Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 3. Основы динамики и устойчивости сооружений, Новополоцк ПГУ 2010

dU P l y 2dx . 2 0

Тогда, используя критерий Тимошенко, получим следующую формулу для вычисления критической нагрузки:

l

y 2dx

Однако в формулу (19.13) входит неизвестная функция, описывающая смежную изгибную форму равновесия. Поэтому для вычисления критической нагрузки по этой формуле нужно задаваться некоторой функцией, которая будет приближенно описывать изгибную форму равновесия стержня. В качестве такой функции можно брать функцию, полученную при решении задачи устойчивости для аналогичного стержня постоянного сечения.

Рассмотрим определение критической нагрузки по формуле (19.13) для стержня, у которого изменение момента инерции поперечного сечения по его длине описывается следующей функцией:

где I0 – момент инерции среднего сечения стержня. Известно, что смежная изгибная форма равновесия центрально сжатого стержня постоянного сечения с шарнирным опиранием концов описывается выражением

После подстановки (19.14), (19.15) в формулу (19.13) она примет вид

Входящие в полученную формулу интегралы являются табличными, и после их взятия получим следующее выражение для критической нагрузки:

Pкр 3EI0 .

4l2

101

19.2.2.Устойчивость стержнейс дискретным изменением сечения

Применение энергетического метода к решению задач устойчивости стержней с дискретным изменением сечения по длине рассмотрим на примере центрально сжатого прямого двухступенчатого консольного стержня

(рис. 19.6).

Изгибные жесткости участков связаны следующими соотношениями:

ренних сил изогнутого стержня складывается из приращений такой энергии каждого участка и описывается выражением

Возникающие на каждом участке изгибающие моменты, согласно (19.1), связаны с очертанием изогнутой оси следующими зависимостями:

Подставляя эти зависимости в (19.18), с учетом (19.16) получим следующее выражение

Приращение потенциальной энергии внешних сил складывается из приращений такой энергии каждой силы и определяется по формуле

102

Продольные перемещения точек приложения сжимающих сил, возникающие при изгибе, описываются выражениями

Подставляя эти выражения в (19.20), с учетом (19.17) получим следующее выражение для приращения потенциальной энергии внешних сил:

Тогда, связывая выражения (19.19), (19.21) с помощью критерия Тимошенко, получим формулу для вычисления критической нагрузки

Для вычисления критической нагрузки по формуле (19.22) необходимо задаваться функцией, которая приближенно будет описывать смежную изгибную форму равновесия. Как и в первом случае, в качестве такой функции можно брать функцию, полученную при решении задачи устойчивости для аналогичного стержня постоянного сечения.

19.3. Резюме

Определение критических нагрузок для центрально сжатых упругих стержней постоянного сечения при действии консервативных сил достаточно просто осуществляется статическим методом решения задач устойчивости, используя для описания смежной изгибной формы равновесия начальные параметры задачи.

Определение критических нагрузок для центрально сжатых упругих стержней переменного сечения при действии консервативных сил достаточно просто осуществить энергетическим методом решения задач устойчивости, используя для описания смежной изгибной формы равновесия форму, полученную при решении задачи устойчивости для аналогичного стержня постоянного сечения.

103

19.4. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие ключевые понятия, определения, алгоритмы и формулы:

–начальные параметры;

–дифференциальное уравнение, описывающее равновесия изогнутого стержня в критическом состоянии;

–общее решение однородного дифференциального уравнения;

–частное решение неоднородного дифференциального уравнения;

–общее решение дифференциального уравнения равновесия изогнутого стержня в критическом состоянии;

–формула критической нагрузки центрально сжатого стержня с непрерывным изменением сечения по его длине;

–формула критической нагрузки центрально сжатого стержня с дискретным изменением сечения по его длине.

Проверьте, сможете ли Вы найти:

–критическую нагрузку статическим методом для центрально сжатых стержней постоянного сечения с различным закреплением концов;

–критическую нагрузку энергетическим методом для центрально сжатых стержнейпеременного сечения с различным закреплением концов.

104

М-20. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКИХ РАМНЫХ СИСТЕМ

20.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются рассмотрение:

особенностей применения статического метода к решению задач упругой устойчивости рамных систем;

допущений, применяемых при решении задач упругой устойчивости рамных систем;

способа замены реальной рамной нагрузки узловой схемой нагружения при решении задач упругой устойчивости рамных систем;

применения метода перемещений для решения задач упругой устойчивости рамных систем;

использования результатов решения задачи устойчивости для проверки несущей способности сжатых рамных стержней.

Структураизучаемогомодуля включаетследующие учебныеэлементы: 1. Особенности решения задач упругой устойчивости плоских рам

статическим методом.

2. Решение задач упругой устойчивости плоских рам методом перемещений.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-

дующей литературы: [1, c. 281– 291]; [5, c. 355 – 356, 363 – 364].

20.1.Особенности решения задач упругой устойчивости плоских рам статическим методом

Особенности определения критических нагрузок для упругих плоских рам статическим методом поясним на примере симметричной однопролетной одноэтажной рамы, нагруженной в среднем сечении ригеля сосредоточенной силой P (рис. 20.1, а).

105

Кривая равновесных состояний, описывающая процесс деформирования рамы с учетом разветвления форм равновесия в критическом состоянии, имеет вид, показанный на рис. 20.2, б.

