Вопрос 1: Представление сигналов ортогональными рядами. Обобщённый ряд Фурье

Два сигнала x1(t) и x2(t) в линейном гильбертовом сигнальном пространстве с метрикой и нормой называются взаимно ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

Задан некоторый ансамбль сигналов  . Выбираем в сигнальном пространстве координатный базис таким образом, чтобы все базисные сигналы были попарно ортогональны на отрезке . Так выбранный базис называется системой ортогональных базисных функций . Произвольный сигнал конечной длительности  в линейном сигнальном пространстве можно представить в виде линейной комбинации ортогональных базисных функций: .

Такое представление сигнала называется обобщенным рядом Фурье в данной системе ортогональных базисных функций. Набор коэффициентов  образует спектр сигнала  в системе ортогональных базисных функций . Спектр полностью определяет сигнал. Во многих случаях преобразования сигналов значительно упрощаются, если и х проводить не над самими сигналами, а над их спектрами в специально выбранных системах базисных функций. Для определения j-го спектрального коэффициента  следует вычислить скалярное произведение сигнала с соответствующей базисной функцией . При представлении сигнала в системе ортогональных базисных функций всегда приходится ограничиваться некоторым конечным числом N членов ряда. Получаемый сигнал называется аппроксимирующим рядом. Представление сигнала в виде обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных базисных функций лучше тем, что по мере увеличения числа N аппроксимирующего ряда погрешность аппроксимации всегда только уменьшается. При этом аппроксимирующий ряд становится бесконечным – обобщенным рядом Фурье.

Вопрос 2: Анализ нерекурсивных фильтров второго порядка

Разностное уравнение и передаточная функция нерекурсивного цифрового фильтра второго порядка соответственно имеют вид:

Найдем нули и полюсы передаточной функции. Для этого, умножив числитель и знаменатель на z², запишем передаточную функцию в следующем виде:

Функция H(z) имеет два нулевых полюса и два нуля которые могут быть действительными или комплексно-сопряженными.

После замены в передаточной функции получим частотную передаточную функцию

Рассмотрим частный случай b₀=b₂. Тогда

АЧХ и ФЧХ при этом определяются формулами

БИЛЕТ №4 Вопрос 1: Преобразование спектров сигналов в нелинейных цепях.

Режим без отсечки .

Вопрос 2: Стационарные случайные сигналы. Корреляционная функция случайных сигналов

Случайный сигнал называется стационарным, если его математическое ожидание равно нулю, а корреляционная функция зависит только от одного аргумента – расстояния между сечениями:

Такие сигналы имеют форму относительно быстрых или медленных колебаний относительно нулевого уровня. Реализации сигнала протекают равномерно во времени, так что начало отсчета времени не имеет значения. Они обладают бесконечной энергией, но конечной мощностью, равной дисперсии сигнала. Чем быстрее затухает корреляционная функция с ростом расстояния между сечениями сигнала, тем быстрее флуктуируют относительно среднего отдельные реализации сигнала. Чем положе протекает корреляционная функция, тем более гладкими являются и реализации сигнала. Корреляционная функция случайного стационарного сигнала обладает следующими свойствами:

• - при аргументе, равном нулю, корреляционная функция принимает значение, равное дисперсии (мощности) сигнала

• - при любом значении аргумента τ значение нормированной корреляционной функции равно коэффициенту корреляции между сечениями случайного сигнала, расположенными на расстоянии τ друг от друга

• -корреляционная функция является четной по своему аргументу

БИЛЕТ №5