Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 3. Основы динамики и устойчивости сооружений, Новополоцк ПГУ 2010

собственная частота

2 2

и период колебаний

T 2 .

и остается все время постоянным. Таким образом, последовательность амплитуд образует убывающую геометрическую прогрессию.

Темп затухания колебательного процесса характеризуется величиной

T , которая называется логарифмическим декрементом колебаний.

T ln a1 . a2

Логарифмический декремент колебаний связан с коэффициентом поглощения соотношением

2 .

Оценим влияние сил сопротивления на основные числовые характеристики свободных колебаний с учетом сил сопротивления. Коэффициент вязкости системы для строительных конструкций, как правило, удовлетворяет соотношению

0,1 .

31

Рассматривая самый неблагоприятный случай, получим, что за время равное периоду амплитуда колебаний уменьшится почти в 2 раза:

a1 e0,2 1,88,

a2

а уже после 10 полных колебаний уменьшится более чем в 500 раз:

a1 e2 535, a2

исвободные колебания практически затухнут.

Вто же время учет сил сопротивления практически не повлияет на собственную частоту колебаний:

2 0,01 2 0,995

и период колебаний

T 2 1,005 T .

Таким образом, собственная частота и период колебаний затухающих колебаний отличаются от соответствующих характеристик незатухающих колебаний на 0,5 %. Поэтому при определении этих характеристик свободных колебаний силы сопротивления можно не учитывать.

15.4.Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

15.4.1.Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, к которой приложе-

ях системы без учета и с учетом сил сопротивления, показаны, соответственно, на рис. 15.11, а и 15.11, б.

32

С учетом схемы сил, показанных на рис. 15.11, а дифференциальное уравнение колебаний (15.1) конструкции как системы с одной степенью свободы примет вид

где h MH . Полученное уравнение (15.9) описывает вынужденные колеба-

ния системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления.

F y

R R

Рис. 15.11

С учетом схемы сил, показанных на рис. 15.11, б, дифференциальное уравнение колебаний (15.1) конструкции как системы с одной степенью свободы примет вид

Полученное уравнение (15.10) описывает вынужденные колебания системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления.

15.4.2. Анализ решений дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний (15.9) и (15.10) являются обыкновенными неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Их решения ищутся в виде суммы

y y1 y2 .

Первое слагаемое y1 является общим решением однородных дифференциальных уравнений. В случае решения задачи без учета сил сопротивления оно имеет вид (15.5), а в случае их учета при решении за-

дачи – (15.6).

33

Второе слагаемое y2 является частным решением неоднородных дифференциальных уравнений. Оно имеет вид

y2 C3 sin t –

в случае решения задачи без учета сил сопротивления и y2 C3 sin t C4 cos t –

вслучае учета этих сил при решении задачи.

Сучетом значений произвольных постоянных решение уравнения (15.9) окончательно имеет вид

Из (15.11) и (15.12) следует, что решения дифференциальных уравнений в обоих случаях включает три слагаемых.

Первые слагаемые в полученных решениях соответствуют свободным колебаниям с собственной частотой . Как было показано ранее, с учетом сил сопротивления такие колебания достаточно быстро затухают.

Вторые слагаемые в решениях (15.11), (15.12) описывают гармонические колебания, происходящие с собственной частотой , но с амплитудой колебаний, зависящей от параметров динамической нагрузки. Эти колебания также относятся к свободным колебаниям, но они возникают только при действии динамической нагрузки. Поэтому эти колебания на-

зываются сопровождающими свободными колебаниями. С учетом сил сопротивления, как и в случае обычных свободных колебаний, такие колебания также достаточно быстро затухают.

Третьи слагаемые в решениях (15.11), (15.12) представляют чистые вынужденные колебания системы, происходящие по гармоническому закону с круговой частотой, равной круговой частоте изменения динамической нагрузки и амплитудой, зависящей от параметров динамической нагрузки.

