Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 3. Основы динамики и устойчивости сооружений, Новополоцк ПГУ 2010

или (16.13)

Так как коэффициенты амплитудных уравнений (16.10), (16.13) зависят от круговой частоты свободных колебаний, а дифференциальные уравнения (16.8) и (16.12) равноправны, то при раскрытии определителя в обоих случаях получится уравнение следующего вида:

Уравнение (16.16) является алгебраическим уравнением n-ной степени относительно 2 и называется характеристическим или частотным уравнением задачи о свободных колебаниях системы с конечным числом степеней свободы. Еще одно его название – вековое уравнение – связано с тем, что в астрономии оно используется для определения периодов отклонения в движении планет, которые исчисляются веками.

Доказано, что если положение системы, от которого отсчитываются перемещения, возникающие при колебаниях, является положением устойчивого равновесия, то все корни уравнения (16.16) являются действительными и положительными

i2 0, i 1,...,n .

Таким образом, система с n степенями свободы имеет n круговых частот свободных колебаний i , которые называются собственными частотами.

Собственные частоты, расположенные в порядке возрастания, обра-

зуют спектр собственных частот свободных колебаний системы

(16.17)

Каждая система с конечным числом степеней свободы имеет свой спектр собственных частот. Спектр собственных частот является важной динамической характеристикой строительных конструкций.

16.2.4. Собственные формы свободных колебаний

Каждой собственной частоте соответствует определенное очертание формы колебаний системы. Такое очертание характеризуется амплитудными смещениями масс системы. Для их определения найденные собственные частоты i в зависимости от выбранной формы дифференциальных уравнений

колебаний подставляются вамплитудные уравнения (16.10)или(16.13). Покажем определение величин, описывающих очертание формы ко-

леблющейся системы для амплитудных уравнений в прямой форме. После подстановки i уравнения (16.10) принимают вид

51

Индекс i у амплитуд подчеркивает тот факт, что колебания происходят с определенной собственной частотой i i 1,...,n .

Система уравнений (16.18) является вырожденной системой уравнений, так как при любом i определитель матрицы ее коэффициентов тождественно равняется нулю, а ранг матрицы равняется n 1 при условии, что все собственные частоты различны. В задачах, связанных с колебаниями реальных строительных конструкций, это условие практически всегда выполняется.

Поэтому для решения системы (16.18) необходимо осуществить следующее. Отбросить одно уравнение как зависимое от остальных, например, последнее, и положить первую амплитуду равной единице

a1i 1.

После этого (16.18) превращается в систему уравнений относительно оставшихся n 1 амплитуд

r12a2i ... r1n 1 n 1i r1n ni r11 m1 i2 ;

.......................................................................

rn 12a2i ... rn 1n 1 In 1 i2 n 1i rn 1n ni rn 11.

Полученная система является системой неоднородных линейных алгебраических уравнений и имеет определенное и единственное решение относительно a2,..., n . Найденные величины характеризуют собой не аб-

солютные значения оставшихся амплитуд перемещений колеблющейся системы, а только их относительные значения в долях от первой амплитуды a1i 1.

Таким образом, каждой собственной частоте i соответствует набор соотношений амплитуд

a1i , a2i ,..., ni .

Такой набор величин характеризует очертание формы колебаний конструкции, когда они происходят с определенной собственной частотой, и на-

зывается собственной формой свободных колебаний системы с конеч-

52

ным числом степеней свободы. При решении задачи в матричной форме собственная форма описывается вектором

a1i q0i a2i .

ni

Система с n степенями свободы имеет n собственных форм, которые образуют ее спектр собственных форм. Такой спектр является другой важной динамической характеристикой строительных конструкций и вместе со спектром собственных частот, образно говоря, характеризует динамический портрет каждой из них.

16.2.5. Свойства собственных форм

Собственные формы свободных колебаний системы обладают рядом свойств, знание которых позволяет контролировать правильность их получения.

Первое свойство собственных форм свободных колебаний харак-

теризует независимость собственных форм от начальных условий задачи. Доказательство этого свойства непосредственно вытекает из независимости коэффициентов системы уравнений (16.18) от этих условий задачи. Поэтому решения системы (16.18), описывающие очертание формы колебаний материальной системы, могут быть изменены только в результате изменения параметров системы: изменений масс или жесткостей отдельных ее частей и их распределения в системе. Поэтому такие решения и называются собственными формами колебаний.

