависимости имеют вид

а . — J _

п

____ L

ч

п

_

-

1

„

_

v*i „ .

v31

иЦ

р

ч u22

р

Wg3 —

, Uj2 ----------р—9#13 —

р— Ч

п,2

^2

^3

^23 ~

~£

’ ^44 =

~~П

»

^Г)5 =

~~Г

» ^66 == “л

* (2.28)

с 3

^23

^13

^12

л

___ 1

v23v32

Z7

г.

_

*— v13v31

Р

Л

_

I — v1*vsl с

°ХХ

д

с 1»

^22 —

д

ь 2>

с33 ---------- д------ с‘3'>

е «

=

в м ;

cs5 =

Cs„

си =

G ,,,

с „ -

>

+ .v” v” £ „

_

v;ti +

УзаУ21

Е

„

_

Узз +

V31V12

р

(2 .29)’

С13 —

д

*з>

623

Л

" 3»

ГДе А

—

1

'Vl2V21 — V13V31

V23V32

'V12V23V31

V21V32V13*

Если в каждой точке тела два направления

(например, а 1( а 2)

являю тся

эквивалентными

по

отношению к упругим свойствам,

т. е.

имеется

плоскость

изотропии,

то

тело

называется

трансверсально-

сокращ ается

до

пяти

ввиду

справедливости

равенств

22 ~-

#ХХ>

а 23 — Я]з*

Д65 — а 44>

Q66

1

(2.30)-

С22 =

cllt

С23 =

С13,

С55 — С44*

св<? —Т

( С11 С1г)-

Следовательно,

уравнения

состояния,

например

(2.23),

упрощаются-

к

виду

<УП — СцСц +

^12^22 “Ь С13е33>

&22 =

^12^11 "Н ^11^22 ”Ь ^13^33’

(2.31).

°33 =

С13 (е11

е22) "Ь С33^33>

^12 ~

~2~ (^11

^12) ^12»

®ХЗ =

^44^X3»

*^23 =

^44^23-

П ри этом технические постоянные связаны

с сц соотношениями

Ех

_

с1| — с<12

_

_

С12СЯЗ

СЙ

»

Р

■

—

» V j2----------------- о-

8

С11С33

<7з

С11С33

С1з

с

,

(2.32)'

Via —

clt +

с12

’

^ 1;* =

Сш

^ 12 ~

~2~ ten

схг)-

В

табл.

2 .1 —2.2

приведены

числовые

значения

упругих

постоянных

(в

101°

Па)

для некоторых

трансверсально

изотропных

сред 1139],.

а

в табл. 2.3 — для отдельных горных

пород

[37].

Т а б л и ц а

2.1

Номер

Материал

Яп

Ала

044

а12

а13

1

Титанат бария

(керами­ 0,818

0,676

1,83

—0,298

—0,195

2

ка)

Кадмий

1,23

3,55

5,40

—0,15

—0,93

3

Кобальт

0,472

0,319

1,324

—0,231

—0,069

4

Магний

2,20

1,97

6,10

—0,785

—0,50

5

р-кварц (600 °С)

0,941

1,062

2,773

—0,060

—0,262

6

Цинк

0.838

2,838

2,61

—0,053

—0,731

7

Лед (—16 °С)

10,4

8,5

31,4

—4,3

- 2 ,4

Т а б л и ц а

2.2

Номер

Материал

сп

сзэ

си

С13

1

Титанат бария

(кера­

16,8

18,9

5,46

7,82

7,10

2

мика)

12,1

5,13

1,85

4,81

4,42

Кадмий

3

Кобальт

30,7

35,81

7,53

16,5

10,3

4

Магний

5,97

6,17

1,64

2,62

2,17

5

р-кварц (600 °С)

11,66

11,04

3,606

1,67

3,28

6

Цинк

16,10

6,10

3,83

3,42

5,01

7

Лед (—16 °С)

1,384

1,499

0,319

0,707

0,581

Т а б л и ц а

2.3

Номер

Материал

Упругая постоянная

Etf Па

Ел, Па

G1S, Па

Viz

1

Песчаный сланец

1,074

0,523

0,1195

0,413

0,198

2

Перидотит

9,60

5,40

2,10

0,29

0,32

3

Хлористый сланец

13,00

8,30

3,60

0,183

0,280

кращ ается

до двух,

так как

_

Е( 1— v)

Ev

Си — сгг

63 3 -

(1

V) (1 — 2v)

’ с12 — с13 ■— С23 — (1+

v) (1 _

2v) ’

с,и =

сЪ6 = с6в — G =

2 (|

j)_ vj .

(2.33)

(v,2

= v13 =

v,

Е г =

Е я =

Е , Gj2 — G13 =

G).

