3.14. Резонанс напряжений

Рассмотрим идеальный колебательный контур из последовательно соединённых конденсатора и катушки

индуктивности без потерь

(рис. 3.26). Если предварительно

Рис. 3.26 заряженный конденсатор вклю-

чить к катушке индуктивности, то

конденсатор будет разряжаться на катушку: энергия электрического поля конденсатора будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки будет увеличиваться до тех пор, пока конденсатор полностью не разрядится. После этого катушка начнёт разряжаться на конденсатор. В результате в контуре возникнут незатухающие синусоидальные колебания тока с частотой

, (3.85)

где ₀ называется угловой частотой собственных незатухающих колебаний.

Если такой контур подключить к источнику синусоидального напряжения с частотой , которая называется частотой вынужденных колебаний, то при равенстве частот свободных и вынужденных колебаний  = ₀ в цепи возникнет электрический резонанс.

При последовательном соединении L, С и источника питания возникает резонанс напряжений, при параллельном соединении – резонанс токов.

Рассмотрим резонанс напряжений в реальной цепи (с учётом потерь), схема которой представлена на рис. 3.21. Установим соотношение между параметрами цепи при резонансе.

Из выражения (3.85) имеем:

,

откуда или X_L =X_C, (3.86)

т. е. резонанс напряжений возникает при равенстве индуктивного и ёмкостного сопротивлений. Из равенства (3.86) следует, что резонанс напряжений может быть достигнут при изменении одной из трёх величин , L, С при постоянстве двух других величин: ; ; , где L₀ , С₀ ,₀  индуктивность, ёмкость и угловая частота при резонансе напряжений.

Определим ток, напряжение и другие величины при резонансе напряжений.

Полное сопротивление цепи

, так как X_L = X_C .

Следовательно, при резонансе напряжений полное сопротивление цепи имеет минимальное значение, равное активному сопротивлению R.

Ток в цепи при резонансе

имеет максимальное значение.

Угол сдвига фаз при резонансе

,

т. е. напряжение на входе цепи и ток при резонансе совпадают по фазе, так как цепь имеет активный характер.

Напряжение на участках цепи следующее:

активное напряжение

,

равно полному напряжению цепи;

индуктивное напряжение

;

ёмкостное напряжение

;

т. к. при резонансе X_L = X_C , то U_L = U_C .

Величина напряжений U_L = U_C в зависимости от соотношений может значительно превышать напряжение на входе цепи U, если X_L = X_C  R.

Векторная диаграмма тока

Рис. 3.27 и напряжений при резонансе

изображена на рис. 3.27 при

U_L = U_C  U. Из векторной диаграммы и приведённых выше соотношений следует, что при резонансе напряжений индуктивное и ёмкостное напряжения компенсируют друг друга. Поэтому реактивное напряжение U_X = U_L  U_C = 0; цепь при резонансе, несмотря на наличие в ней L и C, ведёт себя как цепь с активным сопротивлением.

Индуктивное и ёмкостное сопротивления при резонансе

, (3.87)

называется характеристическим (волновым) сопротивлением резонансного контура.

Отношение (3.88)

называется добротностью контура, а величина, обратная q – затуханием контура

. (3.89)

Энергетические соотношения при резонансе имеют ряд особенностей. Определим мгновенные значения энергии магнитного поля катушки W_L и энергии электрического поля конденсатора W_С при токе , тогда на основании (3.64) :

; (3.90)

. (3.91)

Суммарная энергия магнитного и электрического полей

,

так как амплитуды тока I_m и напряжения U_Сm являются постоянными величинами.

Так как на основании (3.87)

,

то . (3.92)

Таким образом, сумма энергий магнитного и электрического полей с течением времени не изменяется. Уменьшение энергии электрического поля сопровождается увеличением энергии магнитного поля и наоборот. Происходит полный обмен энергиями между конденсатором и катушкой. Источник энергии только покрывает потери в активных сопротивлениях катушки и конденсатора. Поэтому для источника питания вся цепь эквивалентна активному сопротивлению.

Частотные характеристики. Рассмотрим важный для практики режим, когда синусоидальное напряжение на зажимах цепи постоянно, а угловая частота  изменяется от 0 до .

Ток в цепи

п ри  = 0 I = 0, так как ёмкостное сопротивление ; при  максимальный; при I = 0, так как (рис. 3.28). Аналогично изменяется активное напряжение U_R = IR. Напряжения U_L и U_C при равны между

собой по значению. Индук-

тивное напряжение U_L = IL,

равно нулю при  = 0; с увеличением частоты U_L возрастает до тех пор, пока ток не начнёт уменьшаться быстрее, чем возрастает частота. После этого U_L резко уменьшается, стремясь к напряжению источника U. Максимального значения U_L достигает при частоте _L.

