Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 3. Основы динамики и устойчивости сооружений, Новополоцк ПГУ 2010

М-16. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

16.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

знакомство с динамическими расчетными схемами строительных конструкций как систем с конечным числом степеней свободы;

получение дифференциальных уравнений свободных и вынужденных колебаний системы с конечным числом степеней свободы;

рассмотрение способов определения числовых характеристик свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы;

рассмотрение способов определения числовых характеристик установившегося процесса вынужденных колебаний системы с конечным числом степеней свободы.

Структураизучаемогомодуля включаетследующие учебныеэлементы: 1. Дифференциальные уравнения колебаний систем с конечным чис-

лом степеней свободы.

2. Свободные колебания систем с конечным числом степеней свободы. 3. Вынужденныеколебаниясистемсконечнымчисломстепенейсвободы. При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-

дующей литературы: [1,c. 70 – 85, 104 – 112]; [4, c. 478 – 481]; [5, c. 51 – 75].

16.1.Дифференциальные уравнения колебаний систем

сконечным числом степеней свободы

16.1.1.Строительныеконструкциикаксистемыс конечным числом степеней свободы

Конструкция считается системой с конечным числом степеней свободы, если положения всех масс конструкции при колебаниях однозначно описываются некоторым определенным количеством независимых геометрических параметров.

41

Однако реальные конструкции зданий и сооружений обладают собственной распределенной массой и, кроме того, могут иметь некоторое число присоединенных масс, связанных с размещенным на них оборудованием. Поэтому с учетом собственной массы такие конструкции всегда являются системами с бесконечным числом степеней свободы.

С целью упрощения в приближенных динамических расчетах реальные конструкции часто заменяются системами с конечным числом степеней свободы. Кроме того, при динамическом расчете сложных конструкций такой подход может оказаться и единственно практически возможным. Замена реальных конструкций системами с конечным числом степеней свободы может осуществляться в следующих случаях.

Если присоединенные массы значительно превышают собственную массу конструкции, то ею пренебрегают, и конструкция рассматривается как система с конечным числом степеней свободы. Примерами таких конструкций служат балки перекрытий и покрытий с установленными на них мощными вентиляторами или другим оборудованием, собственный вес которых во много раз меньше веса установленного оборудования.

Если собственной массой конструкции пренебрегать нельзя, то для ее учета непрерывное распределение массы заменяют дискретным точечным распределением масс, и конструкция рассматривается как система с конечным числом степеней свободы. Примерами таких конструкций могут служить тяжелые фермы больших пролетов, масса которых сосредотачивается в узлах.

Таким образом, в обоих случаях строительные конструкции как системы с конечным числом степеней свободы состоят из упругого безмассового скелета конструкции и присоединенных к нему дискретных масс. Расчетные схемы отдельных строительных конструкций как систем с конечным числом степеней свободы показаны на рис. 16.1.

Рис. 16.1

42

16.1.2. Способы составления дифференциальных уравнений колебаний систем с конечным числом степеней свободы

Пусть имеется некоторая конструкция, которая считается линейнодеформируемой системой. Под действием приложенной к ней неподвижной периодической нагрузки H t она совершает колебания, которые рассматриваются без учета сил сопротивления. Конструкция рассматривается как система с конечным числом степеней свободы (рис. 16.2).

Рис. 16.2

Ранее сделанный анализ колебаний системы с одной степенью свободы показал, что если на несвободную материальную точку действуют постоянные силы, то они уравновешиваются соответствующими статическими реакциями связей и из уравнений движения выпадают. Поэтому динамические перемещения масс y j t при колебаниях системы с конечным

числом степеней свободы также определяются относительно ее положения равновесия.

Для получения дифференциальных уравнений колебаний используются три способа – основной, прямой и обратный.

Основной способ получения дифференциальных уравнений ко-

лебаний основан на использовании уравнений Лагранжа второго рода. Для составления таких уравнений необходимо иметь выражения кинетической и потенциальной энергии системы. При динамических расчетах строительных конструкций данный способ, как правило, не используется.

Прямой способ получения дифференциальных уравнений коле-

баний основан на использовании дифференциального уравнения движения материальной точки. С этой целью каждая присоединенная масса мысленно отделяется от ее каркаса и рассматривается как свободная материальная точка, на которую действует реакция конструкции. Тогда колебания конструкции описываются системой дифференциальных уравнений движения

43

Входящие в правые части уравнений (16.1) реакции конструкции зависят от перемещений колеблющихся масс и действующей динамической нагрузки.

Для определения реакций обычно используется основная система метода перемещений, которая в нашем случае имеет вид (рис. 16.3).

Рис. 16.3

В этом случае определение реальной реакции, действующей на произвольную массу со стороны конструкции, заменяется определением реакции, действующей на массу со стороны фиктивной наложенной связи. Эти реакции равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому искомая реакцияопределяется выражением

j 1,...,n .

Сучетом (16.2), дифференциальные уравнения (16.1) принимают вид

Уравнения (16.3) описывают колебания конструкции как системы с конечным числом степеней свободы и получены прямым способом. Поэтому та-

кая форма уравнений называется прямой формой дифференциальных уравнений колебаний конструкции.

Обратный способ получения дифференциальных уравнений ко-

лебаний конструкции как системы с конечным числом степеней свободы основан на использовании принципа Даламбера и связанного с ним метода кинетостатики. Согласно этому методу задача динамики несвободной системы материальных точек может быть сведена к задаче статики, если к

44

точкам несвободной системы наряду с заданными силами приложить силы инерции.

Поэтому суть обратного способа состоит в отделении всех масс конструкции от ее упругого скелета и рассмотрении его деформации под действием заданной динамической нагрузки и сил инерции отделенных масс

(рис. 16.4).