-Следовательно,

уравнения

состояния

(2.23)

преобразую тся к

виду

а а

= 2G

{е{1 Н

j __ 2V

»

а с / —

Gei,-

(2.34)

отклоняется вправо от прямой линии, отвечающей

закону

Гука, или

с ж есткой характеристикой, когда соответствующая

кривая

отклоня­

ями

а (/ и

малыми упругими

деформациями

ец для

однородного изо­

тропного

тела имеют вид

а а =

З К к (е0) е0 + 2 Gy (ф§) (** — е0),

^2 35)

о,-/ =

Gy (ф0) *£/

О" + 1 /)»

где

К — модуль объемного сж атия,

G — модуль сдвига, е0 — среднее

удлинение,

е®=

" г Е * « *

(2-36)

£=1

И нтенсивность деформаций сдвига ф0 определяется

по формуле

,2

4

Г 2

9

2

2

фо =

-д~

-д" (*п + £22 + 633 — бх1е22 — ецезз — *22*33) +

■~п~ (*12 + *?з +

*5з)

(2.37)

Ф ункц ия

удлинения

х

(е0)

представляется

степенным рядом

х (е0) =

1 +

2

(2-38)

п=1

А налогичный вид имеет ряд и для функции сдвига у (ф0), т. е.

оо

У(Фо) =

1 +

S

Т2яфо”.

(2.39)

/1=1

Коэффициенты х„, уоп рядов

(2.38),

(2.39)

определяю тся эксперимен­

тал ьн о для

конкретны х

м атериалов.

Зам етим,

что

линейному

закону

Гука

отвечают

значения

х (*0) =

у (фо) ^

1 -

(2.40)

С ледовательно,

в степенных

рядах

необходимо учитывать только те

О братн ая зависим ость

нелинейны х

соотнош ений

(2.35) имеет вид

еи

=

- Щ - k (s0)

(*'°) (а «

°о)>

(2.41)

Si/ — q

g

(/5) Qij

(i Ф /)»

где s0 — приведенное среднее

напряж ение,

а 0 — среднее напряж ение,

£0 — приведенная

интенсивность

касательны х

нап ряж ений:

с

_ _ 2 < l

1

3

ст«»

to —

(2.42)

0 о — “з~ S

5° ~

3к

(=1

П ри

этом интенсивность

касательны х

напряж ений

т0 определяется

по

ф ормуле

•>

2

1

(0 11 +

022 +

Пзз — 0 Ц0 22 — °11°г33

то =

Т "

~

t>

2

2

1

(2.43)

---0 220 3з) “Ь 0 12 +

0 13 +

023

•

П о

ан алоги и с

(2.38),

(2.39)

ф ункции

среднего

н ап р яж ен и я k (s0)

и интенсивности

касательны х

напряж ений

g (/о)

можно представить

рядам и

k (s0) =

1

+

f

knsn0

(2.44)

И

П=1

,2a

g (to) =

1 +

2

(2.45)

11=1

Коэффициенты

kn, g in определяю тся

через

x„,

У2П. Н априм ер,

hi ==

Xj,

k% — 2xf — X2,

feg =

(5X]

5XjXjj “I- Xg),

gz =

— Tz-

g i =

3yl — Y4-

(2.46)

При малы х деформациях

с допустимой погреш ностью можно п ри н ять

k (s0) г 1, так

как

переход м атериала от линейно-упругого к нелиней ­

но-упругому (или

пластическому)

происходит

преимущ ественно, к а к

му больш инство экспериментов проводилось для частного с л у ч а я ,

когда

k (s0) и g (/0) допускаю т представления

£ (5о) =

Ь

Я ( * о ) э 1 + * а&

(2.47)

или

и (в0) =

1.

У (фо) — 1 — £ 2фо-

(2 48)

С учетом

(2.47)

аналогич­

Т а б л и ц а

2.4

ную

форму

приобретут

и

-г со

обратные соотнош ения

Но-

с

мер

Материал

1 1—I

V Я,. 10-6

о

ТSo

е"

з/<"

°°

~ W х

СзсГ

X

(1 +

g^to) (ои — а 0),

1

Медь

0,461

0,342

7,260

2

Чистая медь

0,451

0,349

0,180

Cii ~

-q

(1 +

g^b) Оц

3

Алюминиевая

0,468

0,342

0,040

4

бронза

Мартеновская

0,853

0,294

0,085

(2.50)

сталь

шении

конкретных

задач.

Решение в форме П . Ф. Попковича — Г

Нейбера [59, 118] является,

по-видимому, одним из наиболее

часто

применяемых

при

решении

конкретных

задач.

