Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 3. Основы динамики и устойчивости сооружений, Новополоцк ПГУ 2010

17.5. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

–дифференциальное уравнение свободных колебаний балки;

–граничные условия балок;

–начальные условия для балок;

–метод разделения переменных;

–частный коэффициент;

–амплитудное уравнение для свободных колебаний балки;

–функции Крылова;

–свойство ортогональности для балок;

–уравнения метода перемещений для свободных колебаний рам;

–уравнения метода перемещений для вынужденных колебаний рам;

–замена системы с бесконечным числом степеней свободы системой с конечным числом степеней свободы;

–метод Рэлея.

Проверьте, сможете ли Вы найти для однопролетных балок с различным закреплением концов:

–собственные частоты свободных колебаний;

–собственные формы свободных колебаний. Проверьте, сможете ли Вы вывести и решить:

–уравнение свободных колебаний однопролетной балки;

–уравнения метода перемещений для свободных колебаний рам;

–уравнения метода перемещений для вынужденных колебаний рам. Проверьте, сможете ли Вы доказать:

–свойство ортогональности для балок.

81

М-18. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

18.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

знакомство с понятием устойчивости в технических задачах;

введение понятия устойчивости для строительных конструкций;

знакомство с разновидностями потерь устойчивости строительной конструкции;

рассмотрение методов решения задач упругой устойчивости. Структураизучаемогомодуля включаетследующие учебныеэлементы: 1. Понятие устойчивости в строительной механике.

2. Классификация задач устойчивости.

3. Методы решения задач упругой устойчивости.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-

дующей литературы: [1, c. 207 – 216]; [4, c. 429 – 430]; [5, c. 281 – 30].

18.1. Понятие устойчивости в строительной механике

Теория устойчивости строительных конструкций берет начало в XVIII веке. За более чем 200-летний период развития она прошла путь от решения простейшей задачи, объектом исследования которой являлся отдельный стержень при различных условиях опирания, до исследования и решения большого числа сложных задач строительной механики, связанных с устойчивостью сложных континуальных и стержневых систем.

Понятие устойчивости имеет фундаментальное значение, так как в своей деятельности человек длительно может использовать лишь устойчи-

82

вые явления, процессы и конструкции. Это понятие пронизывает все области естествознания и техники. Определение устойчивости, используемое при решении различных задач естествознания и техники, имеет ряд общих моментов. Поэтому, прежде чем говорить о понятии устойчивости в строительной механике, следуя В.В. Болотину*, рассмотрим то общее, что должно содержаться в определении устойчивости при решении технических задач. Частным случаем таких задач и являются задачи устойчивости строительных конструкций.

18.1.1. О понятии устойчивости в технических задачах

Устойчивость в технических задачах есть свойство движения, или его частного случая равновесия, некоторой механической системы. Пусть такая система совершает некоторое движение при определенном сочетании параметров как самой системы, так и окружающей среды, которое считается невозмущенным. Если параметры системы, частично или полностью, получат небольшие изменения, то движение системы также изменится. Такое движение считается возмущенным, а изменения параметров называются возмущающими воздействиями. Важным является вопрос, насколько возмущенное движение будет отличаться от невозмущенного движения. Если малые возмущающие воздействия не вызывают больших различий между двумя видами движения, то невозмущенное движение считается устойчивым, в противном случае – неустойчивым.

Таким образом, понятие устойчивости в технических задачах связано с понятиями невозмущенного движения, возмущающих воздействий и возмущенного движения некоторой механической системы. И, следовательно, устойчивость есть свойство системы мало отклоняться от невозмущенного движения (равновесия) при малых возмущающих воздействиях.

Следует отметить три момента, связанных с приведенным выше определением устойчивости.

Во-первых, нельзя говорить об устойчивости системы вообще, а нужно указывать конкретное невозмущенное движение (равновесие), устойчивость которого рассматривается.

Во-вторых, нужно указывать вид возмущающего воздействия, по отношению к которомуисследуется устойчивость невозмущенного движения (равновесия). Движение может оказаться устойчивым по отношению к изменениямодной группы параметрови неустойчивым– поотношениюкдругой.

* Болотин В.В. О понятии устойчивости в строительной механике. В сб. «Проблемы устойчивости в строительной механике», М. Стройиздат, 1965.

83

В-третьих, нужно указывать интервал времени, в течение которого исследуется устойчивость невозмущенного движения (равновесия).

Существуют две концепции приведенного выше понятия устойчиво-

сти – понятие устойчивости по Лагранжу и понятие устойчивости по Ляпунову.

Согласно концепции Лагранжа устойчивость отождествляется со свойством системы, находясь в возмущенном движении, вернуться к невозмущенному движению (равновесию) в течение конечного промежутка времени.

Согласно концепции Ляпунова устойчивость отождествляется со свойством системы, находясь в возмущенном движении, пребывать в некоторой наперед заданной окрестности невозмущенного движения (равновесия) в течение конечного промежутка времени.

