книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность
..pdfРис. 2.53. Определение критичес- |
Т. |
кой погонной нагрузки |
|
/
1 2 3 % $■ т
Если рассматривается сильно удлиненная пластина (а » Ь), то при потере устойчивости образуется большое число полуволн т вдоль оси Ох. В этом случае допустимо считать т непрерывным параметром и выполнить минимизацию аналитически. Обозна чив т~ = р, из (2.162) получим
(2.163)
Подставив значение т 2 (2.163) в выражение для Т (2.162), получим величину критического погонного усилия
(2.164)
Рассмотрим определение значения критического погонного усилия для удлиненной многослойной пластины, имеющей струк туру [±ф] (рис. 2.54). Воспользуемся нитяной моделью ОКМ.
Примем в качестве координатной поверхности I - 0 средин ную поверхность пластины. Воспользовавшись нитяной моделью ОКМ, подсчитаем изгибные жесткости пластины:
Ип = #со54ср; Х)22 = 0 5 т 4ср; 2)12 = /)33 = 1)8т2фсо$2ф,
Рис. 2.54. Схема удли ненной пластины со структурой ± ф
где
Б = ЕхНг/П .
Согласно (2.164) вычислим
1С . 2~>
— 51П 2ф ,
и максимальное значение 7^ соответствует структуре [±45°]. Вторая схема соответствует удлиненной пластине, шарнирно
опертой по трем сторонам и сжатой в направлении длинной сто роны (рис. 2.55)
Для приближенного решения аппроксимируем нормальный прогиб и> в виде следующей функции
IV= IV у •81п тх, |
(2.165) |
а
Тогда кривизны и крутка пластины будут определяться выра жениями:
(2.166)
г |
Т |
|
У |
|
Рис. 2.55. Схема потери устой |
|
чивости сжатой прямоугольной |
Т |
пластины с одной свободной |
стороной |
Угол сох поворота нормали в плоскости х0*
Л. = |
= -IVту сов тх. |
(2.167) |
Задав возможный прогиб 8и> в виде, аналогичном (2.165), т. е. бн» = ЗИ^ЗШ/ЙХ,
получим
8«вЛ.= 8 з ш /и х ; 8эе;.= 0;
= (2.168) 8%<г = -26ИОнсоз/7?х; 8сод. -Ь№ ту созтх.
Далее воспользуемся вариационной формулировкой задачи устойчивости (2.158). Подстановка (2.166)—(2.168) и (2.157) в (2.158) дает
1 (о Ит4у 251п2 тх + 4Д33/й2 соз2 тх - Тт2у 2соз2 тх)с1х<1у = 0,
оо
Пц/й4 ~ + 4ЭггЬт- - Т п г ^ =
Отсюда
и при т = 1 получим значение критической сжимающей погон ной силы
12Д33 Г. Рц п2 Ь2)
(2.169)
Ь2 Г Д 3312й2|
Для удлиненной пластины (Ь « а) из (2.169) имеем
7-кр= ^ Р - |
(2-170) |
Полученные выражения для критических значений погонных сжимающих сил используются для оценки местной потери ус тойчивости полок подкрепляющих элементов (рис. 2.56).
Те полки, которые опираются на два ребра профиля (поз. /, рис. 2.56), рассчитывают по схеме шарнирно опертой по контуру удлиненной пластины. Полки, опирающиеся одной стороной на ребро профиля (поз. 2, рис. 2.56), соответствуют схеме пластины, шарнирно опертой по трем сторонам.
Рис. 2.56. Профили подкрепляющих элементов:
1— полки, опирающиеся на два ребра профиля; 2 — полки, опирающиеся одной стороной на ребро профиля
Пример 2.12
►Требуется определить рациональное соотношение попереч ных размеров полок швеллера (рис. 2.57) для изотропных мате риалов и для композиционных материалов с укладкой [±ср]. Вос пользоваться нитяной моделью КМ.
Будем считать соотношение Ь1/Ь2 поперечных размеров по лок рациональным, если полки А и В равноустойчивы. Прирав няв значения критических погонных усилий
получим
(2.171)
Рассмотрим случай изотропного материала с коэффициента* ми упругости Е; р; О = Е/2(1 + ц). Тогда коэффициенты изгибных жесткостей будут
33 2
Рис. 2.57.Задача определе-
рационального соотно* шения полок швеллера
где
и согласно (2.171) получим (при ц. = 0,3)
Рассмотрим случай КМ с укладкой [±<р]. Воспользовавшись нитяной моделью ОМ, вычислим коэффициенты изгибных жес ткостей
= / ) с о 54ф ; й у у = />51П4ф ; / ) и = Л 12 = / > 8 т 2ф с о 5 2ф ,
Тогда согласно (2.171) получим
|2 _ 6Р8Ш2фС032ф _ _3_
) 712Д б т 2фсо$2ф-4 2я3
Таким образом, при соотношении поперечных размеров по
лок А,/А2 = ^Щ /п = 0,39 полки равноустойчивыдлялюбых струк
тур [±ф]. (Следует помнить, что этот результат получен в рамках нитяной модели ОКМ.) ■
Пример 2.13
►Определить ширину горизонтальной полки г-образного профиля из условия местной равноустойчивости всех полок (рис. 2.58). Структура КМ [±45У0°/(±45*)]. Для полки А А0 = 2А; А45 = А. Для полки В принято А0 = А45 = 2А. Воспользоваться
нитяной моделью. Принять А «С А, А,.
