Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 3. Основы динамики и устойчивости сооружений, Новополоцк ПГУ 2010

Подставляем (17.9) в (17.5) и получим

Так как обе части равенства (17.10) представляют собой две не зависящие друг от друга функции, то равенство между ними возможно, когда они постоянные.

Положим

1 d 2T 2 ,

T dt2

тогда

EIz 1 d 4 X 2 . m X dx4

Из полученных соотношений следует, что решение дифференциального уравнения с частными производными (17.5) заменяется решением двух обыкновенных дифференциальных уравнений

где k – частотный коэффициент или характеристическое число. Уравнение вида (17.11) встречалось ранее при решении задачи о сво-

бодных колебаниях системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления, и его решение имеет вид

где C и – произвольные постоянные, определяемые начальными условиями задачи. Из (17.13) следует, что балка совершает гармоническое колебание.

Общим решением уравнения (17.12) является функция

должны быть подобраны так, чтобы функция (17.14) удовлетворяла граничным условиям задачи, т.е. условиям закрепления балки.

Для рассмотренных выше стандартных закреплений концов балки число граничных условий равно числу произвольных постоянных. Выполняя эти условия, получим четыре линейных однородных алгебраических

71

уравнения относительно произвольных постоянных, решая которые можно получить характеристическое или частотное уравнение для определения частотного коэффициента k и найти соотношения постоянных C1, C2, C3, C4 . Имея корни частного уравнения, находятся собственные частоты свободных колебаний балки и строится их спектр. Используя соотношения для произвольных постоянных (17.14), получаются собственные формы свободных колебаний балки.

Более удобный способ получения спектров собственных частот и собственных форм основан на представлении общего решения (17.12) с помощью функций Крылова. Эти функции, предложенные академиком А.Н. Крыловым, являются линейными комбинациями базовых частных решений:

Тогда, с использованием (17.15), решение уравнения (17.12) принимает вид

Здесь A, B, C, D – новые произвольные постоянные, связанные со старыми постоянными C1, C2, C3, C4 соотношениями, подобными (17.15).

Преимуществом функций Крылова является то обстоятельство, что с их помощью можно легко получить общее решение уравнения (17.12), удовлетворяющее граничным условиям на конце балки x=0 и поэтому содержащее только две произвольные постоянные. Для их определения используются граничные условия на другом конце балки x=l.

Для использования функций Крылова при решении задач запишем выражения производных по x от этих функций до четвертого порядка включительно (табл. 17.1).

72

Кроме того, найдем значения функций Крылова и их производных по аргументу kx до третьего порядка включительно при x=0:

Так как определитель, составленный из этих величин, равен единице, то функции Крылова называются функциями с единичной матрицей, образующими фундаментальную систему частных решений (17.12).

Преимущества и особенности использования функций Крылова покажем на примере решения задачи о свободных колебаниях балки с шарнирным закреплением концов (рис. 17.3).

Рис. 17.3

Граничные условия задачи при x=0, в соответствии с условиями закрепления на левом конце, имеют вид

Отсюда следует, что решение (17.16) должно на левом конце балки удовлетворять условиям

Поэтому решение (17.16) может содержать только те функции Крылова, которые для x=0 обращаются в нуль вместе со своими вторыми производными. Как видно из (17.17), такими функциями являются T kx и V kx . Следовательно, для рассматриваемой балки общее решение принимает вид

Для отыскания произвольных постоянных B и D используются граничные условия задачи при x=l, которые в соответствии с условиями закрепления на правом конце, имеют вид

73

Отсюда следует, что решение (17.18) должно на правом конце балки удовлетворять условиям

Так как второе условие (17.19) накладывает ограничение на вторую производную от (17.18), то найдем выражение для второй производной с помощью табл. 17.1.

Применяя (17.19) к (17.18) и (17.20), получим два линейных однородных алгебраических уравнения относительно произвольных постоянных B и D.

Свободным колебаниям балки соответствуют ненулевые значения произвольных постоянных B и D. Это возможно, когда выполняется условие

Подставляя в (17.22) соответствующие функции Крылова (17.15), получим частотное уравнение

sin kl 0 .