Следовательно, вынужденные колебания конструкции как системы с одной степенью свободы при действии гармонической нагрузки представляют линейное наложение трех гармонических колебаний: свободных, сопровождающих свободных и чистых вынужденных.

34

При рассмотрении вынужденных колебаний различают переходный процесс и установившийся процесс таких колебаний. Переходный про-

цесс вынужденных колебаний описывается всеми тремя слагаемыми в решениях (15.11), (15.12), и он происходит при пуске оборудования, порождающего динамическую нагрузку. Для описания установившегося процесса вынужденных колебаний достаточно учета только третьего слагаемого в решениях (15.11), (15.12), и он соответствует рабочему режиму работы оборудования.

15.4.3. Анализ установившегося процесса вынужденных колебаний

Установившийся процесс вынужденных колебаний описывается выражением

если силы сопротивления колебаниям не учитываются. В случае учета сил сопротивления выражение принимает вид

Из (15.13) и (15.14) следует, что такие колебания, независимо от учета сил сопротивления, являются незатухающими гармоническими колебаниями. В обоих случаях такие колебания происходят с круговой частотой, равной круговой частоте динамической нагрузки. Однако в случае учета сил сопротивления происходит некоторое запаздывание перемещений колеблющейся системы по отношению к динамической нагрузке. Запаздывание перемещений по фазе характеризуется величиной ψ.

Входящие в (15.13), (15.14) сомножители гармонического закона колебаний характеризуют амплитуду вынужденных колебаний. С учетом со-

отношений h MH и 2 Mc получим следующие выражения для ампли-

туд колебаний:

– без учета сил сопротивления

35

– с учетом сил сопротивления

Первые сомножители в (15.15), (15.16) представляют собой перемещение, которое вызывает в системе амплитуда динамической нагрузки, если она приложена статически:

aст Hc .

Тогда вторые сомножители в этих выражениях учитывают влияние динамического действия нагрузки на величину амплитуды вынужденных колебаний.

называется коэффициентом динамичности. Из (15.15), (15.16) следует,

что в случае неучета сил сопротивления он вычисляется по формуле

а в случае учета сил сопротивления формула для его вычисления имеет вид

Из формул (15.17), (15.18) видно, что величина коэффициента дина-

мичности зависит от отношения . Графики, описывающие изменение ко-

эффициента динамичности, представлены на рис. 15.12. Графики, показанные пунктирными линиями, соответствуют изменениям коэффициента динамичности без учета сил сопротивления, а графики, показанные сплошными линиями, соответствуют изменениям коэффициента динамичности с учетом сил сопротивления при различных значениях коэффициента вязкости системы λ.

Из приведенных графиков вытекают следующие выводы.

36

Во-первых, если круговая частота изменения динамической нагрузки мала по сравнению с собственной частотой свободных колебаний системы, то коэффициент динамичности близок к единице. Амплитуда вынужденных колебаний в этом случае мало отличается от статического перемеще-

ния aст. Учет сил сопротивления при отношениях 0,8 практически не влияет на величину коэффициента динамичности.

Рис. 15.12

Во-вторых, в случае когда отношение приближается к единице,

то коэффициент динамичности и амплитуда вынужденных колебаний быстро возрастают. Наиболее заметные изменения этих величин соответст-

бесконечность (в случае неучета сил сопротивления) или принимают большие, но конечные значения (в случае учета сил сопротивления). Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при совпадении круговой частоты динамической нагрузки с собственной частотой свободных колебаний системы носит название резонанса. Учет сил сопротивления существенно влияет на величину коэффициента динамичности.

В-третьих, в случае когда частота изменения динамической нагрузки становится большей, чем собственная частота свободных колебаний

системы и удовлетворяет отношению 1,2, коэффициент динамичности

принимает значения меньше единицы. Учет сил сопротивления в этом случае практически не влияет на величину коэффициента динамичности.