В цилиндрических координатах

г,

0, z (0 ^

г <

< оо,

О

^ 0 <

2я, — оо <

z <

оо) уравнения равновесия изотроп­

ного тела

имеют вид (2.12), (2.13),

если положить

а х = г, а 2 = 0, а 3 = г, Н х = 1, Н 2 = г, Н 3 = 1

( x = r c o s 0 ,

г/ — г sin 0,

2 = г).

(2.51)

У равнения

равновесия

(2.13)

или

(2.14)

в

перемещениях

иг,

ив, иг

удовлетворяю тся

тождественно

(в

отсутствие объемных сил К), если

компоненты

вектора перемещений и выбирать в виде

« г “ -f - - 4 ( l - v ) Y „

а е = J - - g - _ 4 ( l - v ) Y 0,

ао

4 ( 1 - v ) T ,

<а = Т 0 + г Т , + 2 Ч у ,

<2 -5 2 >

=

где функции Ч;п и ЧЛ, являю тся

гармоническими, а Ч'г и Ч'в удовлетво­

ряю т уравнениям

V " Г , -

1

=

2

дУг.

,

v * T e

+

=

'2 53)

-4г Т ,

-

j f

Согласно (2.17), (2.51) функции ЧГЛ, Ч'о выражаются

через

гармони­

ческие

ф ункции -Ч ^,

Ч'у

по формулам

Чгг = Y ,c o s 0

+

Y „ s in e ,

Ч'в =

Ч^ cos 0 — Ч \ sin 0.

(2.54)

Вы ражения для напряж ений

o t/

на

основе (2.9), (2.34),

(2.51),

(2.52)

принимаю т вид

ог! =

2

0

[

^

-

2

^

+

^

)

-

2

<

2

-

^

]

,

09> =

2 G [

7

- W

-

2 ‘ 1 -

V>

( ^ L +

^ - ' ^

- ) ] -

<2 -55>

< ' - 2 G f ^

- 2 c - v ) ( ^ + - ^ ) ] .

где

dVx

cos 8 +

ffVg

sin 0,

Fa

d4'v

cos 0-—

dVx

F r =

flfl

dB

dO

dQ

sin 0.

(2.56)

В работе 1132) показано, что

напряж ения

и смещ ения

в

случае

односвязной

области

вы раж аю тся

через три

гармонические

ф ункции.

О днако

наличие

в

представлении

П .

Ф.

П апковича — Г.

Н ейбера

(2.52), (2.55) четвертой

гармонической функции м ож ет облегчить реш е­

ние конкретны х

задач.

Реш ение в форме К . Ю нгдала

[159]

позволяет удовлетворить одно­

родным

уравнениям

равновесия

(2.13)

или

(2.14), если

перемещ ения

иг, «е. «г определить по формулам

иг

ай 0

,

1

0V*

..

_

1

ай 0

эм',

Q0 + 4 '2),

dr

г

дв

*

и в ~

г

ЙП

дг

’

(2.57)

где

V a« o ----------2 (1 — v)

^

=

V * Y e =

6.

(2.58)

При этом ф ункция

й 0

представима

через

гарм онические

ф ункции

Ч^,

в двух

эквивалентны х формах

o . =

4r,

+ T 7 I ^

r

i b

. , .

Й

. - Т

, -

г

a v 2

(2.59)

4(1 — v)

дг

Тогда

напряж ения

о ц

на

основе

(2.9),

(2.34),

(2.51),

(2.57)

определя­

ются

вы раж ениями

a „ ~ 2 G | - S s - + - 7

2(1

-

V)

а2,г ,

/ 1

а2

_

1

а \

Ч'

аг2

г

дгдо

—

г2

ао

j

дгг

О0Ь =

2 G ^ —

агй0

d4in

I

дЧ>

/

1

а2

о

1

az,i'2

ае •) V , ] ,

а/-2

аг2!

2

аг2

дгд0

а „

=

2G

аа

«о +

^

v

ш

(2.60)

аг2

2 (1 — v)

2

* „ e C 4 - ( 2 i S - + i * L +

,

ап

аг

^

&

т

*

+

Таким образом, согласно (2.61),

(2.63) —

(2.65)

перем ещ ения

ur , uq,

иг в случае тран сверсально

изотропной среды представим ы в

виде

..

_

V 1

|

*

дф3

U r~

dr

+

г

50

'

,

1

дФ(

дФ3

»

t

5Фi

(2.66)

S

i=l

- - е

ё ---------- д Г

’

“ * =

Е

*

' _ 5 Г ’

где

(=1

h

=

cici\

:

u

(2.67)

с13 Т

с\4

а постоянны е щ

(i =

1; 2) являю тся

корням и

ал геб раи ч еско го у р авн е ­

ния (2.65).

