Вопрос 2: Импульсная реакция сф, основные характеристики сигнала и помехи на выходе сф.

СФ- Согласованный фильтр. Оптимальный фильтр - это фильтр, обеспечивающий на выходе максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума. Если помеха, поражающая сигнал, является белым шумом, то оптимальный фильтр называется - согласованным фильтром (СФ).

Таким образом, если на вход СФ поступает сигнал uc(t) в сумме с белым шумом x(t): z(t)=uc(t)+x(t) то на выходе СФ получим максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума. Характеристики сигнала: Напряжение на выходе линейного фильтра с импульсной реакцией g(t) имеет

вид:

Первое слагаемое – напряжение полезного сигнала, второе – напряжение помехи. Дисперсия помехи равна:

где G0δ(τ-ν) – функция корреляции белого шума со спектральной плотностью энергии G0.

Отношение мощности сигнала к дисперсии шума на выходе СФ равно:

Первое неравенство записано в соответствии с неравенством Буняковского –Шварца. Замена t на Т во втором неравенстве выполнена, исходя из неотрицательности подинтегрального выражения, которое не убывает при увеличении верхнего предела. Равенство достигается только при условии, что g(t)=uc(T-t);

Это означает, что название фильтра "согласованный" определяется тем, что его характеристики согласованы с характеристиками сигнала uс(t): - импульсная реакция g(t) согласованного фильтра совпадает с зеркальным отображением сигнала: g(t)=uс(Т-t)

Для импульса несимметричной формы, заданного, например, выражением: uc(t) = Um(l-t/T), при 0 < t < T, импульсная реакция фильтра, согласованного с ним, равна: g1(t)=u(T-t)=Umt/T, при 0 < t < T.

Соответствующий треугольный сигнальный импульс и импульсная реакция

согласованного с ним фильтра имеют вид

Определим частотную характеристику СФ, как преобразование Фурье от g(t):

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра |К(jω)| с точностью до постоянного множителя A совпадает с амплитудным спектром сигнала |S(jω)|: |К(jω)|=A|S(jω)| - фазо-частотная характеристика (ФЧХ) согласованного фильтра противоположна по знаку ФЧХ сигнала: φ(ω)= - φс( ω) – ωТ;

Рассмотрим характеристики фильтра, согласованного с одиночным прямоугольным импульсом. Такой импульс описывается выражением: u(t)=Um, при -0,5Т < t < 0,5Т ; где Um,T - амплитуда и длительность импульса, соответственно.

Спектр этого импульса равен: S(j ω)=UmTsin(ω T/2)/( ω T/2). Следовательно, АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом равна: На рис. нарисована АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом длительностью Т.

Согласованный фильтр обеспечивает на выходе максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума (с/ш), если помеха является белым шумом. Выше было показано, что для помехи типа АБГШ отношение мощности сигнала к мощности шума на выходе СФ при оптимальном выборе характеристик СФ равно , т.е. отношению энергии посылки сигнала к спектральной плотности энергии белого шума: h0 2 = Ес /G0

Это максимальное отношение, которое может быть получено для помехи типа белый шум. Импульсной характеристикой согласованного фильтра (СФ) называется реакция СФ при подаче на его вход - функции.

Для СФ импульсная характеристика - зеркальное отображение сигнала, с которым он согласован, сдвинутое на время .

СЛОВА ПОТАПОВОЙ НА КОНСУЛЬТАЦИИ

Текущее время t меняется на период, поэтому мы говорим о том, что СФ мы можем применить только для финитных сигналов. Соответственно, мощность сигнала Um^2/T(период сигнала) (вроде такая формула). Импульсная реакция согласованного фильтра – это зеркальное отображение сигнала. Зеркало мы должны поставить именно в момент окончания сигнала, те у нас должны быть финитные сигналы

БИЛЕТ №8

Вопрос 1: Представление сигналов рядом Котельникова. Теорема Котельникова. Любая непрерывная функция, спектр которой не содержит частот выше , полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени . ( Теорема Котельникова). Ряд Котельникова – это разложение сигнала в ряд по ортогональным функциям .