Вопрос 2: Согласованные фильтры. Передаточная функция сф.

Согласованный фильтр (СФ) предназначен для максимизации отношения сигнал/шум на своём выходе при приеме сигнала на фоне белого шума со спектральной плотностью мощности N(f) = N₀. Напряжение на выходе СФ, в отличие от коррелятора, не зависит от временной задержки сигнала τ, и на выходе СФ даёт сигнал, который является разверткой во времени АКФ входного сигнала.

Оптимальный фильтр - это фильтр, обеспечивающий на выходе максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума. Если помеха, поражающая сигнал, является белым шумом, то оптимальный фильтр называется - согласованным фильтром (СФ). Таким образом, если на вход СФ поступает сигнал uc(t) в сумме с белым шумом x(t): z(t)=uc(t)+x(t), то на выходе СФ получим максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума. Определим, какими должны быть характеристики СФ.

Напряжение на выходе линейного фильтра с импульсной реакцией g(t) имеет вид:

Первое слагаемое – напряжение полезного сигнала, второе – напряжение помехи. Дисперсия помехи равна:

где G0δ(τ-ν) – функция корреляции белого шума со спектральной плотностью энергии G0.

Отношение мощности сигнала к дисперсии шума на выходе СФ равно:

Первое неравенство записано в соответствии с неравенством Буняковского – Шварца. Замена t на Т во втором неравенстве выполнена, исходя из неотрицательности подинтегрального выражения, которое не убывает при увеличении верхнего предела. Равенство достигается только при условии, что g(t)=uc(T-t);

Это означает, что название фильтра "согласованный" определяется тем, что его характеристики согласованы с характеристиками сигнала uс(t): - импульсная реакция g(t) согласованного фильтра совпадает с зеркальным отображением сигнала: g(t)=uс(Т-t)

Для импульса несимметричной формы, заданного, например, выражением:uc(t) = Um(l-t/T), при 0 < t < T, импульсная реакция фильтра, согласованного с ним, равна: g1(t)=u(T-t)=Umt/T, при 0 < t < T.

Соответствующий треугольный сигнальный импульс и импульсная реакция согласованного с ним фильтра имеют вид

Определим частотную характеристику СФ, как преобразование Фурье от g(t):

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра |К(jω)| с точностью до постоянного множителя A совпадает с амплитудным спектром сигнала |S(jω)|:|К(jω)|=A|S(jω)| - фазо-частотная характеристика (ФЧХ) согласованного фильтра противоположна по знаку ФЧХ сигнала: φ(ω)= - φс( ω) – ωТ;

Рассмотрим характеристики фильтра, согласованного с одиночным прямоугольным импульсом. Такой импульс описывается выражением: u(t)=Um, при -0,5Т < t < 0,5Т ; где Um,T - амплитуда и длительность импульса, соответственно.

Спектр этого импульса равен: S(j ω)=UmTsin(ω T/2)/( ω T/2).

Следовательно, АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом равна:

На рис. нарисована АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным

импульсом длительностью Т.

Согласованный фильтр обеспечивает на выходе максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума (с/ш), если помеха является белым шумом. Выше было показано, что для помехи типа АБГШ отношение мощности сигнала к мощности шума на выходе СФ при оптимальном выборе характеристик СФ равно, , т.е. отношению энергии посылки сигнала к спектральной плотности энергии белого шума: h0 2 = Ес /G0

Это максимальное отношение, которое может быть получено для помехитипа белый шум.

БИЛЕТ № 15

Вопрос 1. Демодуляция АМ-сигналов. Синхронный и квадратичный детекторы. Демодуляторы AM и ОМ сигналов предназначены для преобразования модулированных колебаний, в напряжения (токи), изменяющиеся по закону модулирующей функции M(t). Демодуляторы AM сигналов могут быть выполненными с использованием нелинейных свойств элементов (диодов, транзисторов) или на линейных элементах с переменными параметрами (синхронный детектор). Структурная схема детектора на нелинейных, элементах представлена на рис и состоит из собственно нелинейного четырехполюсника НЭ и фильтра Z, подавляющего нежелательные продукты нелинейного преобразования.

В силу нелинейности вольтамперной характеристики нелинейного элемента различают два режима работы такого детектора - линейный в квадратичный, отличающиеся величиной входного сигнала. При большом входном сигнале (как правило, больше 1В) детектор работает в линейном режиме. При этом выходное напряжение на выходе фильтра.

где k1д - коэффициент передачи детектора.

При меньшем уровне входного сигнала (как правило, меньше 0.5В)

Структурная схема синхронного детектораAM сигналов представлена на рис. Этот детектор представляет собой последовательно соединенные перемножитель и фильтр нижних частот. Используя аналитическое выражение для AM сигнала выходное напряжение на выходе перемножителя.

Полезным продуктом демодуляции является второе слагаемое; сигналы, соответствующие первому и третьему слагаемым с частотами ωо, и 2ωо соответственно, подавляются фильтром Z. Выходное напряжение детектора

будет максимальным при равенстве фазы несущей AM сигнала и фазы опорного напряжения

Вопрос 2: Функция плотности вероятности смеси гармонической несущей и узкополосного случайного сигнала. Исследуем огибающую суммы гармонического сигнала и узкополосного нормального шума. Часто бывает необходимо определить статистические свойства сигнала, наблюдаемого на выходе некоторого частотно-избирательного устройства, например, резонансного усилителя. Будем считать, что помимо флуктуационного гауссова шума с центральной частотой ω0 , равной резонансной частоте усилителя, на выходе присутствует также детерминированный гармонический сигнал U t m 0 cosω с известной амплитудой Um . Простейшей задачей является нахождение одномерной плотности вероятности огибающей суммарного колебания. Считая, что полезный сигнал S t U t m 0 ( ) = cosω , в то время как шум

запишем выражение реализации суммарного процесса X(t):

Данный случайный процесс узкополосен, поэтому его реализация может быть выражена посредством медленно меняющихся огибающей U(t) и начальной фазы ϕ(t) :

Данная формула выражает закон, получивший название закона Райса. Отметим, что при Um = 0 , т.е. в отсутствие детерминированного сигнала, закон Райса переходит в закон Рэлея. На рисунке представлены графики плотности вероятности случайной величины,

БИЛЕТ № 16

Вопрос 1: Характеристики АМ-сигналов. Сигналы балансной и однополосной модуляции. Основной характеристикой амплитудной модуляции является коэффициент амплитудной модуляции или глубина модуляции (modulation depth) – отношение разности между максимальным и минимальным значениями амплитуд модулированного сигнала к сумме этих значений, выраженное в процентах.

Сигналы балансной и однополосной амплитудной модуляции Сигналы балансной амплитудной модуляции (БАМ) характеризуются отсутствием в спектре составляющей несущего колебания.

Рассчитаем среднюю мощность сигнала балансной модуляции