- •Вопрос 1: Классификация радиотехнических цепей
- •Вопрос 2 : Числовые характеристики случайных сигналов
- •Вопрос 1: Дискретизация и восстановление сигналов с ограниченным спектром
- •Вопрос 1: Представление сигналов ортогональными рядами. Обобщённый ряд Фурье
- •Вопрос 2: Анализ нерекурсивных фильтров второго порядка
- •Вопрос 2: Стационарные случайные сигналы. Корреляционная функция случайных сигналов
- •Вопрос 1: Нелинейные цепи, описание и свойства
- •Вопрос 2: Обнаружение импульсных сигналов в шумах
- •Вопрос 1: Сигналы и их классификация. Основные характеристики и параметры сигналов
- •Основные характеристики сигнала:
- •Вопрос 2: Определение и математическое описание случайных сигналов
- •Вопрос 2: Импульсная реакция сф, основные характеристики сигнала и помехи на выходе сф.
- •Вопрос 2: Прохождение случайных сигналов через линейные цепи.
- •Вопрос 1: Формирование сигналов ам.
- •Вопрос 2: Эргодические случайные сигналы и их числовые характеристики.
- •2. Временные диаграммы напряжения.
- •Вопрос 2: Оптимальная фильтрация финитных сигналов при небелой помехе.
- •Вопрос 1: Получение частотно-модулированных сигналов.
- •Вопрос 2: Алгоритм дискретной свёртки. Понятие дискретной импульсной характеристики.
- •Вопрос 2: Согласованные фильтры. Передаточная функция сф.
- •Вопрос 2: Дискретное преобразование Фурье и его свойства.
- •Вопрос 1: Характеристики сигналов с угловой модуляцией.
- •Вопрос 2: z-преобразование дискретных функций и его свойства.
- •Вопрос 1: Получение фазомодулированных сигналов.
- •Вопрос 2: Прохождение случайных сигналов через нелинейные цепи.
- •Вопрос 2: Оптимальная фильтрация финитных сигналов при небелой помехе.
- •Вопрос 1: rc-автогенераторы. Rc автогенератор с согласующим каскадом и фазосдвигающей цепью
- •Rc автогенератор с фазобалансной цепью
- •Rc автогенератор с мостом Вина
- •Вопрос 2: Обнаружение импульсных сигналов в шумах.
- •Вопрос 1: Демодуляция чм-сигналов.
- •Вопрос 2: Анализ рекурсивных фильтров первого порядка.
- •Вопрос 1: Мягкий и жёсткий режимы самовозбуждения аг.
- •Вопрос 2: Устойчивость дискретных линейных систем (длс).
- •Вопрос 2: Принципы цифровой обработки сигналов.
- •Вопрос 1: Анализ условий самовозбуждения автогенератора.
- •1. Анализ условий самовозбуждения автогенератора.
- •Вопрос 2: z-преобразование дискретных функций и его свойства.
- •Вопрос 1: Узкополосные сигналы. Понятие аналитического сигнала. 1.
- •Вопрос 2: Синтез согласованного фильтра для единичного прямоугольного импульса.
- •Вопрос 1: Квазилинейное уравнение автогенератора. Стационарный режим.
- •Вопрос 2: Спектральное представление случайных сигналов. Теорема Винера-Хинчина.
Вопрос 2: Прохождение случайных сигналов через нелинейные цепи.
Решение задачи преобразования случайных сигналов линейными радиотехническими цепями осуществлялось спектральным методом. При этом, определялись характеристики , , при известных и комплексном коэффициенте передачи цепи . Что касается функции распределения или плотности вероятности значений выходного процесса, то задача их определения является достаточно сложной и поддается решению лишь в отдельных частных случаях.
При решении задачи преобразования случайного процесса нелинейными цепями, наоборот, плотность вероятности определяется сравнительно просто, а определение и сопряжено со значительными трудностями. Поэтому, постановка задачи преобразования СП нелинейными цепями отличается от постановки задачи преобразования СП линейными инерционными цепями.
Напомним, что основной характеристикой нелинейного безынерционного элемента является вольт – амперная характеристика
, (6.28), где – входной сигнал, – выходной сигнал нелинейного элемента.
Отметим, что входной и выходной сигналы связаны детерминированной функциональной зависимостью .
Так как в рассмотренном случае входной и выходной сигналы являются случайными процессами, т.е.
, , то выражение (6.28) можно записать так . (6.29)
Сформулируем теперь задачу. На вход безынерционного нелинейного элемента, описываемого характеристикой (6.29) поступает стационарный случайный процесс с известной плотностью вероятности (рис. 6.9). Необходимо определить плотность распределения вероятности выходного процесса . Задачу будем решать при следующих предположениях:
– входной процесс является стационарным эргодическим процессом;
– существует и известна функция
, (6.30) обратная функции .
Изобразим на рис. 6.10 а) зависимость и реализации входного и выходного случайных процессов.
Поскольку процесс подвергается неслучайному функциональному преобразованию этому же преобразованию подвергается и плотность вероятности . На рис. 6.10б показана характеристика и кривые плотности вероятности и входного и выходного случайных процессов.
Установим соответствие между и . Выберем некоторое значение входного процесса. Этому значению однозначно соответствует значение выходного процесса. Придадим значению элементарное приращение . Этому приращению будет соответствовать элементарное приращение выходного процесса. Так как зависимость однозначна, то вероятность того, что значение случайной величину будет находиться в пределах , должна быть равна вероятности того, что случайная величина будет находится в пределах , т.е.