Решая его, находим величины частотных коэффициентов

Тогда собственные частоты свободных колебаний балки принимают значения

Для построения собственных форм подставим (17.23) в (17.21) и получим систему уравнений относительно произвольных постоянных Bn и Dn, соответствующих собственной форме произвольного номера n:

BnT knl DnV knl 0, BnV knl DnT knl 0.

Так как полученная система уравнений является вырожденной, то в результате ее решения будут найдены следующие относительные значения произвольных постоянных

Подставляя эти значения в (17.18) с учетом (17.15) получим, что собственные формы описываются выражением

74

Очертания трех первых собственных форм показаны на рис. 17.4.

1-я форма

2-я форма

3-я форма

Рис. 17.4

17.2. Колебания плоских рамных систем

Точное решение задачи о колебаниях реальных рамных систем основывается на их рассмотрении как упругих систем с распределенными параметрами. Будем считать, что каждый из рамных стержней имеет постоянное поперечное сечение и равномерно распределенную массу

При динамическом расчете рам, так же как и при статическом расчете, могут использоваться три метода – метод сил, метод перемещений и смешанный метод. Наиболее удобен для динамического расчета рам как систем с бесконечным числом степеней свободы метод перемещений.

17.2.1. Свободные колебания

Рассмотрим некоторую статически неопределимую раму, которая совершает свободные колебания (рис. 17.5).

Свободные колебания будем рассматривать без учета сил сопротивления и инерции вращения поперечных сечений. Перемещения узлов рамы изменяются по гармоническому закону

Zi t Zi sin t i 1,...,n ,

где Zi – амплитуды узловых перемещений рамы, – круговая частота свободных колебаний рамы.

75

Рис. 17.5

Задачу о свободных колебаниях рамы будем решать методом перемещений. Основная система образуется наложением дополнительных связей, препятствующих угловым и линейным смещениям узлов рамы. Основными неизвестными являются амплитуды узловых перемещений рамы Z1,...,Zn . Для их определения составляются канонические уравнения, выражающие равенство нулю реакций в наложенных связях.

При решении задачи о свободных колебаниях рам система канонических уравнений метода перемещений становится однородной и имеет вид

r11Z1 ... r1nZn 0;

............................. (17.24)

rn1Z1 ... rnnZn 0.

Поскольку основная система представляет собой совокупность статически неопределимых балок с различными закреплениями концов, то для определения коэффициентов канонических уравнений, которые являются единичными реакциями в наложенных связях, используются табличные значения реакций, возникающие в этих балках при действии единичных вибрационных перемещений 1 sin t , изменяющихся по гармоническому закону. Поэтому в системе уравнений (17.24) коэффициенты зависят от частоты

rik rik ,

и при ее решении возможны два случая.

Первый случай соответствует нулевому или тривиальному решению системы уравнений. В этом случае корни системы равны между собой и тождественно равны нулю.

Z1 ... Zn 0 .

76

Так как в нашем случае корнями уравнений являются амплитуды узловых перемещений рамы, то физически это означает, что рама находится в состоянии покоя.

Второй случай соответствует ненулевым или нетривиальным решениям системы уравнений. В этом случае корни системы разные и отличны от нуля.

Z1 0,...,Zn 0.

Физически это соответствует свободным колебаниям рамы. Математическим признаком существования таких решений является равенство нулю определителя системы (17.24)

После развертывания определителя получают частотное уравнение, левая часть которого в общем случае представляет собой некоторое сложное трансцендентное выражение . Для решения полученного нели-

нейного уравнения

0

обычно используют численные методы. Корнями этого уравнения являются собственные частоты свободных колебаний рамы, которые образуют ее спектр

1 2 ... n...

Для нахождения собственных форм свободных колебаний рамы полученные собственные частоты i i 1,...,n подставляются в уравнения (17.24) и, полагая Z1i 1, находят относительные значения остальных амплитуд узловых перемещений рамыZ2i ,...,Zni . Полученный набор величин характеризует очертание собственной формы свободных колебаний рамы, когда они происходят определенной собственной частотой i .

17.2.2. Вынужденные колебания

Рассмотрим некоторую статически неопределимую раму, которая под действием приложенной к ней динамической нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону H t H sin t , совершает вынужденные колебания (рис. 17.6).

77

Рис. 17.6

Будем рассматривать установившийся процесс вынужденных колебаний без учета сил сопротивления.

