книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность
..pdf2.5. ОПТИМАЛЬНОЕ АРМИРОВАНИЕ
МНОГОСЛОЙНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ
ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Многослойные композиционные тонкостенные элементы, работающие при плоском напряженном состоянии, достаточно часто встречаются в различных силовых конструкциях. К таким элементам можно отнести стенки стрингеров, лонжеронов, не рвюр; силовые перегородки; проставки; безмоментные оболоч ки, обшивки трехслойных панелей и др. (рис. 2.38). В этом раз деле рассмотрим критерии оптимальности многослойных паке тов, исходя из ограничений по прочности (вопросы устойчивости будут рассматриваться в следующих разделах).
Рис. 2.38. Примеры использования тонких пластин в силовых элементах конструкций
На примере прямоугольной пластины приведем основные соотношения, необходимые для решения задачи статики при плос ком напряженном состоянии. Одним из характерных случаев нагружения тонких пластин является такой, когда действующие нагрузки приложены вдоль контура пластины и создают плоское напряженное состояние (рис. 2,39).
Для решения задачи о плоском напряженном состоянии пла стин используют следующие основные соотношения.
Рис. 2.39. Тонкая пластина при плос ком напряженном состоянии
Соотношения для деформаций |
|
|
|
||
ди |
Эу . |
ди |
| Эу |
(2.95) |
|
1х ~ дх ’ Е>- |
ду' |
ду |
дх ’ |
||
|
|||||
где и(х, 3»), у(х, у) — проекции полного перемещения точки с координатами (х, у) на оси Ох и 0у соответственно.
Соотношения упругости для пластин с симметричным распо ложением по толщине слоев при совпадении осей упругой сим метрии с осями Ох, Оу
К = ВПЕХ + Ви Ея
Му= в и ех + В 22еу, |
(2.96) |
К У= ^ззУл,,
где Ву — мембранные жесткости многослойного пакета. Уравнения равновесия для случая отсутствия поверхностных
иобъемных распределенных сил
Жх ( дМ^.
= 0;
дх ду
(2.97)
дх
Граничные условия:
^на контуре при х = соп$1 может быть задано:
•или перемещение и, или погонная сила ТУ*;
•или перемещение у, или касательная сила Л^.;
при у = сопзГ могут задаваться:
•или перемещение у, или погонная сила Ыуу
•или перемещение и, или касательная сила
Ограничимся частным случаем плоского напряженного со стояния, когда считаются известными нормальные погонные силы Л/*, Nу (при ситуации, когда они одного знака) и касательные силы равны нулю (рис. 2.40).
Рис. 2.40. Однородное плоское напря женное состояние при отсутствии каса тельных сил
/
"С? ^ Ё *
А / / ^
Рассмотрим многослойный пакет, состоящий из п слоев. Каж дый /-й слой содержит одинаковое число волокон, уложенных под углами +<р( и —ср, к оси Ох (рис. 2.41).
Рис. 2.41. Структура многослойного пакета, набранного перекре стно армированными слоями
Воспользуемся нитяной моделью ОКМ, тогда погонные уси лия IV, и Му будут определяться следующим образом (см. (2.36)) (рис. 2.42):
м х = X с 'х Ь |
= X °! 0052 Ф/; |
1=1 |
/=1 |
Му = |
= Х °1 Л/ з1п2Ф/> |
/=1 |
/=1 |
(2.98)
(2.99)
где о! — напряжение вдоль волокон в перекрестно-армирован ном слое.
Рис. 2.42. Расчетная схема — «нитяная» модель ОКМ
Покажем, что конструкция минимальной массы, содержащая п слоев из одного материала, соответствует равнопрочной конст
рукции при максимальных значениях а] = а,.
Из выражений (2.98) и (2.99), исключив углы <р„ получим
N x + N у = ^^о\Ь^. |
(2.100) |
/=1 |
|
Для однородного материала погонная масса пропорциональ на суммарной толщине многослойного пакета. Условие (2.100) будет выступать как дополнительное ограничение в виде равен ства. Тогда, воспользовавшись методом множителей Лагранжа, сформируем функцию цели
Р = Ъ 1Ь - Х |
(2. 101) |
где в качестве независимых переменных выступают А, и X. Получим условия стационарности для Г по переменным А,
| ^ = 1 - Хст; = 0, (/ = 1, 2, ..., и). |
(2.102) |
Из (2.102) следует, что напряжения а'] во всех слоях одинако вые, т. е. конструкция должна быть равнонапряженной
1 = р 0 = 1, 2, ..., и). |
(2.103) |
Подстановка (2.103) в (2.101) дает для равнонапряженной кон струкции следующее значение функции цели:
г. = \(мх + лу.
