01.05.05. Центр масс

Уровень 1.

На гладкой поверхности удерживают в состоянии неустойчивого равновесия куб, стоящий на ребре. Куб отпускают, и он падает плашмя на одну из граней. На сколько сантиметров сместится к этому моменту ребро, на котором он стоял, если сторона куба 32 см? [16]

Н а рис. 1.5.17 изображен тонкий однородный стержень, на концах которого прикреплены маленькие шарики. Массы стержня и шариков указаны на рисунке. Определить координату X_C центра масс такой системы в случаях а, б и в. Длину ℓ стержня принять во всех случаях равной 1,2 м. Шарики рассматривать как материальные точки. Полученный ответ умножьте на 100.

1) [70] 2) [0] 3) [18]

Уровень 2.

Т рехатомная молекула состоит из двух одинаковых атомов массой m₁ и одного атома массой m₂. Межъядерное расстояние d и валентный угол α считать известными (рис. 1.5.18). Определить координаты X_C и Y_C центра масс молекулы. Расчеты выполнить для молекул: 1) H₂O (d = 95,8 пм; α = 104º); 2) SO₂ (d = 143 пм; α = 118º). m(O) = 26,6·10^-27 кг, m(H) = 1,67·10^-27 кг, m(S) = 53,2·10^-27 кг. Полученный ответ запишите в нанометрах и округлите до целого значения. 1) [52] [51] 2) [37] [36]

На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека M = 60 кг, масса доски m = 20 кг. Найти, на какое расстояние: 1) передвинется тележка, если человек перейдет на другой конец доски [150]; 2) переместится человек относительно пола. Длина ℓ доски равна 2 м. Ответ записать в см. [50]

Уровень 3.

Тележка длиной 5 м стоит на гладких рельсах. На противоположных концах тележки стоят два мальчика. Масса тележки 75 кг, массы мальчиков 45 кг и 30 кг. Мальчики меняются местами. На сколько сантиметров переместится при этом тележка? [50]

Человек захотел спуститься по веревочной лестнице из свободно висящего аэростата массой 400 кг. Какой минимальной длины веревочную лестницу он должен привязать к гондоле аэростата, чтобы, ступая на последнюю ступеньку, он коснулся земли? Масса человека 80 кг. Расстояние от земли до аэростата в начальный момент времени 10 м. [12]

Уровень 5. Интегрирование.

Тонкую однородную проволоку изогнули так, как это изображено на рис. 1.5.19. Определить координаты X_C и Y_C центра масс для каждого случая (а, б, в, г). При расчетах принять R = 1 м. π = 3,1416. Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения.

X_C: б) [389] [388] в) [1638] [1637] г) [1000]

Y_C: а) [637] [636] б) [583] [584] в) [517] [518] г) [ 453] [454]

Из плоской, тонкой, однородной пластины вырезали фигуры, изображенные. на рис. 1.5.20. Определить координаты X_C и Y_C центра масс для каждой фигуры (а, б, в, г). При расчетах принять R = 1 м. π = 3,1416. Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения.

X_C: б) [276] [275]

Y_C: а) [424] [425] б) [477] [478] в) [223] [224] г) [349] [348]

01.06. Силы в механике формулы

Закон всемирного тяготения, сила тяжести, ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли, соответственно:

; ; ;

здесь G = 6,67∙10^–11 м³/(кг·с²) – гравитационная постоянная, m_1,2 – массы взаимодействующих тел, r – расстояние между центрами масс взаимодействующих тел, g = 9,80667 м/с² – ускорение свободного падения при h = 0, g_h – ускорение свободного падения на высоте h;

3-й закон Кеплера:

,

здесь T_1,2 – периоды обращения двух планет вокруг солнца, a_1,2 – большие полуоси орбит планет;

Первая космическая скорость на высоте h, первая космическая скорость на поверхности планеты, вторя космическая скорость, соответственно:

; ; ,

здесь υ_сп,h – скорость спутника планеты на высоте h, M_пл – масса планеты, R_пл – радиус планеты, υ_сп,1 – первая космическая скорость (скорость искусственного спутника планеты на высоте h = 0), υ_сп,2 – вторая космическая скорость (скорость, непосредственно у поверхности планеты, необходимая для того, чтобы тело навсегда улетело от планеты);

Относительная деформация при продольном растяжении или сжатии тела:

,

здесь ℓ – начальная длина тела, x – величина растяжения или сжатия;

Относительная деформация при сдвиге определяется из формулы:

,

здесь tgγ – относительный сдвиг, Δs – абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга, h – расстояние между слоями, γ – угол сдвига;

Напряжение нормальное:

,

здесь F_упр – упругая сила, перпендикулярная поперечному сечению тела, S – площадь этого сечения;

Напряжение тангенциальное:

,

здесь F_упр – упругая сила, действующая вдоль слоя тела, S – площадь этого сечения;

Закон Гука для продольного растяжения или сжатия:

,

здесь k – коэффициент упругости (жесткость пружины), E – модуль Юнга;

Закон Гука для сдвига:

,

здесь Δs – сдвиг верхнего края относительно основания, h –высота тела, G – модуль поперечной упругости (модуль сдвига);

Момент, закручивающий на угол φ однородный круглый стержень:

,

здесь C – постоянная кручения;

Потенциальная энергия деформированной пружины (стержня):

,

здесь k – жесткость пружины, x – величина растяжения или сжатия пружины, E – модуль Юнга, V – объем стержня.

ЗАДАЧИ