Сравнивая два определения, нетрудно увидеть, что понятие устойчивости по Лагранжуесть частный случай понятия устойчивости по Ляпунову.

18.1.2. Понятие устойчивости строительной конструкции

Понятие устойчивости строительной конструкции связано с рассмотрением ее формы равновесия в нагруженном деформированном состоянии. Равновесное положение нагруженной конструкции считается устойчивым, если конструкция при малых отклонениях стремится возвратиться к первоначальному равновесному деформированному состоянию. В случае упругой конструкции такое возвращение сопровождается затухающими свободными колебаниями в окрестности ее исходного равновесного положения. В противном случае исследуемое равновесное положение нагруженной конструкции считается неустойчивым. Следовательно, при исследовании устойчивости в строительной механике используется понятие устойчивости по Лагранжу.

Так как возможны различные уровни нагружения конструкции, то при решении задач устойчивости существуют целые области устойчивых и неустойчивых состояний ее равновесия. Особую роль при решении задач устойчивости играет критическое состояние равновесия конструкции. Им является такое граничное состояние равновесия нагруженной конструкции, при переходе через которое исходная форма равновесия конструкции из разряда устойчивых переходит в разряд неустойчивых.

Нагрузка, при которой достигается критическое состояние равновесия конструкции, называется критической нагрузкой. Следовательно, устойчивым состояниям равновесия конструкции соответствуют уровни нагружения меньше критической нагрузки, а неустойчивым состояниям равновесия – уровни нагружения больше критической нагрузки.

84

18.1.3. Разновидности потери устойчивости

Утрата нагруженной конструкцией способности сохранять первоначальную форму равновесия и не возвращаться к ней при приложении малых возмущающих воздействий называется потерей устойчивости.

Потеря устойчивости впервые возможна в критическом состоянии и в зависимости от свойств конструкции может проявляться по-разному. Наиболее важными для строительных конструкций являются следующие случаи проявления неустойчивости.

Первый случай характеризуется появлением у нагруженной конструкции в критическом состоянии качественно новых смежных форм равновесия. Нередко в литературе этот случай проявления потери устойчивости называют потерей устойчивости первого рода.

Примером такого проявления неустойчивости может служить центрально сжатый прямой упругий стержень. При значениях сжимающей силы меньше критического значения у стержня возможна единственная устойчивая прямолинейная форма равновесия.

При критическом значении сжимающей силы прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, у него появляется смежная устойчивая изгибная форма равновесия, и потеря устойчивости сопровождается уходом стержня к этой новой форме равновесия.

Появление смежных форм равновесия называют разветвлением форм равновесия или бифуркацией. Совокупность равновесных состояний стержня, соответствующих различным значениям нагрузки, показана на рис. 18.1.

Рис. 18.1

85

Крестиками на рисунке отмечены неустойчивые состояния стержня. Второй случай проявления неустойчивости характеризуется появлением у нагруженной конструкции в критическом состоянии качественно новых несмежных форм равновесия. Сначала при нагружении конструкции до критического значения происходит монотонный рост возникающих в ней перемещений, и каждому уровню нагружения соответствуют устойчивые формы равновесия. Затем при достижении критического уровня нагружения исходная форма равновесия становится неустойчивой, и конст-

рукция скачком переходит к новой несмежной форме равновесия. Примером такого проявления неустойчивости может служить «хло-

пающая мембрана» (рис. 18.2).

Рис. 18.2

Соответствующая кривая равновесных состояний показана на рис. 18.3.

Рис. 18.3

Такое проявление неустойчивости может происходить и при нагружении гибких строительных конструкций, например, для сжатых вдоль оси тонких цилиндрических оболочек металлических резервуаров. Однако если способность хлопающей мембраны к перескокам можно использовать в технических целях, то в случае строительных конструкций перескоки практически означают их выход из строя.

86

Третий случай проявления неустойчивости характеризуется исчезновением у нагруженной конструкции в критическом состоянии устойчивых форм равновесия. При достижении критического уровня нагружения конструкции при любом малом возмущении происходит уход от исходного состояния равновесия и переход в состояние движения. Это движение может быть апериодическим или носить характер колебаний с постепенно возрастающими амплитудами.

Примером такого проявления неустойчивости может служить консольный стержень, нагруженный на конце «следящей» силой (рис. 18.4, а).

Рис. 18.4

В этих случаях кривая равновесных состояний имеет вид, показанный на рис. 18.4, б. Ниже критического значения нагрузки состояния равновесия устойчивы, выше – неустойчивы.

Четвертый случай проявления неустойчивости характеризуется исчезновением у нагруженной конструкции в критическом состоянии любых форм равновесия, а при нагрузках, больших критических, конструкция вообще не может находиться в состоянии равновесия. В этом случае кривая равновесных состояний нагруженной конструкции имеет вид, показанный на рис. 18.5.