При рассмотрении задачи о вынужденных колебаниях рам система канонических уравнений метода перемещений становится неоднородной и имеет вид

r11Z1 ... r1nZn R1H 0;

........................................ (17.25)

rn1Z1 ... rnnZn RnH 0.

Решение системы уравнений (17.25) позволяет найти амплитуды динамических узловых перемещений рамы Z1,...,Zn .

Входящие в (17.25) коэффициенты rik являются амплитудными зна-

чениями реакций в наложенных связях от единичных вибрационных смещений 1 sin t , прикладываемых последовательно по направлению узловых рамных перемещений. Свободные члены RiH являются амплитудными значениями реакций в наложенных связях от динамической нагрузки. При определении и тех и других величин учитывается влияние сил инерции распределенных масс стержней рамы. Делается это с помощью специальных функций, вносящих поправки в численные значения коэффициентов и свободных членов, используемых в статических расчетах рам методом перемещений.

Для определения амплитуд динамических изгибающих моментов и поперечных сил в соответствии с принципом суперпозиции можно записать следующие формулы:

M m1Z1 ... mn Zn M H

78

и

Q q1Z1 ... qnZn QH .

Определение амплитуд продольных сил осуществляется из условий равновесия узлов рамы.

17.3. Приближенные методы вычисления собственных частот

Необходимость приближенного определения собственных частот для систем с бесконечным числом степеней свободы возникает в связи с трудностями или практической невозможностью точного определения частот. Например, определение собственных частот для стержневой системы с переменной жесткостью и массой по длинам ее элементов.

К числу наиболее простых приближенных методов относится метод, основанный на замене распределенной массы стержневой системы некоторым количеством сосредоточенных масс. В результате такой замены осуществляется переход к некоторой системе с конечным числом степеней свободы. Для этого каждый элемент стержневой системы разбивается на некоторое число участков, и распределенная масса каждого участка заменяется точечной, равной суммарной массе участка и сосредоточенной в его центре. Чем больше число участков разбиения, тем ближе собственные частоты дискретной системы к решению задачи для системы с бесконечным числом степеней свободы.

Ряд приближенных методов основан на приближенном задании очертания формы колеблющейся системы. В их числе, прежде всего, следует назвать метод Рэлея. Рассмотрим суть метода на примере рассмотрения колебаний однопролетных балок.

Метод Рэлея основывается на законе сохранения механической энергии колеблющейся упругой системы. В соответствии с ним максимальная потенциальная энергия Umax , которой обладает система в крайнем отклоненном положении, полностью переходит в кинетическую энергию Tmax

Для балок с распределенной массой кинетическая энергия определяется выражением

79

Здесь – собственная частота; m – масса на единицу длины балки; X – амплитудная функция, которая описывает форму колебаний. Потенциальная энергия балки при поперечном изгибе определяется выражением

Подставляя (17.27), (17.28) в (17.26), получим формулу для определения собственной частоты свободных колебаний балки

Для вычисления собственных частот по формуле (17.29) необходимо приближенно задаваться функцией X, удовлетворяющей геометрическим граничным условиям задачи. Метод Рэлея применяется, как правило, для вычисления низшей собственной частоты.

17.4. Резюме

Для точного решения задачи о колебаниях реальных стержневых систем их необходимо рассматривать как системы с распределенными инерционными и жесткостными параметрами.

Свободные колебания балок с учетом распределенной массы описываются линейным однородным дифференциальным уравнением четвертого порядка в частных производных с постоянными коэффициентами гиперболического типа. Его решение ищется методом разделения переменных, которое должно удовлетворять начальным и граничным условиям задачи.

Начальные условия задачи характеризуют начальное распределение по оси балки прогибов и скоростей отдельных ее элементов. Граничные условия задачи характеризуют ограничения, накладываемые на искомое решение условиями закрепления балки.

Для динамического расчета рамных систем как систем с бесконечным числом степеней свободы наиболее удобен метод перемещений.

В случае практической невозможности точного определения собственных частот при сложных конструктивных схемах сооружений используются приближенные методы их определения. К числу наиболее простых приближенных методов относится метод, основанный на замене распределенной массы стержневой системы некоторым количеством сосредоточенных масс, позволяющий осуществить переход к некоторой системе с конечным числом степеней свободы.

80