Поскольку в данном профиле полки А и В обладают разны
ми мембранными жесткостями, формулировать условие равно устойчивости целесообразно через равенство критических де формаций.
Рассмотрим полку А. Вычислим изгибные жесткости.
Рис. 2.58. Задача определения параметров г-образного профиля Обозначим Д = Е ^ 3, тогда
А, =4(4(2= -!’))■ "Т-
А ! = й 2! = С33 = / . | ( 1 (2 » - 1') ] = с | .
Вычислим критическое погонное усилие:
Вычислим для полки А мембранные жесткости:
Для определения ехвоспользуемся соотношениями упругости для мембранных факторов:
= Виех + ВиЕ,,!
и у = Впгх +В22гу.\
В этих соотношениях положим N х = Т^р; N у = 0, тогда получим
Вж= 5„ - Ви/Вх = ЕуИ'Х
или в развернутом виде
< ‘ {т1г^т+2'1У |
<2л72) |
Рассмотрим полку В. Вычислим изгибные жесткости
0 ,! = й и = А э = 4 5 ( 3 1 - 1 !) = о Н .
Критическое погонное усилие для полки В
Вычислим мембранные жесткости для полки В:
А ,= А * ( 2 + 5 (2 + 2 )) = ^ * -3 ;
В1 1 =Д !1 = г ,* 1 ( 2 + 2) = Л*-
Тогда
Вх —Вц - В Ц В ъ —Е^И-2,
Приравняем значения критических деформаций для полок А к В
^ ( Т 7 7 + 2.) = 2б (А ] , I Ь) 6
отсюда получим
Пример 2.14
►Изотропную длинную пластину, сжатую в продольном на правлении, заменим на пластину из КМ с эквивалентными мем бранными жесткостями. Как при этом изменятся значения кри тических нагрузок? Рассмотрим вариант шарнирного опирания по четырем (см. рис. 2.52) и трем (см. рис. 2.55) сторонам. Для решения воспользуемся нитяной моделью ОКМ.
Рассмотрим вариант шарнирного опирания по четырем сто ронам. Для изотропного материала при р = 1/3 изгибные жестко сти пластины
и согласно (2.162) получим
Для композитной пластинки с эквивалентными мембранны ми жесткостями воспользуемся результатами, полученными в примере 2.10 (2.153):
и определим значение критической нагрузки (2.164)
22,4.
Тогда
Для материалов КМУ-4 и Д16 (Е/Е{ - 0,4) получим
Для удлиненной пластины, шарнирно опертой по трем сто ронам, согласно (2.170) получим
Для материалов КМУ-4 и Д1б будем иметь
2,52. ■
2.7. УСТОЙЧИВОСТЬ тонких многослойных
ШАРНИРНО ОПЕРТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
2 .7 .1 . Внешнее давление
Рассмотрим задачу об устойчивости тонкой многослойной оболочки, нагруженной внешним давлением (рис. 2.59).
* Ш Т Ш Т Т Ш Г
Ш/ Ау/
Т ж т т т т #
Рис. 2.59. Устойчивость цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением:
а — продольное сечение; б — поперечный разрез
Рис. 2.60. Ортогональная кри волинейная система координат х, у, г, связанная со срединной поверхностью иилиндрической оболочки
Для описания кинематики деформирования введем цилиндрическую систему координат (рис. 2.60).
Обозначим проекции полного перемещения на оси подвиж ного триэдра и, V, и». Воспользуемся кинематическими допуще ниями полубезмоментной теории цилиндрических оболочек. Согласно этим допущениям окружные деформации и деформа ции сдвига координатной поверхности равны нулю:
Эу
= э /
(2.173)
V*- ду дх = 0.
Два уравнения (2.173), связывающие три перемещения и, V, и», позволяют сократить число неизвестных и ввести функцию Ф(х, у), такую, что
ЭФ . |
= Я Э2Ф |
(2.174) |
дх ’ |
Эу2 ‘ |
|
В этом случае уравнения (2.173) удовлетворяются тождест венно.
Для свободно опертой цилиндрической оболочки дадим ап
проксимацию функции Ф в виде |
|
|
Ф {х,у) = Ф ^зш /лхаш лу, |
(2.175) |
|
_ т п . _ |
л_. |
|
/ ’ |
= я ; |
|
т — число полуволн вдоль образующей при потере устойчивос ти, т = 1, 2, ...; п — число волн в окружном направлении при потере устойчивости.