Следовательно, можно сказать, что в критическом состоянии конструкция утрачивает саму возможность находиться в равновесии, переходит в состояние апериодического движения и происходит исчерпание ее несущей способности.

87

Иногда в литературе этот случай проявления потери устойчивости называют потерей устойчивости второго рода. Примером такого проявления неустойчивости может служить процесс деформирования упругопластического стержня при внецентренном сжатии.

18.1.4. Классификация задач устойчивости

Задачи устойчивости в строительной механике весьма разнообразны. Их классификация может проводиться по различным признакам. Основными из них являются тип системы и тип нагрузок.

В основе классификации задач устойчивости по типу системы лежит характер деформаций, при которых достигается критическое состояние и происходит потеря устойчивости конструкции. По этому признаку возможны следующие разновидности задач устойчивости:

задачи упругой устойчивости;

задачи упруго-пластической устойчивости;

задачи упруго-вязкой устойчивости;

задачи упруго-вязко-пластической устойчивости.

Классификация задач устойчивости по типу нагрузки основывается на понятии консервативной силы. По этому признаку возможны следующие разновидности задач устойчивости:

задачи устойчивости при действии консервативной нагрузки;

задачи устойчивости при действии неконсервативной нагрузки. Наиболее изученными являются задачи устойчивости упругих сис-

тем, находящихся под действием консервативных нагрузок. К наиболее сложным задачам относятся задачи неупругой устойчивости при действии неконсервативных квазистатических и динамических нагрузок.

18.2. Методы решения задач упругой устойчивости

При решении задач упругой устойчивости строительных конструкций могут использоваться три метода:

1)динамический метод;

2)статический метод;

3)энергетический метод.

Общим методом решения задач устойчивости является динамический метод. Он основан на изучении движения конструкции, возникающего в окрестности исходной формы равновесия после некоторого возмущающего воздействия. По свойствам возмущенного движения делают за-

88

ключение об устойчивости или неустойчивости исследуемой формы равновесия.

В случае если возмущенное движение конструкции носит характер затухающих свободных колебаний, то исходная форма равновесия конструкции является устойчивой. Если же возмущенное движение является апериодическим или носит характер колебаний с нарастающими амплитудами в окрестности исходной формы равновесия конструкции, то она является неустойчивой.

Таким образом, свободные колебания нагруженной конструкции в окрестности исходной формы равновесия впервые не могут происходить в критическом состоянии. Следовательно, в этом случае, по крайней мере, основная собственная частота принимает нулевое значение, т. е.

1 0 .

Указанный критерий достижения конструкцией критического состояния называется частотным критерием.

Покажем применение динамического метода к решению задачи упругой устойчивости на простом примере. Рассмотрим абсолютно жесткий вертикальный стержень длиной l с присоединенной вверху точечной массой M , нагруженный вертикальной силой P , который нижним концом закреплен в упругом шарнире с коэффициентом жесткости c (рис. 18.6, а).

Рис. 18.6

Данная система является простейшей моделью реального консольного стержня, нагруженного вверху сжимающей силой и обладающего собственной распределенной массой.

Выясним, при каком значении силы P система не сможет совершать свободные колебания. Данная система обладает одной степенью свободы,

89

связанной с углом поворота . Поэтому дифференциальное уравнение свободных колебаний системы имеет вид

I M .

Здесь I Ml2 – момент инерции присоединенной массы относительно оси вращения, проходящей через центр упругого шарнира;M Pl c – сумма моментов внешних и внутренних сил, действующих на систему. После несложных преобразований дифференциальное уравнение принимает вид

2 0 ,

где

2 c Pl – I

квадрат собственной частоты свободных колебаний системы. Приравняв его нулю, получим выражение для критической нагрузки

Pкр cl .

Вторым методом решения задач упругой устойчивости является статический метод или метод Эйлера. Основная идея метода основана на изучении условий появления у конструкции наряду с исходной формой равновесия качественно новой смежной формы равновесия. Для этого из уравнений, описывающих эту форму равновесия, определяют, при каких значениях нагрузки она становится возможной наряду с исходной формой равновесия.

При решении задач статическим методом идеализируют геометрию конструкции и способ ее нагружения. Кроме того, поскольку рассматривается форма равновесия, смежная с исходной, то отклонения конструкции от исходной формы равновесия считаются бесконечно малыми величинами.

Появление двух форм равновесия и изменение их числа впервые происходит в критическом состоянии. Поэтому изменение числа форм равновесия конструкции при одной и той же нагрузке является признаком достижения конструкцией критического состояния. Такой признак называ-

ется разветвленческим или бифуркационным критерием.

Покажем применение статического метода к решению задачи упругой устойчивости на той же простейшей модели, что была использована в динамическом методе, но без учета присоединенной массы (рис. 18.7).

90