3.18.3. Закон Ома в комплексной форме
Рассмотрим электрическую цепь с последовательным соединением R, L, C (рис. 3.21).
Для этой цепи записано уравнение (3.59)
.
Выразим каждую составляющую этого уравнения через ток i:
.
(3.136)
При синусоидальном напряжении
,
которое изображается комплексом
,
ток в цепи (рис. 3.21) будет также синусоидальным
,
изображаемым комплексом
.
Тогда комплексное изображение производной тока в соответствии с (3.134)
,
а изображение интеграла по формуле (3.135)
,
где = знак соответствия.
С
учётом полученных комплексных изображений
для i,
u,
,
,
перейдём от интегрально-дифференциального
уравнения (3.136) к комплексному уравнению,
в которое постоянные коэффициенты цепи
R,
L,
C
перейдут без изменения:
.
Сократив это уравнение на множитель вращения , получим:
.
Поделив левую и правую части уравнения на , перейдём от комплексных амплитуд к комплексам действующих значений тока и напряжения:
.
Отсюда
.
(3.137)
Полученное
выражение (3.137) представляет собой закон
Ома в комплексной форме.
В этом выражении
называется комплексным
сопротивлением.
Для цепи с последовательным
соединением
R, L, С
,
или,
умножив и разделив третий член уравнения
на j,
получим, учитывая, что
:
.
3.18.4. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость
Для некоторой электрической цепи известны комплексные напряжение и ток:
;
,
тогда
.
Изобразим в координатах комплексной плоскости задан-ные комплексные напряжение и ток (рис. 3.52).
По закону Ома в комплексной форме (3.137) комплексное сопротивление
Рис. 3.52 цепи
(3.138)
где R, X, Z соответственно активное, реактивное и полное сопротивления цепи.
Таким образом, в показательной форме комплексного сопротивления его модуль равен полному сопротивлению цепи Z, а аргумент – углу сдвига фаз .
Графически в координатах комплексной плоскости комплексное сопротивление изображается неподвижным вектором с
с
оставляющими
– активным сопротивлением R
по оси вещественных и реактивным X
– по оси мнимых (рис. 3.53).
Необходимо иметь в виду, что знак «+» у мнимой части комплексного сопротивления сохраняется в конкретном числовом выражении при индуктивном характере нагрузки ( 0) и переходит в «» при ёмкостном характере
Рис. 3.53 нагрузки ( 0).
Отношение комплексных
тока и напряжения называется комплексной проводимостью
(3.139)
где G, B, Y соответственно активная, реактивная и полная проводимость электрической цепи.
Таким
образом, в
показательной форме комплексной
проводимости
модуль равен полной проводимости Y,
а аргумент – углу сдвига фаз со знаком
«минус».
Графически комплексная проводимость изображается неподвижным вектором и образует с составляющими – активной проводимостью G по оси вещественных и реактивной проводимостью B по оси мнимых – прямоугольный треугольник проводимостей (рис. 3.47). Вектор имеет направление, сопряжённое с направлением обратного ему вектора .
Знак «» у мнимой части комплекса проводимости сохраняется в конкретном числовом выражении при индуктивном характере нагрузки ( 0) и переходит в «+» при ёмкостном характере нагрузки ( 0).
Как следует из определения, произведение
или
,
т. е. комплексные сопротивление и проводимость являются величинами взаимно обратными.
Оперируя с комплексными напряжением и током, следует помнить, что аргументы их и и i не дают угла сдвига фаз цепи, а дают лишь угол, составляемый вектором напряжения или тока с осью вещественных (рис. 3.52). Угол сдвига в цепи определяется или как разность аргументов и и i , или как аргумент , или как взятый с обратным знаком аргумент .
Пример 3.5. Мгновенные значения напряжения и тока двухполюсника заданы уравнениями:
,
В;
,
А.
Определить комплексным методом активные, реактивные и полные сопротивления и проводимости двухполюсника, а также угол сдвига фаз. Построить векторную диаграмму напряжения и тока в координатах комплексной плоскости и изобразить эквивалентные схемы двухполюсника: последовательную и параллельную.
Р
е ш е н и е :
Определяем действующие значения
напряжения и тока:
В;
А.
Комплексные напряжение и ток в показательной и алгебраи-ческой формах:
В,
Рис.
3.54
.
Векторная диаграмма напряжения и тока в координатах комплексной плоскости изображена на рис. 3.54.
Комплексное сопротивление
См,
п
о
которому определяем:
активное сопротивление R = 17,32 Ом;
реактивное сопротивление X = 10 Ом (индуктивное);
полное сопротивление Z = 20 Ом;
угол сдвига фаз = 30, следовательно
Рис. 3.55 двухполюсник имеет индуктивный
характер.
Эквивалентная последовательная схема изображена на рис. 3.55.
Комплексная проводимость
См.
По комплексной проводимости определяем:
активную проводимость G =0,0433 См;
реактивную проводимость В = = 0,025 См (знак «» у реактивной проводимости показывает на индук-тивный характер);
полная проводимость Y = 0,05 См;
угол сдвига фаз по комплексной проводимости равен аргументу с
Рис.3.56 обратным знаком
= ( 30) = 30.
Эквивалентная параллельная схема на рис. 3.56.
Пример 3.6. Мгновенные значения напряжения и тока двухполюсника заданы уравнениями:
В;
А.
Определить комплексным методом активные, реактивные и полные сопротивления и проводимости двухполюсника, а также угол сдвига фаз. Построить векторную диаграмму напряжения и тока в координатах комплексной плоскости и изобразить эквивалентные последовательную и параллельную схемы двухполюсника.
Р е ш е н и е. Определяем действующие значения напряжения и тока:
В;
A.
Комплексные напряжение и ток:
В,
А.
Векторная диаграмма на рис. 3.57.
Комплексное сопротивление
Рис.
3.57
См.
Следовательно, R = 10 Ом, X = 17,32 Ом, Z = 20 Ом, = 60.
Так как 0, двухполюсник имеет ёмкостный характер. Эквивалентная последовательная схема – на рис. 3.58.
К
омплексная
проводимость
Рис.
3.58
См.
По комплексу имеем:
G = 0,025 См, В = 0,0433 См, Y = 0,05 См
(знак «+» у реактивной проводимости показывает на ёмкостный характер). Угол сдвига фаз по комплексной проводимости равен аргументу с обратным знаком = 600.
Эквивалентная параллельная схема на рис. 3.59.
Рис. 3.59