- •Физика сборник задач по механике
- •Введение
- •Количественное распределение задач по параграфам и по уровню сложности
- •01.01. Кинематика поступательного и вращательного движения формулы
- •01.01.01. Относительность движения. Сложение скоростей. Средняя скорость.
- •01.01.02. Равноускоренное движение. Движение в поле тяжести
- •01.01.03. Движение двух тел. Несколько последовательных этапов движения
- •01.01.04. Горизонтальный бросок. Бросок под углом
- •01.01.05. Вращательное движение. Криволинейное движение
- •01.02. Динамика поступательного движения формулы
- •01.02.01. Второй закон Ньютона
- •01.02.02. Коэффициент трения. Наклонная плоскость с трением
- •01.02.03. Динамика материальной точки, движущейся по окружности
- •01.03. Закон сохранения импульса тела. Столкновения частиц формулы
- •01.03.01. Импульс
- •01.03.02. Закон сохранения импульса
- •01.04. Закон сохранения энергии формулы
- •01.04.01. Работа и энергия
- •01.04.02. Мощность (постоянная, переменная, средняя)
- •01.04.03. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия
- •01.04.04. Закон сохранения энергии
- •01.04.05. Закон сохранения энергии. Закон сохранения импульса. Упругий, неупругий удары
- •01.05. Динамика вращательного движения формулы
- •01.05.01. Момент инерции
- •01.03.02. Основное уравнение динамики вращательного движения
- •01.05.03. Закон сохранения момента импульса
- •01.05.04. Работа и энергия
- •01.05.05. Центр масс
- •01.06. Силы в механике формулы
- •01.06.01. Силы тяготения. Гравитационное поле. Спутники
- •01.06.02. Силы упругости. Механическое напряжение
- •01.06.03. Работа упругой силы. Энергия деформированного тела
- •01.07. Релятивистская механика формулы
- •01.07.01. Релятивистское изменение длин и интервалов времени
- •01.07.02. Релятивистское сложение скоростей
- •01.07. 03. Релятивистская масса и релятивистский импульс
- •01.07.04. Взаимосвязь массы и энергии
- •01.07.05. Кинетическая энергия релятивистской частицы
- •01.07.06. Связь энергии релятивистской частицы с ее импульсом
- •01.08. Механические колебания формулы
- •01.08.01. Кинематика гармонических колебаний
- •01.08.02. Сложение колебаний
- •01.08.03. Динамика гармонических колебаний. Маятники
- •01.08.04. Затухающие колебания
- •01.08.05. Вынужденные колебания. Резонанс
- •01.09. Волны в упругой среде. Акустика формулы
- •01.09.01. Уравнение плоской волны
- •01.09.02. Скорость звука
- •01.09.03. Суперпозиция волн
- •01.09.04. Эффект Доплера
- •01.07.05. Энергия звуковых волн
- •Список используемой литературы
01.05. Динамика вращательного движения формулы
Равномерное движение по окружности:
; ; ;
; ; S = φR;
;
;
,
здесь ν – частота (количество оборотов за 1 секунду), N – количество оборотов, t – время вращения, T – период обращения (время одного полного оборота), υ – скорость движения по окружности, R – радиус окружности, ω – циклическая частота или угловая скорость вращения, φ – угол поворота, aτ – тангенциальное ускорение; aцс (an) – центростремительное ускорение или нормальное ускорение, ε – угловое ускорение.
Кинематическое уравнение равномерного вращения (ω = const):
,
Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε = const):
,
здесь φ0 – начальное угловое перемещение, ω0 – начальная угловая скорость.
Момент инерции относительно оси вращения материальной точки:
,
здесь m – масса материальной точки, r – расстояние от оси вращения до материальной точки;
Момент инерции относительно оси вращения системы материальных точек:
,
здесь mi – масса i-й элементарной точки, ri – расстояние от материальной точки до оси вращения;
Момент инерции относительно оси вращения твердого тела:
,
здесь ρ – плотность тела;
Момент инерции некоторых тел правильной геометрической формы:
Однородный тонкий стержень массой m и длиной ℓ, ось проходит перпендикулярно стержню через центр стержня, через его край, соответственно:
Тонкое кольцо, обруч, труба массой m и радиусом R, ось проходит перпендикулярно плоскости тела через центр:
,
Круглый однородный диск массой m и радиусом R, ось проходит перпендикулярно плоскости диска через центр:
,
Однородный шар массой m и радиусом R, ось проходит через центр шара:
,
Однородная сфера массой m и радиусом R, ось проходит через центр сферы:
;
Для плоских фигур:
,
здесь Iz – момент инерции плоской фигуры относительно оси Oz, перпендикулярной плоскости; Ix и Iy – момент инерции той же фигуры относительно осей Ox и Oy, лежащих в плоскости;
Теорема Штейнера:
,
здесь I – момент инерции тела относительно произвольной оси, I0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси, ℓ – расстояние между осями, m – масса тела;
Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения:
,
здесь r – радиусвектор, направленный от оси вращения к точке приложения силы F, ℓ – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, α – угол между радиусвектором и силой;
Момент импульса вращающегося тела относительно оси:
;
Закон сохранения момента импульса
;
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:
;
Работа момента силы, действующего на вращающееся тело:
,
здесь φ – угол поворота тела;
Кинетическая энергия вращающегося тела:
,
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости:
.
ЗАДАЧИ
01.05.01. Момент инерции
Уровень 1.
