Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 3. Основы динамики и устойчивости сооружений, Новополоцк ПГУ 2010

сия стержни рамы подвергаются продольно-поперечному изгибу и в них возникают изгибающие моментыот продольных сил.

Таким образом, внешняя узловая нагрузка является неотъемлемой составляющей в единичных состояниях основной системы метода перемещений при решении задач устойчивости. Поэтому коэффициенты каноническихуравнений (20.1) зависят от параметра нагрузки

rik rik .

При решении уравнений (20.1) возможны два случая.

Первый случай соответствует нулевому или тривиальному решению системы уравнений. В этом случае корни системы равны между собой и тождественно равны нулю

Z1 ... Zn 0 .

Так как в нашем случае корнями уравнений являются узловые перемещения рамы, то этому решению соответствует первоначальная безизгибная форма равновесия рамы. Такая форма равновесия возможна при любых значениях параметра нагрузки . Но при значениях кр она устойчивая

и единственная, а при значениях кр – неустойчивая и неединственная.

Второй случай соответствует ненулевым или нетривиальным решениям системы уравнений. В этом случае корни системы разные и отличны от нуля

Z1 0,...,Zn 0.

Этому решению соответствует смежная изгибная форма равновесия. Признаком существования такого решения является равенство нулю определителя системы уравнений (20.1)

Раскрывая определитель, получим нелинейное уравнение, которое выражает условие достижения рамой критического состояния

0.

Левая часть уравнения в общем случае представляет собой некоторое сложное трансцендентное выражение, поэтому для его решения обычно используют численные методы. Наименьший положительный корень этого уравнения определяет критическое значение параметра кр . Зная это зна-

чение, можно определить критическое значение продольной силы в каждом сжатом стержне рамы

111

Однако для проверки несущей способности центрально сжатых рамных стержней по формулам СНиП нужно знать не критическую нагрузку, а величину коэффициента продольного изгиба . Этот коэффициент и учитывает снижение несущей способности сжатых стержней вследствие возможной потери устойчивости.

В свою очередь величина коэффициента зависит от гибкости стержня, для определения которой нужно знать приведенную или расчетную длину сжатого рамного стержня. Такая длина определяется по формуле

l0i ili ,

где μi – коэффициент приведения длины рамного стержня, характеризующий влияние других стержней рамы на условия закрепления его концов; li – геометрическая длина рамного стержня.

Для определения коэффициента приведения длины произвольного рамного стержня поступим следующим образом. Так как любой рамный стержень может рассматриваться как отдельный центрально сжатый стержень с произвольным закреплением концов, то для него справедлива формула

Приравнивая правые части формул (20.2) и (20.3), получим следующую формулу для определения коэффициента приведения длины произвольного рамного стержня:

20.3. Резюме

При решении задач упругой устойчивости плоских рам статическим методом с целью упрощения вводится ряд допущений. Эти допущения позволяют привести исследуемое состояние равновесия рамы к безизгибному (безмоментному) виду и исключить из числа независимых величин, описывающих смежную форму равновесия, величины второго порядка малости.

Различают три разновидности статического метода решения задач упругой устойчивости плоских рам – метод сил, метод перемещений, сме-

112

шанный метод. Они разнятся природой величин, используемых для описания смежной изгибной формы равновесия рамы.

При решении задач устойчивости плоских рам, как правило, используется метод перемещений, которому присуща сравнительная простота численной реализации.

Основная система при расчете рам на устойчивость методом перемещений образуется так же, как и при расчете их на прочность, и получается наложением на узлы рамы связей, устраняющих возможность их перемещений.

При решении задач устойчивости плоских рам канонические уравнения метода перемещений представляют собой систему однородных линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой зависят от внешней узловой нагрузки рамы.

20.4. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие ключевые понятия, определения, алгоритмы и формулы:

общая постановка исследования устойчивости рам статическим методом;

допущения при исследовании устойчивости рам;

постановка исследования устойчивости рам методом перемещений;

заданная система при исследовании устойчивости рам;

основная система при исследовании устойчивости рам;

канонические уравнения метода перемещений при исследовании устойчивости рам;

особенности единичных состояний метода перемещений при исследовании устойчивости рам;

приведение реальной рамной нагрузки к системе узловых сил при исследовании устойчивости рам;

коэффициент продольного изгиба;

приведенная или расчетная длина рамного стержня;

коэффициент приведения длины рамного стержня.

Проверьте, сможете ли Вы вывести:

канонические уравнения метода перемещений при исследовании устойчивости рам;

формулу для вычисления приведенной длины сжатого рамного стержня.

113

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ВЫПОЛНЕНИЕМ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫХ РАБОТ

ВВЕДЕНИЕ

Изучение третьей части курса строительной механики сопровождается выполнением расчетно-проектировочных работ. Настоящее руководство предназначено для оказания помощи при выполнении расчетнопроектировочных работ.

В руководстве рассмотрены типовые задачи, связанные с динамическими расчетами и расчетами на устойчивость плоских статически неопределимых рамных конструкций, и даны их решения. Обращено особое внимание на последовательность выполнения расчетных этапов, форму представления конечных результатов и контроль их правильности.

Для приобретения устойчивых умений и навыков решения задач по третьей части курса строительной механики необходимо самостоятельно решить разобранные в руководстве задачи, а затем перейти к решению задач, имеющихся в различных учебных пособиях и задачниках по строительной механике, приведенных в списке литературы УМК.