Для упругих плоских рам при произвольной схеме нагружения задача отыскания критических нагрузок, при которых возможно разветвление форм равновесия, в общем виде не решена. Основной причиной этого является влияние докритических деформаций на изменение вида формы равновесия рамы в нагруженном состоянии по сравнению с ненагруженным состоянием. Ненагруженное состояние рамы является безизгибным и безмоментным, а нагруженное докритическое состояние равновесия рамы характеризуется изгибом ее стержней и является моментным. Поэтому при отыскании критических нагрузок необходимо учитывать геометрическую нелинейность, чего не происходит в задачах упругой устойчивости центрально сжатых стержней. В этих задачах как нагруженное докритическое состояние равновесия, так и ненагруженное состояние стержня являются безизгибными и безмоментными.

20.1.1. Допущения статического метода и его разновидности

При решении задач упругой устойчивости плоских рам статическим методом вводятся две группы допущений.

Первая группа допущений связана с описанием докритического состояния равновесия рамы, устойчивость которого исследуется. Они преследуют цель привести исследуемое состояние равновесия рамы к безизгибному (безмоментному) виду. Поэтому при рассмотрении рамы в докритическом состоянии считается, что:

нагрузкаприложенатолькокузламрамыввидесосредоточенныхсил;

все составляющие нагрузки изменяются пропорционально одному параметру;

все стержни рамы являются идеально прямыми и соединены в узлах жестко или шарнирно;

можно не учитывать продольные деформации стержней рамы. Вторая группа допущений связана с описанием смежной изгибной

формы равновесия рамы, появляющейся в критическом состоянии. Они преследуют цель исключить из числа независимых величин, описывающих смежную форму равновесия, величины второго порядка малости. Считается, что при описании смежной формы равновесия рамы можно:

описывать изогнутые оси с помощью приближенного линеаризованного выражения кривизны;

107

не учитывать сближение концов изгибаемых стержней рамы;

не учитывать продольные и сдвиговые деформации стержней рамы. В рамках статического метода в зависимости от вида величин, ис-

пользуемых для описания смежной изгибной формы равновесия с учетом введенных допущений, различают следующие его разновидности: метод сил, метод перемещений, смешанный метод. В первом случае такими величинами являются реакции в избыточных связях, во втором – узловые перемещения и в третьем – одновременное использование величин первого и второго вида. При решении задач устойчивости рамных систем, как правило, используется метод перемещений, которому присуща сравнительная простота численной реализации.

20.1.2. Приведение рамной нагрузки к узловому виду

Если состояние равновесия рамной системы при заданных нагрузках не является безмоментным, например, как для рамы, показанной на рис. 20.1, то для перехода к идеализированной узловой схеме нагружения осуществляется обычный расчет рамы и определяются продольные силы, возникающие в ее стержнях,

N1,..., Nk ,

где k – число стержней рамы. Найденные продольные силы связываются между собой с помощью некоторого общего параметра N и числовых коэффициентов

1 NN1 ,..., k NNk ,

представляющих собой значения продольных сил в долях от параметра N. В качестве общего параметра N может быть принято любое значение найденных продольных сил. Считается, что полученная однопараметрическая зависимость относительных значений продольных сил

N1 1N,..., Nk k N

сохраняется неизменной вплоть до критического состояния

0 N Nкр .

После чего в узлы рамы прикладывают сосредоточенные силы, равные относительным значениям продольных сил в стержнях, примыкающих к соответствующим узлам. Направления узловых сил назначаются согласно полученным знакам продольных сил.

108

20.2. Решение задач упругой устойчивости плоских рам методом перемещений

Рассмотрим произвольную плоскую статически неопределимую раму, нагруженную узловой нагрузкой (рис. 20.3, а).

Рис. 20.3

Силы, приложенные к узлам рамы, описываются однопараметрической зависимостью

P1 1P,..., Pk k P .

Действующие на раму узловые силы принято описывать с помощью безразмерных параметров

сжатого стержня, примыкающего к нагруженному узлу k. Безразмерные параметры нагрузки также описываются некоторой однопараметрической зависимостью

1 1 ,..., k k ,

где – общий безразмерный параметр нагрузки, который может изменяться в интервале

0 кр .

Смежная изгибная форма равновесия (рис. 20.3, б), возникающая в критическом состоянии ( кр ), описывается угловыми и линейными пе-

ремещениями узлов рамы

Z1,...,Zn .

109

Эти перемещения принимаются за основные неизвестные в расчете рамы на устойчивость методом перемещений.

Основная система при расчете рам на устойчивость методом перемещений образуется так же, как и при расчете их на прочность, и получается наложением на узлы рамы связей, устраняющих возможность их перемещений (рис. 20.4).

Рис. 20.4

Для определения основных неизвестных Z1,...,Zn составляется система канонических уравнений

r11Z1 ... r1nZn R1P 0,

.......................................

rn1Z1 ... rnnZn RnP 0.

Так как узловая нагрузка до появления смежной формы равновесия не вызывает в наложенных связях реакций

R1P ... RnP 0 ,

то эта система уравнений становится системой однородных линейных алгебраических уравнений

r11Z1 ... r1nZn 0,

.............................. (20.1) rn1Z1 ... rnnZn 0.

При прочностном расчете рамы методом перемещений коэффициенты канонических уравнений не зависятот нагрузки. В отличие от этого на коэффициенты rik уравнений (20.1) влияет внешняя узловая нагрузка. Это связано с тем, что при возникновении смежной изгибной формы равнове-

110