Определить момент инерции J материальной точки массой m = 0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на r = 20 см. Полученный ответ умножьте на 1000. [12]
Два маленьких шарика массой m = 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной ℓ = 20 см. Определить момент инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс. Полученный ответ умножьте на 104. [2]
Д ва шара массами m и 2m (m = 10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной ℓ = 40 см так, как это указано на рис. 1.5.1 а, б. Определить моменты инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь. Полученный ответ умножьте на 104. а) [36] б) [24]
Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной ℓ = 30 см и массой m = 100 г Относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину. Полученный ответ умножьте на 105. 1) [300] 2) [75]
Найти момент инерции J тонкого однородного кольца радиусом R = 20 см и массой m = 100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр. Полученный ответ умножьте на 1000, и округлите до целого значения. [2]
Найти момент инерции J плоской однородной прямоугольной пластины массой m = 600 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина a другой стороны равна 40 см. Полученный ответ умножьте на 1000. [32]
Уровень 2.
Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной ℓ = 30 см и массой m = 100 г Относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. Полученный ответ умножьте на 105. [100]
Три маленьких шарика массой m = 10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции J системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности; 2) лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь. Полученный ответ умножьте на 104. 1) [4] 2) [2]
Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной ℓ = 60 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на a = 20 см от одного из его концов. Полученный ответ умножьте на 1000. [4]
Д ва однородных тонких стержня: АВ длиной ℓ1 = 40 см и массой m1 = 900 г и CD длиной ℓ2 = 30 см и массой m2 = 400 г скреплены под прямым углом (рис. 1.5.2). Определить момент инерции J системы стержней относительно оси OOʹ, проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD. Полученный ответ умножьте на 1000. [112]
Определить момент инерции J кольца массой m = 200 г и радиусом R = 10 см относительно оси, касательной к кольцу. Полученный ответ умножьте на 1000. [3]
Диаметр диска d = 20 см, масса m = 800 г. Определить момент инерции J диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Полученный ответ умножьте на 1000. [6]
Определить момент инерции J тонной плоской пластины со сторонами a = 10 см и b = 20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равномерно распределена по ее площади с поверхностной плотностью σ = 1,2 кг/м2. Полученный ответ умножьте на 1000. [200]
О пределить моменты инерции Jx, Jy, Jz трехатомных молекул типа AB2 относительно оси у (рис. 1.5.3), проходящих через центр инерции C молекулы (ось z перпендикулярна плоскости xy). Межъядерное расстояние AB обозначено d, валентный угол α. Вычисления выполнить для следующих молекул: 1) Н2О (d = 0,097 нм, α = 104º30'); 2) SO2 (d = 0,145 нм, α = 124º). m(O) = 26,552·10-27 кг, m(H) = 1,673·10-27 кг, m(S) = 53,220·10-27 кг. Полученный ответ умножьте на 1050, и округлите до целого значения. 1) [1968] [1969] 2) [83765] [83764]
Уровень 3.
Два однородных тонких стержня: АВ длиной ℓ1 = 40 см и массой m1 = 900 г и CD длиной ℓ2 = 30 см и массой m2 = 400 г скреплены под прямым углом (рис. 1.5.4). Определить момент инерции J системы стержней относительно оси OOʹ, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости чертежа. Полученный ответ умножьте на 1000. [115]
О пределить моменты инерции Jx, Jy, Jz трехатомных молекул типа AB2 относительно оси x (рис. 1.5.3), проходящих через центр инерции C молекулы (ось z перпендикулярна плоскости xy). Межъядерное расстояние AB обозначено d, валентный угол α. Вычисления выполнить для следующих молекул: 1) Н2О (d = 0,097 нм, α = 104º30'); 2) SO2 (d = 0,145 нм, α = 124º). m(O) = 26,552·10-27 кг, m(H) = 1,673·10-27 кг, m(S) = 53,220·10-27 кг. Полученный ответ умножьте на 1050, и округлите до целого значения. 1) [1048] [1047] 2) [12081] [12080]
Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольника со сторонами a = 12 см и b = 16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью τ = 0,1 кг/м. Полученный ответ умножьте на 106. [144]
О пределить момент инерции J проволочного равностороннего треугольника со стороной a = 10 см относительно: 1) оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине (рис. 1.5.5а); 2) оси, совпадающей с одной из сторон треугольника (рис. 1.5.5б). Масса m треугольника равна 12 г и равномерно распределена по длине, проволоки. Полученный ответ умножьте на 105. 1) [5] 2) [2]
Н а концах тонкого однородного стержня длиной ℓ и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определить момент инерции J такой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку O, лежащую на оси стержня. Вычисления выполнить для случаев 1) x = 0, 2) x = ℓ/3, 3) x = ℓ/2, 4) x = 2ℓ/3, 5) x = ℓ (см. рис. 1.5.6). При расчетах принять ℓ = 1 м, m = 3 кг. Шарики рассматривать как материальные точки.
1) [9] 2) [4] 3) [3] 4) [3] 5) [6]
В однородном диске массой m = 18 кг и радиусом r = 30 см вырезано круглое, отверстие диаметром d = 20 см, центр которого находится на расстоянии ℓ = 15 см от оси диска (рис. 1.5.7). Найти момент инерции J полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр. Полученный ответ умножьте на 1000. [755]
Уровень 4.
Определить моменты инерции Jx, Jy, Jz трехатомных молекул типа AB2 относительно оси z (рис. 1.5.3), проходящих через центр инерции C молекулы (ось z перпендикулярна плоскости xy). Межъядерное расстояние AB обозначено d, валентный угол α. Вычисления выполнить для следующих молекул: 1) Н2О (d = 0,097 нм, α = 104º30'); 2) SO2 (d = 0,145 нм, α = 124º). m(O) = 26,552·10-27 кг, m(H) = 1,673·10-27 кг, m(S) = 53,220·10-27 кг. Полученный ответ умножьте на 1050, и округлите до целого значения. 1) [3016] [3017] 2) [95844] [95845]