Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 3. Основы динамики и устойчивости сооружений, Новополоцк ПГУ 2010

Составим уравнение равновесия стержня в отклоненном от вертикали состоянии, которое характеризуется углом поворота . Таким уравнением является уравнение моментов относительно центра упругого шарнира

M 0...Pl c 0 .

Этому уравнению можно придать вид

Pl c 0.

Полученное уравнение является линейным однородным алгебраическим уравнением относительно и имеет два независимых решения.

Первое решение – тривиальное 0, которое соответствует исходному вертикальному состоянию равновесия стержня, и которое возможно при любом значении P .

Второе решение – нетривиальное 0, которое соответствует смежному отклоненному состоянию равновесия стержня, и которое возможно при выполнении условия

Pl c 0 .

Отсюда находим, что критическая нагрузка имеет вид

Pкр cl .

Третьим методом решения задач упругой устойчивости является энергетический метод. Этот метод основан на исследовании поведения полной потенциальной энергии конструкции в окрестности исследуемой исходной формы равновесия согласно теореме Лагранжа – Дирихле, которая формулируется следующим образом.

Если конструкция находится в устойчивом состоянии равновесия, то ее полная потенциальная энергия принимает минимальное значение, если в неустойчивом – максимальное значение и если в критическом состоянии, то ее величина не изменяется по сравнению со значениями для всех смежных состояний конструкции.

Полная потенциальная энергия упругой конструкции складывается из потенциальной энергии внутренних сил V и потенциальной энергии внешних сил U и имеет вид

П V U .

Тогда, в соответствии с теоремой Лагранжа – Дирихле, поведение полной потенциальной энергии будем следующим.

91

В устойчивом состоянии равновесия при отклонении конструкции от него приращение полной потенциальной энергии будет положительным

dП 0,

и, следовательно, приращение потенциальной энергии внутренних сил будет больше приращения потенциальной энергии внешних сил

dV dU .

В неустойчивом состоянии равновесия при отклонении конструкции от него приращение полной потенциальной энергии будет отрицательным

dП 0,

и, следовательно, приращение потенциальной энергии внутренних сил будет меньше приращения потенциальной энергии внешних сил

dV dU .

В критическом состоянии равновесия при отклонении конструкции от него полная потенциальная энергия не изменяется

dП 0,

и, следовательно, приращение потенциальной энергии внутренних сил будет равно приращению потенциальной энергии внешних сил

dV dU .

Полученное равенство и является критерием достижения конструкцией критического состояния при решении задачи энергетическим методом. Данный критерий был сформулирован С.П. Тимошенко и называется кри-

терием Тимошенко.

Покажем применение энергетического метода к решению задачи упругой устойчивости на той же простейшей модели, что была использована в статическом методе. Однако при рассмотрении отклоненного положения будем учитывать, что перемещения точек стержня, строго

говоря, всегда происходят по дугам (рис. 18.8). Приращение потенциальной энергии внут-

ренних сил имеет вид

92

Раскладывая cos в ряд и удерживая два первых члена этого ряда, получим

l 2 . 2

Тогда окончательно приращение потенциальной энергии внешних сил принимает вид

dU Pl2 2 .

Приравнивая полученные выражения для dV и dU , найдем критическую нагрузку

Pкр cl .

Сравнивая результаты определения критической нагрузки для модели стержня, видим, что во всех случаях получили одинаковые значения критической нагрузки. Такое совпадение результатов при исследовании устойчивости строительных конструкций различными методами возможно только для задач упругой устойчивости при действии консервативных нагрузок.

Наиболее общим методом решения задач устойчивости является динамический метод. Он позволяет правильно решать все задачи устойчивости строительных конструкций. Статический метод позволяет надежно определять критические нагрузки в задачах упругой и упруго-пластической устойчивости строительных конструкций при действии консервативных нагрузок.Энергетический метод, как правило, применяется для решения задач упругой устойчивости строительных конструкцийпридействии консервативныхнагрузок.