37

Амплитуда вынужденных колебаний в этом случае становится

меньше статического перемещения aст. С возрастанием отношения

значения амплитуды вынужденных колебаний уменьшаются и в пределе стремятся к нулю.

Таким образом, вынужденные колебания системы в области отноше-

ний 0,8 1,2 являются нежелательными. При определении амплитуд

вынужденных колебаний в областях отношений 0,8 и 1,2 силы сопротивления можно не учитывать.

15.5. Колебания системы с одной степенью свободы, вызванные смещением опоры

Рассмотрим систему с одной степенью свободы (рис. 15.13), опора которой совершает гармонические колебания

38

My Mg R .

Исключая в правой части уравнения вес массы и статическую часть реакции и перенося в левую часть все слагаемые, связанные с динамическим перемещением, получим дифференциальное уравнение

где H ca .

Величина H представляет собой амплитуду эквивалентной динамической нагрузки, порождающей те же колебания системы, что и заданные колебания опоры. Таким образом, колебания системы с одной степенью свободы, вызванные гармоническими колебаниями ее опоры, эквивалентны вынужденным колебаниям этой системы при действии неподвижной периодической нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Поэтому дальнейшее решение уравнения (15.21) аналогично решению уравнения (15.9).

15.6. Резюме

При выполнении проверочных динамических расчетов любая строительная конструкция может рассматриваться как система с одной степенью свободы. Динамическая расчетная схема конструкции характеризуется двумя параметрами: величиной эквивалентной массы и коэффициентом жесткости конструкции в месте расположения эквивалентной массы.

Свободные колебания конструкции как системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления являются гармоническими колебаниями, и основными числовыми характеристиками таких колебаний являются собственная частота, период и амплитуда.

Свободные колебания конструкции как системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления являются затухающими колебаниями. Учет сил сопротивления оказывает существенное влияние на амплитуду колебаний и практически не влияет на собственную частоту и период колебаний.

Вынужденные колебания конструкции как системы с одной степенью свободы при действии гармонической нагрузки представляют линейное наложение трех гармонических колебаний: свободных, сопровождающих свободных и чистых вынужденных. При рассмотрении вынужденных колебаний различают переходный процесс и установившийся процесс таких колебаний.

Установившийся процесс вынужденных колебаний конструкции независимо от учета сил сопротивления является незатухающими гармониче-

39

скими колебаниями. В обоих случаях такие колебания происходят с круговой частотой, равной круговой частоте динамической нагрузки.

Колебания системы с одной степенью свободы, вызванные гармоническими колебаниями ее опоры, эквивалентны вынужденным колебаниям этой системы при действии неподвижной периодической нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону.

15.7. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

–строительные конструкции как система с 1-й степенью свободы;

–динамические расчетные схемы строительных конструкций и их параметры;

–уравнение колебаний при линейных перемещениях;

–уравнения колебаний при угловых перемещениях;

–коэффициент вязкости системы;

–уравнение свободных колебаний;

–начальные условия задачи;

–логарифмический декремент колебаний;

–числовые характеристики свободных колебаний;

–уравнение вынужденных колебаний;

–сопровождающие свободные колебания;

–установившийся процесс вынужденных колебаний;

–числовые характеристики установившегося процесса;

–переходный процесс вынужденных колебаний;

–коэффициент динамичности;

–резонанс системы;

–уравнение колебаний при смещении опор.

Проверьте, как Вы умеете:

–образовывать динамическую расчетную схему;

–определять числовые характеристики свободных колебаний;

–определять числовые характеристики вынужденных колебаний. Проверьте, сможете ли Вы вывести и решить:

–уравнение свободных колебаний без учета сил сопротивления;

–уравнение свободных колебаний с учетом сил сопротивления;

–уравнение вынужденных колебаний без учета сил сопротивления;

–уравнение вынужденных колебаний с учетом сил сопротивления;

–уравнение колебаний, вызванных смещением опоры.

40