01.07. Релятивистская механика формулы

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси y, yʹ и z, zʹ сонаправлены, а относительная скорость ʋ₀ системы координат Kʹ относительно системы K направлена вдоль общей оси xxʹ (рис. 1.7.1).

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня:

,

здесь ℓ₀ – длина стержня в системе координат Kʹ, относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси xʹ; ℓ – длина стержня, измеренная в системе K, относительно которой он движется со скоростью ʋ; c – скорость распространения электромагнитного излучения;

Релятивистское замедление хода часов:

,

здесь Δt₀ – интервал времени между двумя событиями, происходяobми в одной точке системы Kʹ, измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt – интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

Релятивистское сложение скоростей где

,

здесь ʋʹ – относительная скорость (скорость тела относительно системы Kʹ), ʋ₀ – переносная скорость (скорость системы Kʹ относительно K), ʋ – абсолютная скорость (скорость тела относительно системы K).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела (частицы) в системе координат, условно принятой за неподвижную.

Релятивистская масса:

,

здесь m₀ – масса покоя;

Релятивистский импульс:

,

Полная энергия релятивистской частицы:

,

здесь T – кинетическая энергия частицы, m₀c² = E₀ – ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света;

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы:

;

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы:

.

ЗАДАЧИ

01.07.01. Релятивистское изменение длин и интервалов времени

Уровень 2.

Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью Δℓ = 0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина ℓ₀ которого равна 1 м? Скорость света c = 3·10⁸. Полученный ответ умножьте на 10^-3 и округлите до целого значения. [134] [135]

Двое часов после синхронизации были помещены в начало систем координат K и Kʹ, движущихся относительно друг друга. При какой скорости u их относительного движения возможно обнаружить релятивистское замедление хода часов, если собственная длительность τ₀ измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью Δτ = 10 пс. Полученный ответ округлите до целого значения. [1341] [1342]

На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость ʋ₀ спутника составляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время τ₀ = 0,5 года? Полученный ответ умножьте на 10⁴ и округлите до целого значения. [55] [54]

Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью ʋ = 0,6c. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя? Полученный ответ умножьте на 100. [125]

В лабораторной системе отсчета (K-система) пи-мезон с момента рождения до момента распада пролетел расстояние ℓ = 75 м. Скорость ʋ пи-мезона равна 0,995c. Определить собственное время жизни τ₀ пи-мезона. Полученный ответ умножьте на 10⁹ и округлите до целого значения. [25] [24] [26]

Уровень 3.

В системе Kʹ покоится стержень, собственная длина ℓ₀ которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол φ₀ = 45º с осью xʹ. Определить 1) длину ℓ стержня (полученный ответ умножьте на 10³ и округлите до целого значения) 2) и угол φ в системе K (полученный ответ округлите до целого значения), если скорость ʋ₀ системы Kʹ относительно K равна 0,8c. 1) [825] [824] 2) [59] [60]

В системе K находится квадрат, сторона которого параллельна оси xʹ. Определить угол φ между его диагоналями в системе K, если система Kʹ движется относительно K со скоростью ʋ = 0,95c. Полученный ответ округлите до целого значения. [73] [72]

Собственное время жизни τ₀ мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние ℓ = 6 км. С какой скоростью ʋ (в долях скорости света ʋ/c) двигался мезон? Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [995] [996]