ЦЕЛИ И СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАЧ

Задача № 1. Динамический расчет плоской стержневой системы на действие вибрационной нагрузки

Для стержневой системы, показанной на рис. 1.1, требуется, используя обратный способ:

определить собственные частоты свободных колебаний;

построить собственные формы свободных колебаний;

определить амплитудные значения динамических внутренних

усилий.

114

Рис. 1.1

Известно, что параметры системы имеют следующие значения: l 4 м, m1 m2 500 кг, E 2 105 МПа, Iz 9800 см4 .

Действующая динамическая нагрузка амплитудным значением

H 2 кН

и круговой частотой

52,5 с-1 .

Заданная стержневая система с учетом вводимых в расчет допущений имеет две степени свободы, связанные с перемещениями присоединенных точечных масс (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Тогда основная система обратного способа имеет вид (рис. 1.3).

Рис. 1.3

115

1.1. Определение собственных частот свободных колебаний

Свободные колебания системы описываются системой двух дифференциальных уравнений, которые в нашем случае при использовании обратного способа их получения имеют вид

Подставляя в (1.1) частные решения

y1 a1 sin t ; y2 a2 sin t ,

получим амплитудные уравнения свободных колебаний нашей стержневой системы

11m1 2 1 a1 12m2 2a2 0;

21m1 2a1 22m2 2 1 a2 0.

(1.2)

Для определения входящих в (1.2) коэффициентов ik i,k 1,2

рассмотрим два единичных состояния и построим единичные эпюры изгибающих моментов (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Используя формулу Максвелла – Мора и вычисляя входящие в нее интегралы по правилу Верещагина, получим следующие значения коэффициентов:

116

Подставим в (1.2) полученные значения коэффициентов ik и введем вспомогательную величину

Будем называть эту величину частотным коэффициентом обратного способа. Этот коэффициент связан с квадратом круговой частоты свободных колебаний обратной зависимостью.

Тогда амплитудные уравнения (1.2) примут вид

1,250 10 3 a1 3,125 10 4 a2 0;

(1.4)

3,125 10 4 a1 2,083 10 4 a2 0.

Для нахождения собственных частот свободных колебаний приравняем нулю определитель системы (1.4) и, раскрывая определитель, получим квадратное уравнение относительно μ

Решим уравнение (1.5) и вычислим его корни

1 1,337 10 3;

2 1,217 10 4.

Сучетом обратной зависимости между частотным коэффициентом и круговой частотой значения корней расположены в порядке убывания.

Используя (1.3), с учетом обратной зависимости между частотным коэффициентом и круговой частотой найдем следующие значения собственных частот свободных колебаний нашей системы:

Графическое изображение полученного спектра собственных частот показано на рис. 1.5.

117

Рис. 1.5

1.2. Построение собственных форм свободных колебаний

Для построения собственных форм свободных колебаний последовательно подставим найденные значения частотного коэффициента μ в систему амплитудных уравнений (1.4). Так как после этого система уравнений становится вырожденной, то чтобы решить ее, поступим следующим образом. Отбрасываем второе уравнение, полагаем первую амплитуду равной единице и находим относительное значение второй амплитуды в долях от первой амплитуды. Каждый полученный набор амплитуд будет характеризовать соответствующую собственную форму свободных колебаний нашей системы.

Набор соотношений амплитуд, соответствующих первой собственной форме, имеет вид

a11 1, a21 1,250 10 3 4 1 0,277. 3,125 10

Соответствующее полученным значениям амплитуд очертание первой собственной формы свободных колебаний показано на рис. 1.6.

Рис. 1.6

Набор соотношений амплитуд, соответствующих второй собственной форме, имеет вид

a12 1, a22 1,250 10 3 4 2 3,610 . 3,125 10

Соответствующее полученным значениям амплитуд очертание второй собственной формы свободных колебаний показано на рис. 1.7.

118

Рис. 1.7

Проверим соблюдение условия ортогональности для полученных собственных форм, которое в нашем случае имеет вид

Подставляя в (1.6) соответствующие значения, получим

500 1 1 500 0,277 3,610 5,684 10 13 .

Полученная невязка является следствием округлений при вычислениях, и она существенно меньше допускаемой погрешности при инженерных расчетах. Следовательно, условие ортогональности соблюдается.

1.3. Определение амплитудных значений динамических внутренних усилий

Проверим возможность возникновения резонанса при действии на стержневую систему динамической нагрузки. Для этого наложим на спектр собственных частот значение круговой частоты динамической нагрузки (рис. 1.8) и вычислим отношение

0,772 0,8.

1

Рис. 1.8

Следовательно, при действии динамической нагрузки резонанс не возникает, а колебания стержневой системы происходят в дорезонансной зоне.

119

Запишем уравнения для определения амплитуд сил инерции

системы уравнений (1.2). Вычислим численные значения коэффициентов системы уравнений (1.7)

Для вычисления входящих в (1.7) свободных членов 1H и 2H рас-

смотрим грузовое состояние и построим эпюру изгибающих моментов от действия амплитуды динамической нагрузки (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Используя формулу Максвелла – Мора и вычисляя входящие в нее интегралы по правилу Верещагина, получим следующие значения свободных членов:

1H Hl3 8,163 10 4 м, 8EIz

120