Минимальное значение функции цели будет соответствовать минимальному значению множителя X. Как следует из (2.103), ^тш = 1/^1, где Ст! — предел прочности ОКМ вдоль направления укладки волокон. Тогда минимальная толщина многослойного пакета
(2.104)
о}=- |
(2.105) |
что соответствует равнопрочной конструкции. Условие (2.105)
позволяет исключить напряжения а', из соотношений (2.98), (2.99) и получить
(2.106)
^ И, С052 ф,- ^ х |= 1
Таким образом, любой многослойный пакет, удовлетворяю щий условиям (2.104), (2.106), будет оптимальным. Задача опти мального проектирования имеет бесконечное множество реше ний, поскольку для определения 2и параметров (й„ / = 1,2,..., п; Ф„ / = 1,2, ..., п) есть только два уравнения (2.104), (2.106). Для однослойной пластины получим однозначное решение
, N x + N у |
. |
N. |
(2.107)
а.N.
Рассмотрим несколько примеров.
►Для пластины, нагруженной погонными усилиями
УУА.= Р; IV, = аР; (Р> 0; а > 0); |
= 0, |
требуется определить толщины слоев, уложенных под углами ср = 0° и ±<р по отношению к оси Ох Воспользоваться нитяной моделью, предел прочности ОКМ вдоль направления армирова ния принять равным о,.
Обозначим искомые толщины слоев А, = А0 и й2 = Аф; углы укладки слоев будут ф, = 0е и ф2 = ±ф. Тогда, воспользовавшись условиями оптимальности (2.104), (2.106), запишем
N x + N у |
Р(1 + а) |
= |
- --- • ; |
а 1 |
СТ1 |
йф з т 2 ф |
(2.108) |
|
~ Ы + К 00x2 41 *
или
айд = йф ( з т 2 ф - асоз2 ф) = йф (1- (а + 1)соз2 ф).
О
-1 Рис. 2.43. Оптимальные параметры для пластины со структурой
[ 0 ° /( ± ф )1
Отсюда
\ = 1 (1 _ (а + 1)со52ф). |
(2.109) |
Полученный результат графически представлен на рис. 2.43. Решения, соответствующие отрицательным значениям Л0/йф, физически не оправданы. Эквивалентные в отношении прочности и массы проекты могут быть получены для различных углов <р ук
ладки перекрестно армированного слоя <р. <<р< 90*, где ср. = агс^Тос. Например, для <р = <р. получим й0 = 0, Аф = Р (1 + а)/о ,; для ф = 90' получим Ло/Лэд = 1/а, тогда из (2.108) определим
РР
Притер 2.6
►Для пластинки, нагруженной погонными усилиями Мх = Р, Му = а Р; (Р > 0, а > 0); = 0, требуется определить толщины слоев, уложенных под углами ф = 90' и ± ф по отношению к оси Ох Воспользоваться «нитяной» моделью. Предел прочности ОКМ вдоль направления армирования принять равным о,.
Обозначим искомые толщины слоев Нх = Аэд, й, = йф; углы укладки слоев будут ф , = 90' и ф 2 = ± ф . Воспользовавшись усло виями оптимальности (2.104), (2.106), запишем
Р(1 + а)
О]
(2. 110)
/^ 0 + Йф 8Ш 2 ф
С082 ф
к^ = кч (асоз2 ф- 51П2 ф) = ку [(а + 1)соз2 ср —1].
Отсюда
-р~ = (см-1)соз2ф-1. |
(2.111) |
лф
График зависимости А^/А, (2.111) показан на рис. 2.44.
Рис. 2.44. Оптимальные параметры для пластины со структурой
[9 0 У (± ф )1
Отрицательные значения А^/А,, смысла не имеют. Эквивалент ные проекты могут быть получены для различных углов укладки Ф, выбранных из диапазона 0 < ф < ф.. ■
Объединяя решения примеров 2.5, 2.6, получим результат, который графически представлен на рис. 2.45, где для структуры пластины [90°/(+ф)] следует принять А, = А90; а для [0°/(±ф)] - тоже А, = А0.
Рис. 2.45. Оптимальные параметры пластин со структурами слоев
[9 0 У (± ф )1 , [0 У (± Ф)]
Очевидно, что для а > 1 (Л^. > Мх) предпочтительней оказы вается вариант проекта со структурой [90’/(±ф)], поскольку ди апазон выбора углов укладки перекрестно армированного слоя больше, чем для структуры [0°/(±ср)]. В случае а < 1 (Л/* > ТУ,.) ситуация оказывается обратной. Для структуры [0°/90’1 отноше ние толщин Ло/Лад будет пропорционально отношению погонных усилий (слои с укладкой <р = 0” воспринимают только уси лия ЛГг> слои с укладкой <р = 90’ воспринимают только усилия так как в расчетной схеме использована «нитяная» модель ОКМ).
