книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность
..pdfнарушения монолитности слоя (трещинообразования). Если вы полняется условие
при о, < а, |
(2.13) |
то трещин в ОКМ нет. В этом случае критерий прочности можно ограничить цилиндрической поверхностью, представленной на рис. 2.8, а.
.................. (&+ * Д
Рис. 2.8. Упрошенное представление поверхностей прочности ОКМ
В наиболее простом виде критерий прочности можно пред ставить следующим образом:
|т12|< т 12, |
(2.14) |
что соответствует поверхности, изображенной на рис. 2.8, б.
2 .2 . ПРИВЕДЕННЫЕ
МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОКМ
Поставим задачу следующим образом. Будем считать, что нам известны следующие характеристики составляющих ОКМ (во локна и матрицы):
•Ем — модули упругости материала волокна и матрицы;
•Св, Ом — модули сдвига материала волокна и матрицы;
•рв, цм — коэффициенты Пуассона материала волокна и
матрицы;
•а в> а м — коэффициенты линейного температурного рас ширения;
•/ п, / м — относительное объемное содержание в ОКМ волок
на и матрицы; / в называют коэффициентом армирования; оче видно, что/в + / м = 1.0-
Требуется определить:
• 2Г, — приведенный модуль ОКМ вдоль направления арми рования;
• Е2 — то же поперек направления армирован
• 6 п — то же на сдвиг в плоскости слоя;
•Мп. И:1 — коэффициенты поперечных деформаций ОКМ;
•а ° , — приведенные коэффициенты линейного темпе ратурного расширения ОКМ вдоль и поперек армирования соот ветственно.
Составим упрощенную схему ОКМ (рис. 2.9). Рассмотрим образец ОКМ, имеющий ширину а„ длину /, толщину, равную единице. Мысленно разделим материалы волокна и матрицы и представим, что образец (рис. 2.9, в) состоит из двух слоев — слоя матрицы и слоя материала волокна.
бв
Рис. 2.9. Переход к расчетной схеме ОКМ:
а — исходный материал; б — схема шпона; е — двухкомпонен тная схема
Очевидно, что, сохранив исходные объемы материалов во локна и матрицы, получим
°в = а /в! аы = а 'Ум* |
(2.15) |
Определим приведенный модуль Е, вдоль направления арми рования. Для этого рассмотрим эксперимент на растяжение об разца вдоль волокон (рис. 2.10, а).
Обозначим: а 1 — среднее напряжение; а 1Ви <т1М— напряже ния в материале волокна и матрицы. Составив уравнение равно весия (в проекциях оси на ось 01), получим
(2 .16)
аб
<*2.
Рис. 2.10. Схема определения приведенных модулей ОКМ:
а —растяжение вдоль армирования; б— растяжение поперек армирования
Воспользуемся законом Гука, который запишем для средних напряжений о,, а также для напряжений <т1В, ст|М:
СТ1 = ^ ] ' Е Ц <?1 М = ^ М е |> <Т1 В = ^ В ‘ Е 1‘ |
(2.17) |
Здесь учитывается, что при продольном нагружении дефор мации волокна и матрицы равны е1В= е,м = е,. Тогда из (2.16) с учетом (2.15) получим
Е\ •в| • а = Ем С) а -/м + ^ в • Е! • а -/в.
Отсюда находим приведенный модуль ОКМ вдоль направле ния армирования
^1 = ’/м + *в ‘/в-
Определим приведенный модуль Е2 в направлении поперек ар мирования. Для этого рассмотрим эксперимент на растяжение об разца в направлении поперек волокон (рис. 2.10, б). Общее удли нение образца в направлении оси 02 будет равно е2а, где е2 — средняя деформация вдоль оси 02. Эго удлинение будет склады ваться из удлинения слоя волокна и удлинения слоя матрицы. За пишем это:
Ез • а —Е2М• ам + с2в ■дв. |
|
(2.18) |
|
Поскольку при растяжении вдоль оси 02 напряжения о2В, а2М |
|||
° 2 . |
_ СТ2М . |
ст2в |
(2.19) |
равны среднему напряжению <т2, воспользовавшись законом Гука |
|||
* 2 |
~ * м ’ |
* в |
|
= ст2В, а также соотношениями (2.15), из (2.18) получим
■а
а.Ц.е,
------------- ------— I «-РА
Рис. 2.12. Схема определения приведенного коэффициента попе речной деформации р)2
формированное состояние модели ОКМ показано пунктиром. Как видно из этого рисунка, общее поперечное сокращение размера а складывается из сокращения слоя матрицы и сокращения слоя материала волокна, т. е.
•Мр. = / м - а е , - р м + / в - в - е , - р в.
Огсюда следует выражение для приведенного коэффициента поперечной деформации
М-12 —/м ‘^М + /в Ив> |
(2.23) |
что соответствует формуле «смеси».
