3.18. Комплексный метод расчёта цепей синусоидального тока

В п.п. 3.13 – 3.17 изложен классический метод расчёта цепей синусоидального тока. Он основан на применении интегрально-дифференциальных уравнений, составляемых для цепей по законам Кирхгофа, и векторных диаграмм.

На практике получил широкое распространение для расчёта цепей синусоидального тока комплексный (символический) метод. Сущность этого метода состоит в том, что синусоидальные токи, напряжения и ЭДС представляют комплексными числами, а геометрические операции над векторами заменяются алгебраическими операциями с комплексными числами. Такая замена синусоид комплексными числами позволяет рассчитывать цепи синусоидального тока с применением рассмотренных в главе 1 методов расчёта.

3.18.1. Общие сведения о комплексных числах

Любое комплексное число (к.ч.)

(3.124)

изображается в координатах комплексной плоскости точкой (рис. 3.49); из прямоугольного треугольника имеем:

,

(3.125)

,

где a₁ – вещественная часть комплекса ;

a₂ – мнимая часть комплекса ;

a – модуль комплекса ;

 – аргумент комплекса .

Выражение (3.124) является алгебраической формой записи

Рис. 3.49 комплексного числа (в нём

– мнимая единица).

Подставив выражения (3.125) в (3.124), получим геометрическую форму записи к. ч.

. (3.126)

Применив к выражению (3.126) формулу Эйлера, получим показательную форму записи к.ч.

. (3.127)

Д ля перехода от алгебраической формы к.ч. к показательной применяются известные выражения для прямоугольного треугольника (рис. 3.49):

(3.128)

.

Обратный переход – от показательной формы к.ч. к алгебраической форме осуществляют по выражениям (3.125).

3.18.2. Изображение синусоидальных напряжений и токов комплексными числами

Из п. 3.18.1 следует, что любое комплексное число в координатах комплексной плоскости изображается точкой. Если эту точку соединить вектором, начало которого расположено в начале координат, а конец в данной точке, то любой вектор можно записать комплексным числом.

А так как любая синусоидальная функция (напряжение, ток) изображается вектором, то она может быть представлена комплексным числом.

Изобразим синусоидальное напряжение вращающимся вектором в координатах комплексной плоскости (рис. 3.50).

Этот вектор изображается комплексным числом, например, в показательной форме

, (3.129)

который является символическим (комплексным) изображением мгновенного значения напряжения и называется комплексом мгновенного значения напряжения. Из (3.129) следует, что

м одулем комплекса мгно-венного значения напряжения является амплитуда U_m напряжения, а аргументом – фаза этого напряжения.

Перейдём от показательной формы комплекса (3.129) к алгебраической форме через геометрическую, используя обозначения, указанные на рис. 3.50:

Рис. 3.50

. (3.130)

Комплекс мгновенного значения напряжения (3.129) можно записать в следующем виде:

, (3.131)

где (3.132)

называется комплексной амплитудой; комплексный множитель называется множителем вращения.

Комплексная амплитуда отличается от комплекса мгновенного значения (t) тем, что она не зависит от времени и на векторной диаграмме (рис. 3.50) изображается неподвижным вектором.

Разделив левую и правую части равенства (3.132) на

,

получим:

, (3.133)

где  комплекс действующего значения напряжения, который сокращенно называется комплексным напряжением.

Комплексные напряжения и токи обозначаются теми же буквами, что и их действующие значения, только с чертой внизу.

Так, для комплексов тока имеем следующие выражения:

 комплекс мгновенного значения тока;

 комплексная амплитуда тока;

 комплекс действующего значения тока (комплексный ток).

Для перехода от комплекса к мгновенному значению напряжения u необходимо взять мнимую часть комплекса в геометрической форме без j, что записывается следующим образом:

или ;

тогда

.

Режим электрической цепи переменного тока описывается уравнениями, членами которых могут быть производные и интегралы синусоидальных функций. При расчёте цепи комплексным методом эти члены уравнений также должны быть изображены комплексными числами.

Изображение производной синусоидальной функции

Для примера рассмотрим ток , который изображается комплексом

, где .

Производная тока

будет изображаться комплексом

, (3.134)

так как .

Таким образом, комплексное число, изображающее производную синусоидальной функции, равно комплексному числу, изображающему синусоидальную функцию [ ], умноженному на j.

Изображение интеграла от синусоидальной функции

Возьмём интеграл от тока :

.

Полученное выражение будет изображаться комплексным числом

. (3.135)

Из выражения (3.135) следует, что комплексное число, изображающее интеграл синусоидальной функции, равно комплексному числу, изображающему синусоидальную функцию [ ], делённому на j.

Следовательно, изображение синусоидальных функций комплексными числами позволяет заменить дифференцирование умножением на j, а интегрирование – делением на , т.е. дифференциально-интегральному уравнению для мгновенных значений синусоидальных функций соответствует алгебраическое уравнение для комплексных изображений.

Таким образом, применение комплексного (символического) метода существенно упрощает расчёты цепей синусоидального тока за счёт того, что вместо интегрально-дифференциальных уравнений решаются алгебраические уравнения.

Пример 3.3. Записать комплексы действующих значений напряжения и тока, если их мгновенные значения заданы уравнениями

, В; , А.

Определить угол сдвига фаз .

Р е ш е н и е. Действующее значение напряжения

В,

начальная фаза напряжения .

В соответствии с выражением (3.133) комплекс действующего значения напряжения

.

Аналогично для тока

А,

начальная фаза тока

Рис. 3.51 , а комплексный ток

.

Изобразим комплексы напряжения и тока векторами в координатах комплексной плоскости (рис. 3.51). Так как начальная фаза напряжения положительная, откладываем вектор под углом относительно оси вещественных по направлению вращения векторов (против вращения часовой стрелки); вектор тока направлен относительно той же оси под углом  20 (по направлению вращения часовой стрелки).

Угол сдвига фаз .

Пример 3.4. Для комплексного тока

записать мгновенное значение.

Р е ш е н и е. От алгебраической формы комплексного тока переходим к показательной по формулам (3.128):

модуль комплекса тока

А,

аргумент комплекса тока (начальная фаза)

,

тогда комплекс тока в показательной форме

,

его комплексная амплитуда .

Чтобы определить мгновенное значение тока i, необходимо перейти от показательной формы комплекса мгновенного значения тока к геометрической форме, из которой i равно мнимой части комплекса без j:

комплекс мгновенного значения тока в показательной и геометрической формах:

,

мгновенное значение тока

.