_

Ф ункции

Ф*

являю тся

гармоническими

по

переменным

lA t/r ,

0, г или г,

0, zlV~Xj

(j

=

1,

2,

3),

т. е.

(■w ~

+ ~

г 4

г +

~ т г ~

т

) +

ф / <г - 01 г> =

°>

<2 -68)

ИЛИ

( ■ £ +

4

1

а

+

4

— ^

-

+

* , - 5 - ] ф , ( г , е , г >

= 0.

(2.69)

дг

'

г2

аеа

Зд есь согласно

(2.62),

(2.65)

введены

следую щ ие

обозначения:

_

с13 (^С44 ~Ь cis) — с11СS3

.

(lCi3 (^c4j ~Ь Cis) — <?ЦСэз1а

С83

х ,

2^11^44

I1

41*44

(2.70)

Х3 =

2с,44

С11 ~

с12

Соответствующ ими представлению (2.66) компонентами

н ап ряж ен и й

будут

2

а 2

)

и

«8

Я/-2■+ (:

'

Х3

5z2

Ф *-Ь

г

/

1

5®

1

5

■3

\

г

5г50

г2

ао

) ф °

<*00 “

Cii | Ё

[

х3

дг2

— (ki +

*)

Ф * —

____ 2_ ( J _

5®

1

а

\ ^

]

к3

\

г

5г50

г2

50

) Ф з|

’

<*гг =

С44 Ё

(1 +

5®Ф,

(2.71)

kt) Щ

5za

i=l

(1 +

К)

дФ(

дФз

>

дг

ае

2

(1 +

1

ЗФ;

аФз_]

£

г

а0

*

J '

‘О’гЭ

а2

1

Ф 3

•

а>-ав

Зам ечание

1.

При

замене

упругих

постоянных

сц по

формулам

(2.33),

которые

соответствую т

случаю

изотропной

среды,

получаем

Xi =

k{ =

l

( / =

I;

2),

(2.72)

т . е. в этом случае функции

(Г»! и Ф 2 становятся линейно зависимыми,

что

препятствует

непосредственному

использованию

представлений

(2.66),

(2.71)

при

решении

граничны х

задач

для

изотропных

тел.

В осесимметричной

задаче,

когда

Ф с

=

Ф £ (г,

г),

на основе

(2.66),

(2.71) имеем

9

9

Ur

дФ{

дг

9

-

S£=1

(= 1

а "

+ 000 =

2С«

j j

—

1 — kij

дЩ

»

2

дг*

(2.73)

■

o e e - i S

u - y f - ^ --------

дг

17

к3

£ j \

дг2

г

'

i=i

^ 2 = <44 S

О +

^ )

= Си £

+

^-) 17^Г

t=i

4=1

Зам ечание

2. В монографии

[49]

показано,

что

в

рассматриваемом

случае

осевой

симметрии

компоненты

напряженно-деформированного

состояния

могут быть

вы раж ены

через одну функцию,

удовлетворяю ­

щ ую дифференциальному

уравнению

четвертого

порядка.

О б щ е е

решение в сферических ко орд и н атах

для трансверсаль­

но и зотропн ой среды. В случае

сферической трансверсальной

изотро­

пии

тела

сущ ествует

такая

система

сферических

координат

г,

0,

а

(0 — угол

широты, а

— угол

долготы),

при

которой

вдоль

любого

направления,

касательного к сфере г =

const,

упругие

свойства

одни

и те

ж е

(иными

словами,

все плоскости

изотропии

ортогональны ра­

диальны м

направлениям ).

П ри

этом

уравнения

обобщенного

закона

Г ука

имеют вид (2.31),

а уравн ения равновесия

элементарного объема

в сферических координатах — (2.12),

если

положить

а х =

0,

а 2 =

а ,

а 3 =

г,

=

г,

Н 2 =

г sin 0,

Н 3 =

1

{х =

г sin 0 cos а ,

у =

г sin 0 sin а ,

z =

г cos 0).

(2.74\

К ом поненты перемещ ений

ив, иа ,

иг п редставим в

виде [146]

п

_

J _

дФп

,

о

1

dVn

0

Ь

г

50

""l”

2 j

г sin 0

5а

’

п=0

где kn — н екоторы е

постоянны е,

подлеж ащ ие

определению .

С и сп ользовани ем

соотнош ений

(2.9), (2.31),

(2.74),

вы раж ен и я д л я

н ап р я ж ен и й , соответствую щ их

перемещ ениям

(2.75),

прим ут

ф орм у

Оее +

Осса =

s

[^Cl1

----- Г*- “J t" j

^ с13^п - дгй |

Фл>

Оее — СГаа =

(Сц — Сг2) ( ^

л= I

/

'

\п=0