Рис. 3.28 Ёмкостное напряжение

при  = 0 равно

напряжению источника U; с увеличением частоты U_C возрастает пока увеличивается ток, достигает максимума при частоте _С, затем уменьшается, стремясь к нулю.

Из графика (рис. 3.28) видно, что максимумы напряжений U_C и U_L имеют место при частотах не равных резонансной частоте. Из уравнений и можно рассчитать частоты, при которых U_L и U_C будут максимальными.

Угол сдвига фаз при частоте  = 0 , при и при .

Таким образом, при резонансе напряжений в электрической цепи напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе могут значительно превышать напряжения на входе цепи, что может привести к нежелательным последствиям, в частности, к перенапряжениям, опасным для изоляции элементов цепи.

Пример 3.1. Рассчитать электрическую цепь (рис. 3.29) с последовательным соединением катушки индуктивности с сопротивлением R = 28 Ом и индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатора ёмкостью С = 50 мкФ при синусоидальном входном напряжении u = 141Sin(314t+30) В. Определить ёмкость конденсатора, при которой в цепи наступит резонанс напряжений; произвести расчёт цепи при резонансе.

Р е ш е н и е. 1. Расчёт цепи до резонанса.

1.1. Определение сопротив-лений отдельных участков и всей цепи. Активное сопротивление катушки задано R = 28 Ом. Индуктивное сопротивление катушки

Рис. 3.29 ; угловая частота

известна  = 314 с^-1;

Ом. Полное сопротивление катушки

Ом.

Ёмкостное сопротивление конденсатора (ёмкость выражаем в фарадах С = 50 мкФ =50 10^-6 Ф)

Ом.

Реактивное сопротивление цепи

X = X_L X_C = 31,4 – 63,69 =  32,29 Ом (знак минус показывает, что в цепи преобладает ёмкостное сопротивление).

Полное сопротивление цепи

Ом.

1.2. Расчёт действующих и максимальных значений тока и напряжений на отдельных участках цепи.

Действующее значение тока определяем по закону Ома:

,

где U  действующее значение напряжения находим по заданному максимальному значению U_m = 141 В,

В,

тогда ток

А.

Амплитуда тока А.

Активное напряжение

В;

В.

Индуктивное напряжение

В;

В.

Полное напряжение катушки

В;

В.

Ёмкостное напряжение конденсатора

В;

В.

Реактивное напряжение цепи

В;

В.

Проверка правильности расчёта тока и напряжений по напряжению:

В.

1.3. Расчёт мгновенных значений тока и напряжений.

Общее выражение мгновенного значения тока , где _i,  начальная фаза тока, определяется по углу сдвига фаз , т. е. .

Угол сдвига фаз находится из треугольника сопротивлений (рис. 3.23):

,

(  0, что показывает на ёмкостный характер цепи),

тогда .

Мгновенное значение тока

, А.

Мгновенное значение активного напряжения по фазе совпадает с током

, В.

Мгновенное значение индуктивного напряжения опережает ток на 90

В.

Мгновенное значение напряжения катушки

,

 начальная фаза напряжения катушки, определяется по углу сдвига фаз катушки

, т. е. ;

;

; , В.

Мгновенное значение напряжения на ёмкости отстаёт от тока на 90

, В.

1.4. Расчёт активной, реактивной и полной мощности цепи.

Активная мощность

Вт.

Реактивная мощность

вар,

(знак «» у реактивной мощности показывает, что цепь имеет ёмкостный характер).

Полная мощность

В  А.

Рис. 3.30

Проверка по мощности:

ВА.

По результатам расчёта мгновенных значений тока и напряжений строим волновую диаграмму (рис. 3.30).

Векторная диаграмма (рис. 3.31) построена по результатам расчёта действующих значений тока и напряжений. В качестве исходного вектора принят вектор тока, который является общим для всех элементов цепи (рис. 3.29). Вектор U_R совпадает с вектором тока I, вектор U_L опережает вектор I на 90; поэтому из конца вектора U_R проводим под углом 90 в сторону опережения вектора I вектор U_L. Так как напряжение на ёмкости

U_С отстаёт от тока I на 90, из конца вектора U_L проводим под углом 90 к вектору I в сторону отставания от него вектор U_С.

При построении векторной диаграммы напряжений мы суммировали векторы U_R, U_L и U_С, поэтому результирующий вектор, направленный из начала U_R в конец U_С, является вектором напряжения U, отстающим от вектора I на угол .

Вектор напряжения на катушке U_К, равный сумме векторов U_R и U_L, опережает вектор тока на угол _К.

На диаграмме векторы

напряжений U_R, U_L и U_С

следуют в том же порядке, что

и соответствующие элементы цепи R, L и С, поэтому такая векторная диаграмма называ-ется топографической.