18.3. Резюме

Понятие устойчивости нагруженной строительной конструкции связано с рассмотрением ее формы равновесия в некотором деформированном состоянии. Форма равновесия конструкции считается устойчивой, если конструкция при малых отклонениях стремится возвратиться к первоначальному равновесному деформированному состоянию. В противном случае исследуемая форма равновесия нагруженной конструкции считается неустойчивым.

Особую роль при решении задач устойчивости играет критическое состояние равновесия конструкции. Им является такое граничное состояние равновесия нагруженной конструкции, при переходе через которое исходная форма равновесия конструкции из разряда устойчивых переходит в разряд неустойчивых.

93

Нагрузка, при которой достигается критическое состояние равновесия конструкции, называется критической нагрузкой.

Утрата нагруженной конструкцией способности сохранять первоначальную форму равновесия и не возвращаться к ней при приложении малых возмущающих воздействий называется потерей устойчивости. Потеря устойчивости впервые возможна в критическом состоянии и в зависимости от свойств конструкции может проявляться по-разному.

Задачи устойчивости в строительной механике весьма разнообразны. Их классификация может проводиться по различным признакам. Основными из них являются тип системы и тип нагрузок.

При решении задач упругой устойчивости строительных конструкций могут использоваться три метода: динамический, статический и энергетический. Наиболее общим методом решения задач устойчивости является динамический метод.

18.4. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие ключевые понятия, определения алгоритмы и формулы:

–устойчивость в технических задачах;

–невозмущенное движение;

–возмущенное движение;

–особенности понятия устойчивость в технических задачах;

–концепция Лагранжа;

–концепция Ляпунова;

–устойчивость в строительной механике;

–виды форм равновесия;

–критическое состояние равновесия;

–критическая нагрузка;

–потеря устойчивости;

–типы потерь устойчивости;

–классификация задач устойчивости;

–методы решения задач устойчивости;

–критерии достижения критического состояния;

–полная потенциальная энергия строительной конструкции.

–теорема Лагранжа – Дирихле.

Проверьте, сможете ли Вы найти для модели стержня:

–критическую нагрузку динамическим методом;

–критическую нагрузку статическим методом;

–критическую нагрузку энергетическим методом.

94

М-19. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

19.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

получение критической нагрузки для упругих стержней с постоянной изгибной жесткостью при действии консервативной нагрузки;

получение критической нагрузки для упругих стержней с переменной изгибной жесткостью при действии консервативной нагрузки.

Структураизучаемогомодуля включаетследующие учебныеэлементы: 1. Устойчивость упругих стержней постоянного сечения.

2. Устойчивость упругих стержней переменного сечения.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-

дующей литературы: [1, c. 233 – 243, 256 – 258]; [4, c. 435 – 437]; [5, c. 323 – 329, 346 – 349].

19.1.Устойчивость упругих стержней постоянного сечения

Рассмотрим определение статическим методом критической нагрузки для центрально сжатого прямого упругого стержня постоянного поперечного сечения при действии консервативной нагрузки (рис. 19.1).

Рис. 19.1

95

Считается, что стержень имеет произвольные закрепления концов, которые на рис. 19.1 условно не показаны. Для математического описания форм равновесия будем использовать показанную на рис. 19.1 декартову систему координат с началом на левом конце.

Исходная прямолинейная форма равновесия стержня возможна при любых значениях сжимающей силы P , и для нее характерно отсутствие прогибов

y x 0

и углов поворота сечений

y x 0.

При значениях сжимающей силы меньше критического значения эта форма равновесия является единственно возможной и устойчивой.

При критическом значении сжимающей нагрузки P Pкр у стержня появляется вторая смежная изгибная форма равновесия, которая сопровождается появлением прогибов y x 0 и углов поворота сечений y x 0

(рис. 19.2).