. (6.31)
Но, с другой стороны , .
Тогда (6.31) можно представить следующим образом , (6.32) откуда следует
. (6.33)
Производная в (6.33) вычисляется по абсолютной величине (по модулю) в силу того, что функция может быть отрицательной, а плотность вероятности всегда положительна.
Так как по условию задачи известна функция обратная , т.е. , то (6.33) можно записать так
. (6.34)
Выражение (6.34) является основным результатом решения задачи нелинейного преобразования.
Если функция неоднозначна (имеет несколько ветвей (рис. 6.10 в)), то (6.34) принимает вид
. (6.35)
Перейдем к определению вероятностных характеристик выходного процесса. Математическое ожидание при известном определяется следующим образом .
Но с другой стороны, учитывая (6.32), а также , получим . (6.36)
Аналогично, для дисперсии . (6.37)
Расчеты по этой формуле достаточно просты, если допускает степенную аппроксимацию.
Выражение (6.34) позволяет найти при конкретном виде зависимости . Так, пусть на вход нелинейного элемента с характеристикой , поступает случайный сигнал с нормальной одномерной плотностью вероятности (рис. 6.11)
. (6.38)
Найдем функцию, обратную функции .
Модуль первой производной
. Далее отметим, что функция двузначна (имеет две ветви) и сигнал при любом принимает неотрицательные значения.
С учетом отмеченных обстоятельств, воспользовавшись (6.35) запишем:
Но для нормального закона (6.38)
,
Тогда окончательно получим на рис. 6.11 изображена кривая плотности вероятности .
БИЛЕТ № 19
Вопрос 1: Спектральное представление случайных сигналов. Теорема Винера-Хинчина. Для описания случайных сигналов, описываемых случайными функциями, может быть применен подход, аналогичный представлению детерминированных сигналов совокупностью элементарных базисных сигналов.
Действительно, пусть случайная функция имеет математическое ожидание и соответствующую центрированную случайную функцию : . (2.128)
Центрированную случайную функцию можно выразить в виде суммы ортогональных составляющих, каждая из которых состоит из произведения неслучайной базисной функции и коэффициента разложения , являющегося случайной величиной: . (2.129)
Неслучайные базовые функции называют координатными функциями. Коэффициенты разложения в общем статистически зависимы и эта зависимость может быть задана матрицей коэффициентов корреляции . Для конкретной реализации коэффициенты разложения могут быть определены из выражения: , (2.130)
где - интервал существования случайной функции . Предположив, что неслучайная функция ограничена, то есть , (2.131) ее также можно представить в виде разложения по ортогональным функциям : ; (2.132) . (2.133)
Тогда выражение (2.128) с учетом (2.129) и (2.133) преобразуется к виду: , (2.134)
который позволяет существенно упростить линейные преобразования случайного сигнала.
Для определения требований к координатным функциям полезно рассмотреть корреляционную функцию центрированной случайной функции . По определению (2.135)
Так как в общем случае то
. (2.136)
Если предположить, что коэффициенты некоррелированы, то есть то выражение (2.136) существенно упрощается: . (2.137)
В частном случае, при корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции : . (2.138)
Поэтому в качестве координатных функций целесообразно выбирать такие функции, которые обеспечили бы некоррелированность коэффициентов разложения . Разложение (2.129), использующее такие функции, называют каноническим разложением. В этом случае центрированная случайная функция будет характеризоваться совокупностью дисперсий коэффициентов разложения, которую можно рассматривать как обобщенный спектр случайной функции. Этот спектр при каноническом разложении (2.129) является дискретным (линейчатым) и может содержать как конечное, так и бесконечное число линий.
Основной трудностью при использовании канонического разложения является определение координатных функций, однако для стационарных случайных функций эта операция легко выполнима.
Теорема Винера-Хинчина.
Энергетический спектр и автокорреляционная функция случайного процесса являются неслучайными функциями, связанными между собой. Установим эту связь. Рассмотрим реализацию случайного процесса длительностью и ее копию , сдвинутую на интервал времени . Известно, что энергетический спектр и автокорреляционная функция детерминированного сигнала связаны между собой парой преобразований Фурье. Тогда с учетом выше приведенного предположения о том, что реализация и ее копия нам известны, можно записать .
Разделим обе части этого равенства на : , (5.62) и устремим .
Тогда в соответствии с (5.51) левая часть равенства (5.62) представляет собой автокорреляционную функцию . Учитывая (5.59) равенство (5.62) можно представить следующим образом
. (5.63)
Но это есть обратное преобразование Фурье, связывающее АКФ случайного процесса с его энергетическим спектром. Очевидно, если существует обратное преобразование, значит, существует и прямое преобразование Фурье , (5.64) связывающее энергетический спектр с АКФ.
Таким образом, АКФ случайного процесса и его энергетический спектр связаны между собой парой преобразований Фурье. Впервые эта связь была установлена советским математиком А. Хинчиным и независимо от него американским ученым Н. Винером. Поэтому соотношения (5.63) и (5.64) носят название теоремы Винера–Хинчина.
Так как автокорреляционная функция и энергетический спектр являются вещественными четными функциями, можно отказаться от комплексной формы записи преобразования Фурье и перейти к другой форме , (5.65) . (5.66)
Из этих выражений следует , (5.67) . (5.68)
Но , откуда , что совпадает с (5.60).
В случае, когда энергетический спектр описывается функцией циклической частоты (5.61), выражения (5.65) – (5.68) приобретают вид
, (5.69) . (5.70)
, (5.71) . (5.72)