Второе свойство собственных форм свободных колебаний описы-

вается теоремой об ортогональности собственных форм. Согласно этой теореме скалярное произведение двух векторов, описывающих различные собственные формы свободных колебаний, равняется нулю.

Для ее доказательства рассмотрим свободные колебания одной и той же системы с конечным числом степеней свободы, происходящие с различными собственными частотами k (рис. 16.6, а) и j (рис. 16.6, б).

Тогда перемещения масс колеблющейся системы имеют вид:в первом случае

53

В соответствии с методом кинетостатики рассмотрим упругий скелет системы под действием сил инерции, возникающих при колебаниях системы в одном и во втором случаях (рис. 16.7).

В результате получили два деформированных состояния системы – k-тое состояние (рис. 16.7, а) и j-тое состояние (рис. 16.7, б).

Применим к полученным состояниям теорему Бетти о взаимности работ при двух нагружениях упругой системы. В соответствии с этой теоремой возможная работа сил инерции k-того состояния на перемещениях, вызванных силами инерции j-того состояния, равняется возможной работе сил инерции j-того состояния на перемещениях, вызванных силами инерции k-того состояния:

Подставляя в (16.21) выражение для сил инерции (16.5) и учитывая

(16.19) и (16.20), получим

i1

В(16.22), ввиду различия собственных частот k и j , выражение в скоб-

ках не может равняться нулю, и поэтому справедливо соотношение

i 1

Полученное соотношение (16.23) и является математическим условием ортогональности двух векторов, описывающих k-тую и j-тую собственные формы.

54

Третье свойство собственных форм свободных колебаний описы-

вается теоремой об узлах собственных форм. Рассмотрим суть теоремы без доказательства.

Из условия ортогональности (16.23) следует, что амплитуды двух различных форм колебаний не могут быть все одного и того же знака. Если, например, амплитуды первой собственной формы положительны, то амплитуды остальных форм для выполнения условия (16.23) должны иметь, по крайней мере, по одной перемене знака каждая. Каждая такая перемена знака называется узлом собственной формы. Закономерности в распределении числа узлов и устанавливается теоремой об узлах собственных форм. Согласно теореме число узлов собственной формы равняется ее номеру минус единица.

Суть теоремы проиллюстрирована на примере очертания собственных форм системы с тремя степенями свободы (рис. 16.8).

1-я форма

2-я форма

3-я форма

Рис. 16.8

16.2.6. Энергетический способ определения собственных частот

При выполнении проверочных динамических расчетов строительных конструкций как систем с конечным числом степеней свободы в ряде случаев бывает достаточным знания приближенного значения низшей собственной частоты. Для ее определения может применяться энергетический метод. Такой метод основан на использовании закона сохранения энергии упругой колеблющейся системы, согласно которому сумма ее потенциальной U и кинетической энергии T во времени не изменяется.

55

Рассмотрим систему с конечным числом степеней свободы, которая совершает свободные колебания с собственной частотой k (рис. 16.9).

Рис. 16.9

Перемещения масс колеблющейся системы в этом случае описываются выражениями

В процессе колебаний происходит переход энергии одного вида в другой. В момент наибольшего отклонения системы от положения статического равновесия ее потенциальная энергия достигает наибольшего значения Umax, а кинетическая энергия убывает до нуля. В момент прохождения системой положения статического равновесия потенциальная энергия убывает до нуля, а кинетическая энергия достигает наибольшего значения Tmax. Тогда из (16.24) следует, что

Кинетическая энергия колеблющейся системы с конечным числом степеней свободы в произвольный момент времени определяется по формуле

Тогда с учетом (16.25) нетрудно получить выражение для наибольшего значения кинетической энергии

Подставим (16.27) в (16.26) и получим следующую формулу для вычисления произвольной собственной частоты k :

56

Однако, так как в формулу (16.28) входят амплитуды колебаний aik , которые описывают соответствующую собственную форму колебаний, то для того, чтобы этой формулой можно было пользоваться, надо приближенно задаваться соответствующей собственной формой свободных колебаний.