Рис. 19.2

В начале координат изгибная форма равновесия стержня характеризуется начальным прогибом y 0 и начальным углом поворота y 0 , а также начальным изгибающим моментом M 0 и начальной поперечной силой Q 0 . Введенные четыре величины называются начальными па-

раметрами задачи. Они характеризуют напряженно-деформированное состояние стержня в начальном сечении и зависят от условий его закрепления в этом сечении.

96

19.1.1. Вывод уравнения, описывающего смежную форму равновесия

Из сопротивления материалов известно, что равновесие изогнутого стержня описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка

В правой части уравнения (19.1) стоит изгибающий момент в произвольном сечении стержня, знак которого зависит от знака кривизны оси изогнутого стержня в этом сечении. В нашем случае в принятой координатной системе изгибающий момент описывается выражением

Подставим (19.2) в уравнение (19.1), разделим обе его части на EIz ,

перенесем в левую часть слагаемые, содержащие прогиб в произвольном сечении, и преобразуем его к виду

где 2 EIPz . Полученное уравнение (19.3) описывает смежную изгибную

форму равновесия стержня в критическом состоянии. Оно является обыкновенным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка

спостоянными коэффициентами.

19.1.2.Решение уравнения, описывающего смежную форму

равновесия

Решение дифференциального уравнения (19.3) ищется в виде

y y1 y2 .

Здесь

y1 Asin x Bcos x –

общее решение однородного дифференциального уравнения y 2 y 0 ,

получаемого из уравнения (19.3);

частное решение уравнения (19.3). Следовательно, общее решение неоднородного дифференциального уравнения (19.3) описывается выражением

97

Для нахождения второй произвольной постоянной продифференцируем один раз по x выражение (19.4)

Таким образом, смежная изгибная форма равновесия стержня, возникающая в критическом состоянии, будет описываться следующим выражением для прогибов:

Используя полученные выражения (19.8), (19.9), можно находить критическую нагрузку для стержней с конкретными условиями закрепления.

Покажем определение критической нагрузки на примере стержня с шарнирным закреплением концов (рис. 19.3).

Рис. 19.3

98

В соответствии с условиями закрепления на левом конце начальные параметры задачи характеризуются следующими значениями:

y 0 0, y 0 0, M 0 0, Q 0 0. (19.10)

С учетом (19.10) выражение (19.8), описывающее прогибы смежной изгибной формы равновесия стержня, примет вид

y x y 0 sin x .

Из условий закрепления стержня на правом конце ( x l ) следует, что прогиб на этом конце равняется нулю

Наименьший корень

l 1

соответствует тому значению параметра нагрузки, когда стержень будет находиться в критическом состоянии и у него появится смежная изгибная форма равновесия. Следовательно, критическая нагрузка будет равняться

Pкр 2EIz . l2

19.2. Устойчивость упругих стержней переменного сечения

Решение задач устойчивости упругих стержней переменного сечения при действии консервативной нагрузки, как правило, проще осуществлять энергетическим методом. Рассмотрим решение этим методом двух видов задач:

устойчивость упругих стержней с непрерывным изменением сечения по их длине;

99

устойчивость упругих стержней с дискретным (ступенчатым) изменением сечения по их длине.

19.2.1. Устойчивость стержней с непрерывным изменением сечения

Применение энергетического метода к решению задач первого вида рассмотрим на примере центрально сжатого прямого стержня переменного поперечного сечения с шарнирным опиранием концов (рис. 19.4).

Изменение момента инерции поперечного сечения по длине стержня описывается некоторой функцией Iz x . При рассмотрении смежных из-

гибных состояний стержня будем учитывать продольное сближение концов, возникающее при изги-

бе (рис. 19.5).

Приращение потенциальной энергии внутренних сил изогнутого стержня описывается выражением

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении имеет вид

MPy .

Сучетом этого выражение для приращения потенциальной энергии внутренних сил принимает вид

внешних сил определяется по формуле dU P .

Продольное сближение концов, возникающее при изгибе, описывается выражением

100