Отметим, что условие оптимальности (2.106) можно получить, сделав предположение о том, что в оптимальном проекте жесткостные характеристики пластины обеспечивают равенство глав ных деформаций в системе координат конструкции, т. е.
ех = е ,= е; уч.= 0. |
(2.112) |
||
Действительно, из соотношений (2.96) получим |
|
||
ЛГЛ.= |
(ДП + Д 12)в, |
|
|
Л/,.= (Д12 + Я22)е, |
(2.113) |
||
К У = ДзэV |
|
||
Тогда |
|
|
|
|
_ В12 + Д22 |
(2-114) |
|
Мх |
5 п + 5 ]2’ |
||
|
|||
где для нитяной модели ОКМ мембранные жесткости Ву много слойного пакета имеют вид:
ди = ЕА с°з4 ч>/»Ег>- ЕЕА 8*п4 ф.ч
|
|
/=1 |
1-1 |
(2.115) |
|
|
|
|
|
|
Д33 = |
д 12 = Е Е Ж СОЗ2 ф,- 31П2 ф ,. |
|
|
|
|
/=1 |
|
|
Здесь п — число слоев. Подстановка (2.115) в (2.114) дает |
||||
. |
^ Д ,Л / (5 т4ф/ +соз2ф/ 8 т 2ф/) |
^ Л ,-з т 2ф/ |
||
N у |
_ 1=1 |
_______________________________ _^1___________ |
||
^ х |
5} Езй; (соз4 фу |
+ СОЗ2 ф; 51П2 ф,) |
^ И, СОЗ2 ф;. |
|
1=1 |
1=1 |
что соответствует условию оптимальности (2.106). Отметим также, что поскольку для /'-го слоя справедливы преобразования компо нент деформированного состояния, аналогичные (2.44), т. е.
(2.116)
где /= 1, 2,..., и, то при равенстве главных деформаций (2.112) из (2.116) имеем
0; / = 1,2, |
(2.117) |
Полученные выражения для деформаций /-го слоя (2.117) показывают, что в оптимальном проекте жесткостные характери стики соответствуют (2.114) и обеспечивают одинаковые удлине ния в осях слоя и отсутствие сдвигов.
Условие оптимальности (2.104) также можно получить из (2.113). Для этого определим деформацию е следующим образом (см. (2.113)):
Для нитяной модели согласно (2.115) вычислим
И для предельных деформаций е = е, соответствующих разру шению ОКМ вдоль волокон ё = а 1/Е и из (2.118) получим
ст1 ^ + Ы,
или
что соответствует (2.104).
Поставленную задачу об оптимальных параметрах пластины при Мх > 0; Л^. > 0; = 0 решим, отказавшись от нитяной модели. Для оценки прочности ОКМ воспользуемся критерием, предель ная поверхность которого определяется выражением
= 1. |
(2.119) |
СГ, |
0 ^ 2 |
Ст2 |
Т 22 |
В качестве дополнительных требований, обеспечивающих оп тимальную структуру многослойной пластины, будем рассматри вать (как и в нитяной модели) условие равнопрочности и условие отсутствия сдвигов в слоях ОКМ. В этом случае должно выпол няться условие для жесткостей (2.114), а предельная деформация ОКМ (2.118) должна ограничиваться условием прочности (2.119).
Для расчета мембранных жесткостей многослойного пакета воспользуемся полными соотношениями (2.50), (2.62), учитыва ющими жесткость ОКМ на растяжение поперек волокон и сдвиг. В развернутом виде эти соотношения можно записать следую щим образом:
В\1 = Х А ( ^ 1 соз4 Ф,- + з т 4 ср, + Оп з т 2 2<р,- + 2Ё|Ц2, ап2 <р( соз2 <р,),
Вц= Х А (^ 1 ЯП4 ср; + Ё 2 сое4 ф, + 01281П2 2ф( + 2Я,р2| я п 2 Ф;0052 Ф<)>
Ва = З Д ((^, + Ё ,)зт2 ф, соз2 ф ,-О п з т 2 2ф,- + (зт4 ф, + сое4 ф ,)),
з т 2 ф; соз2 ф, +Оп соз2 2ф( - 2^|а215т2 Ф, соз2 ф,), |
Тогда