Наиболее просто это делать для первой собственной частоты. Для этого нужно систему с конечным числом степеней свободы статически загрузить силами

Qi mi g i 1,...,n

по направлению перемещений масс. Затем вычислить возникающие в системе перемещения i по формуле Максвелла – Мора и считать их равны-

В этом случае входящая в (16.26) потенциальная энергия Umax может быть вычислена как сумма работ внешних сил на перемещениях i

Тогда с учетом (16.29) и (16.30) формула (16.28) принимает вид

16.3. Вынужденные колебания систем с конечным числом степеней свободы

Пусть дана система с конечным числом степеней свободы, которая под действием приложенной к одной из масс возмущающей силы, изменяющейся по гармоническому закону Hi t Hi sin t , совершает вынуж-

денные колебания (рис. 16.10).

Рис. 16.10

57

Будем рассматривать установившийся процесс вынужденных колебаний без учета сил сопротивления.

16.3.1. Прямая форма дифференциальных уравнений

В случае решения задачи прямым способом вынужденные колебания, согласно (16.3), описываются системой дифференциальных уравнений следующего вида:

m1y1 r11y1 ... r1n y R1Hi t ;

................................................. (16.31)

mn y j rn1y1 ... rnn y RnHi t .

Свободные члены, входящие в (16.31), при действии динамической нагрузки Hi t Hi sin t изменяются по гармоническому закону

вектор реакций, порождаемых действием динамической нагрузки. Остальные матричные объекты, входящие в (16.33), были описаны выше при рассмотрении свободных колебаний системы.

Решения дифференциальных уравнений (16.31) при рассмотрении установившегося процесса вынужденных колебаний имеют вид

y j a j sin t (16.34)j 1,...,n .

Здесь a j – амплитуды вынужденных колебаний системы; – круговая

частота вынужденных колебаний системы.

Подставляя (16.32), (16.34) в (16.31), получим систему уравнений относительно неизвестных амплитуд

58

r11 m1 2 a1 ... r1nan R1Hi ;

.................................................. (16.35)

rn1a1 ... rnn mn 2 an RnHi .

Система уравнений (16.35) называется системой амплитудных уравнений установившегося процесса вынужденных колебаний в прямой форме. Матричная запись этих уравнений имеет вид

r 2 a q0 RHi ,

где

a1 q0 –an

вектор амплитуд вынужденных колебаний системы;

R1Hi RHi –RnHi

вектор реакций, порождаемых действием амплитуды динамической нагрузки.

16.3.2. Обратная форма дифференциальных уравнений

В случае решения задачи о вынужденных колебаниях обратным способом дифференциальные уравнения (16.6) примут вид

11m1y1 ... 1nmn yn y1 1Hi t ;

....................................................... (16.36)

n1m1y1 ... nnmn yn yn nHi t .

Свободные члены, входящие в (16.36), при действии динамической нагрузки Hi t Hi sin t изменяются по гармоническому закону

jHi t j sin t (16.37)j 1,...,n .

Матричная запись уравнений (16.36) имеет вид

59

где

вектор перемещений, порождаемых действием динамической нагрузки. Остальные матричные объекты, входящие в (16.38), были описаны выше.

Решения дифференциальных уравнений (16.36) при рассмотрении установившегося процесса вынужденных колебаний, как и в случае прямой формы дифференциальных уравнений, имеют вид (16.34).

Подставляя (16.34), (16.37) в (16.36), получим систему уравнений относительно неизвестных амплитуд

11m1 2 1 a1 ... 1nmn 2an 1Hi ;

.................................................. (16.39)

n1m1 2a1 ... nnmn 2 1 an nHi .

Система уравнений (16.39) называется системой амплитудных уравнений установившегося процесса вынужденных колебаний в обратной форме. Матричная запись этих уравнений имеет вид

вектор перемещений, порождаемых действием амплитуды динамической нагрузки.

16.3.3. Анализ решений амплитудных уравнений

Полученные выше амплитудные уравнения как в прямой, так и в обратной форме, представляют собой систему линейных неоднородных алгебраических уравнений. Поэтому решение для обеих форм амплитудных уравнений в соответствии с формулами Крамера имеет вид

Здесь – определитель системы амплитудных уравнений вынужденных колебаний (16.35) или (16.39), а i – определители, получающиеся из опре-

60