3.16. Электрическая цепь с параллельным соединением приёмников

Р ассмотрим электрическую цепь с параллельным соединением катушки индуктивности с сопротивлением R и индуктивностью L и

Рис. 3.35 Рис. 3.36

идеального конденсатора с ёмкостью С (рис. 3.35).

Заменим ветвь цепи с последовательным соединением R и L эквивалентной схемой с параллельным соединением G и B_L (рис. 3.36). Определим проводимости этой схемы по формулам (3.99):

активная проводимость

;

индуктивная проводимость

;

ёмкостная проводимость

.

При параллельном соединении элементов цепи мгновенное значение тока i всей цепи, согласно первому закону Кирхгофа, равно алгебраической сумме мгновенных значений токов отдельных ветвей:

. (3.101)

Определим токи ветвей при заданном синусоидальном напряжении :

, (3.102)

где  амплитудное значение активного тока в сопротивлении R_Э. Разделив левую и правую части этого равенства на , получим действующее значение тока

. (3.103)

Ток в индуктивности i_L определим из выражения:

,

а именно ; взяв интеграл от левой и правой частей этого равенства, получим:

, (3.104)

где  амплитуда тока в индуктивности L_Э.

Действующее значение этого тока

. (3.105)

Ёмкостный ток

, (3.106)

где  амплитуда тока в ёмкости С.

Действующее значение ёмкостного тока

. (3.107)

Подставив в уравнение (3.101) выражения активного (3.102), индуктивного (3.104) и ёмкостного (3.106) токов, получим:

, (3.108)

т. е. мгновенное значение тока в неразветвлённой части цепи изменяется по синусоидальному закону, так как он определяется суммой трёх синусоидальных величин. Определим величину этого тока из векторной диаграммы.

При построении векторной диаграммы для электрической цепи с параллельным соединением элементов (рис. 3.36) в качестве исходного вектора принимается вектор напряжения U, являющийся общим для всех элементов. Относительно вектора напряжения строятся векторы токов с учётом фазового сдвига. Сравнивая фазу напряжения с фазами токов i_R, i_L, i_C (выражения (3.102), (3.104), (3.106)), видим, что активный ток i_R совпадает по фазе с напряжением, индуктивный ток i_L отстаёт от напряжения на угол , а ёмкостный ток i_С опережает напряжение на угол .

П оэтому на векторной диаграмме для действующих значений напряжения и токов (рис. 3.37) вектор активного тока I_R совпадает по направлению с вектором U, вектор индуктивного тока I_L отстаёт от вектора U на угол 90, а вектор ёмкостного тока I_С опережает вектор U на угол 90. Векторная диаграмма построена

Рис. 3.37 для случая, когда I_L  I_С.

Сумма векторов I_L и I_R

определяет вектор тока в катушке I_К, а сумма векторов I_К и I_С  вектор тока в неразветвлённой части цепи I. Из векторной диаграммы видно, что ток I отстаёт от напряжения U на угол , так как I_L  I_С, т. е. цепь имеет индуктивный характер нагрузки.

Соединив концы векторов I_R и I, получим прямоугольный треугольник токов, катетами которого являются активный ток I_R и реактивный ток I_X = I_L  I_С, а гипотенузой – ток в неразветвлённой части цепи I. Из треугольника тока имеем:

;

, (3.109)

где  реактивная проводимость цепи.

, (3.110)

где  полная проводимость цепи.

, (3.111)

где  полная проводимость катушки индуктивности. Разделим все стороны треугольника токов

( рис. 3.37) на общий множитель – напряжение U, получим прямоугольный треугольник проводимостей (рис. 3.38), который подобен треугольнику токов. Катетами

Рис. 3.38 треугольника проводимостей

являются активная G и реактивная

B проводимости, а гипотенузой – полная проводимость Y.

Из треугольника проводимостей имеем:

;

;

.

. (3.112)

Из выражения (3.112) следует, что если B_L B_C , то угол сдвига фаз положителен (  0), т. е. цепь имеет индуктивный характер; если B_L B_C , то   0, следовательно, цепь имеет ёмкостный характер.

Определим мощность каждой ветви и всей цепи (рис. 3.35) с учётом выражений (3.103), (3.105), (3.107), (3.109).

Активная мощность цепи

; (3.113)

Реактивная мощность цепи

; (3.114)

Индуктивная мощность ветви с катушкой

; (3.115)

Ёмкостная мощность

. (3.116)

Тогда

. (3.117)

Полная мощность цепи

. (3.118)

Полная мощность катушки

. (3.119)

У множив каждую сторону треугольника токов на U или треугольника проводимостей на U², получим подобный им прямоугольный треугольник мощностей (рис. 3.39), для

Рис. 3.39 которого справедливы следую-

щие выражения:

; (3.120)

. (3.121)