Рис. 16.4

Образованная таким образом система часто называется основной системой обратного способа.

Перемещения, возникающие в основной системе, равняются перемещениям масс и в соответствии с принципом независимости действия сил определяются соотношениями

Знак минус учитывает, что силы инерции всегда направлены в сторону, противоположную движению.

С учетом (16.5) соотношения (16.4) принимают вид уравнений

Уравнения (16.6) описывают колебания конструкции как системы с конечным числом степеней свободы и получены обратным способом. Поэтому такая форма уравнений называется обратной формой дифференци-

альных уравнений колебаний конструкции.

45

16.2. Свободные колебания систем с конечным числом степеней свободы

Рассмотрим систему с конечным числом степеней свободы, которая совершает свободные колебания. Свободные колебания будем рассматривать без учета сил сопротивления. Для обобщения постановки задачи будем считать, что часть дискретных масс имеет конечные размеры

(рис. 16.5).

Рис. 16.5

В этом случае положения масс при колебаниях конструкции будут описываться как линейными, так и угловыми перемещениями. Пусть общее число таких независимых перемещений равняется n, число линейных перемещений – m и число угловых перемещений – n - m. С целью упорядочения структуры этих перемещений на рис. 16.5 сначала пронумерованы линейные перемещения y1,..., ym , а затем – угловые перемещения

m 1,..., n .

Начальные условия задачи в этом случае характеризуются набором начальных смещений масс

y1 0 y01,..., ym 0 y0m

и

m 1 0 0m 1,..., n 0 0n ,

а также набором начальных скоростей этих смещений y1 0 y01,..., ym 0 y0m

и

m 1 0 0m 1,..., n 0 0n .

16.2.1. Прямая форма дифференциальных уравнений

Вслучае решения задачи о свободных колебаниях прямым способом

сучетом сделанного обобщения постановки задачи дифференциальные уравнения (16.3) примут вид

46

Полученная система уравнений состоит из двух взаимосвязанных подсистем.

Первая подсистема дифференциальных уравнений описывает линейные перемещения масс k 1,...,m , вторая – угловые перемещения массl m 1,...,n при свободных колебаниях конструкции. Входящие в правые

части уравнений (16.7) реакции конструкции зависят только от линейных и угловых перемещений колеблющихся масс.

Матричная запись дифференциальных уравнений (16.7) имеет вид

47

матрица жесткости конструкции.

По аналогии с задачей о свободных колебаниях системы с одной степенью свободы частные решения дифференциальных уравнений (16.7), (16.8) имеют вид

частота свободных колебаний системы.

Подставляя (16.9) в (16.7), получим систему уравнений относительно неизвестных амплитуд

r11 m1 2 a1 ... r1mam r1m 1 m 1 ... r1n n 0;

...............................................................................

Поэтому система уравнений (16.10) называется системой амплитудных уравнений в прямой форме. Матричная запись этих уравнений имеет вид

r 2 a q0 0 ,

где

48

16.2.2. Обратная форма дифференциальных уравнений

В случае решения задачи о свободных колебаниях обратным способом с учетом сделанного обобщения постановки задачи дифференциальные уравнения (16.6) примут вид

Полученная система уравнений также состоит из двух взаимосвязанных подсистем. Первая подсистема дифференциальных уравнений описывает линейные перемещения масс k 1,...,m , вторая – угловые перемещения масс l m 1,...,n при свободных колебаниях конструкции.

Матричная запись дифференциальных уравнений (16.11) имеет вид

матрица податливости конструкции. Остальные матричные объекты,

входящие в (16.12), были описаны выше.

Так как матрицы и r взаимообратные, то уравнение (16.12) путем умножения на матрицу r слева превращается в уравнение

(16.8). Отсюда следует, что прямая и обратная формы уравнений свободных колебаний абсолютно равноправны. При решении конкретных задач предпочтение должно быть отдано той форме, в которой уравнения имеют более простой вид и более просто вычисляются их коэффициенты.

Частные решения дифференциальных уравнений (16.11) также имеют вид (16.9). Поэтому после подстановки (16.9) в (16.11) снова получим амплитудные уравнения свободных колебаний, нов обратной форме:

49

11m1 2 1 a1 ... 1mmm 2am 1m 1Im 1 2 m 1 ... 1nIn 2 n 0;

...............................................................................

m1m1 2a1 ... mmmm 2 1 am mm 1Im 1 2 m 1 ... mnIn 2 n 0; (16.13)m 11m1 2a1 ... m 1mmm 2am m 1m 1Im 1 2 1 m 1 ... m 1nIn 2 n 0;

..................................................................................

n1m1 2a1 ... nmmm 2am nm 1Im 1 2 m 1 ... nnIn 2 1 n 0.

Матричная запись уравнений (16.13) имеет вид

a 2 E q0 0,

где

единичная матрица.

16.2.3. Собственные частоты свободных колебаний

Полученные выше амплитудные уравнения как в прямой, так и в обратной форме, представляют собой систему однородных линейных алгебраических уравнений. Известно, что при решении таких уравнений возможны два случая.

Первый случай соответствует нулевому или тривиальному решению системы уравнений. В этом случае корни системы равны между собой и тождественно равны нулю.

a1 ... n 0.

Так как в нашем случае корнями уравнений являются амплитуды колебаний, то физически это означает, что рассматриваемая система с конечным числом степеней свободы находится в состоянии покоя.

Второй случай соответствует ненулевым или нетривиальным решениям системы уравнений. В этомслучаекорни системыразныеиотличныотнуля.

a1 0,..., n 0 .

Физически это соответствует свободным колебаниям системы. Математическим признаком существования таких решений является равенство нулю определителя системы (16.10)

50