Коэффициент поперечной деформации р2,, соответствую щий деформации е, при нагружении образца напряжениями а 2 (рис. 2.13), вычисляется из условия симметрии коэффициентов матрицы упругости ортотропного материала, т. е. Е,р2| = ^М-ц- Отсюда получим
(2.24)
Определим приведенный коэффициент а[ линейного темпе ратурного расширения (КЛТР) ОКМ вдоль направления армиро вания. Нагреем образец ОКМ на ДГ градусов. Средние напряжения дол жны быть равны нулю. В этом случае можно записать
Рис. 2.13. Схема определения коэффи циента ц21 поперечной деформации
Воспользовавшись соотношениями упругости, записанными
сучетом температурных деформаций,
-^ м ' е1 “ ^м ' а м ' д
(2.26)
= ^ • Е| — Е в • а в • Д Т,
из (2.25) получим
° 1 = (^м /м + ^В */в) е1 - (^М /м а °М+^В /в ' а в )д ^ = ®-
Для средних напряжений О] закон Гука будет записы
виде |
|
|
|
о, |
= Е, -е, - Е, -а? |
Д7" |
|
и для свободного образца о, = 0. |
|
|
|
Из последних двух выражений следует |
|
|
|
в _ *м |
/м <*°м + *В /в |
• а в |
(2.27) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
где Е\ = Ем / м + Ев •/ в. Полученное выражение для а? не учиты вает влияние коэффициентов Пуассона, поскольку соотношения упругости (2.26) записаны в приближенной форме (для одноос ного, а не для двухосного напряженного состояния).
Получим приближенное выражение для КЛТР в поперечном направлении а$. Будем считать, что в направлении поперек во локон общее удлинение образца Да, равное а • Д7\ складыва ется из удлинения материала матрицы и удлинения материала волокна, т. е.
Да = а - а | -ДГ = ав |
а в -ДТ + вм ‘а м д Г - |
(2.28) |
Тогда из (2.28) с учетом (2.15) получим |
|
|
а 2 = а М |
/ м + а В " Л * |
(2.29) |
В заключение приведем соотношение упругости для ОКМ. Связь напряжений с деформациями в системе координат 012, связанной с осями упругой симметрии ОКМ, будет записываться следующим образом:
(2.30)
1-Ц|2-Ц21
(^1 '^21 = ^2 ‘ М-12)*
где а х, ст2, т12 — средние напряжения вдоль волокон, поперек волокон и сдвига соответственно; е,, е2, у12, — то же средние деформации ОКМ вдоль волокон, поперек волокон и сдвига.
С уметом температурных деформаций соотношения упругос ти принимают вид
1 = Е Г Е1 + Е г ц 2 Г е2 - ( Ё г а 01 + Ё
(2.31)
|
=°12-У12- |
Обозначение (1, 2) указывает на возможность циклической |
|
перестановки индексов (1 |
2). |
2.3. ПЕРЕСЧЕТ КОМПОНЕНТ НДС
И МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОКМ ПРИ ПОВОРОТЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
При расчете многослойных конструкций из КМ удобно анали зировать напряженно-деформированое состояние (НДС) отдель ного слоя и вычислять жесткостные характеристики в системе координат, связанной с осями упругой симметрии слоя. Однако сам расчет конструкции, как правило, выполняется с использо ванием другой системы координат, удобной для математическо го описания конструкции (рис. 2.14). Поэтому необходимо уметь выполнять преобразования компонент НДС и жесткостных ха рактеристик при смене системы координат.
У
Рис. 2.14. Система координат слоя ОКМ 0'12, повернутая на угол <р от носительно системы координат пла стины Оху
Рис. 2.15. Компоненты плоского напряженного состояния в сис теме координат слоя и конструкции
Рассмотрим преобразование компонент напряженного состо яния при смене системы координат. На рис. 2.15 представлены компоненты плоского напряженного состояния в системе коор динат слоя а,, а 2, т12 и в системе координат конструкции.
Направление волокон в ОКМ совпадает с осью 0'1 и состав ляет с направлением оси Охугол <р. Пусть нам известны напряже ния а„ ст2, т12 (в системе координат слоя), определим напряже ния 0 ^ ая т^. (в системе координат конструкции). Наиболее про сто это можно выполнить, рассмотрев уравнения равновесия прямоугольных треугольников с гипотенузами, параллельными осям Ох и Оу (рис. 2.16).
Рис. 2.16. Компоненты напряженного состояния при смене сис темы координат:
а — определение т^; б — определение ау, тх>,
Для треугольного элемента (рис. 2.16, а) будем считать, что его гипотенуза А, а толщина равна 1. Приравняем нулю сумму
проекций всех сил на ось Ох и получим |
|
|
А-ст, соз2(р + А-а, •81п2ср —2 • А-т12-зшф |
созср — |
= 0 . (2.32) |
Сумма проекций всех сил на ось 0у дает |
|
|
А ■О, • ЗШ ф ■СОЗф — А • а 2 • 51Пф • С05ф |
+ |
|
+ А • Т|2 (С05*ф - ЗШ2ф ) - |
А • Тч . = 0. |
|
Для другого треугольного элемента (рис. 2.16, б) уравнение равновесия в проекции на ось Охдаст уравнение (2.33). Прирав
няв нулю сумму проекций всех сил на ось Оу, получим |
|
||
А-а, • зш2ф + А-ст, |
со52ф + 2 т,2 -зшф созф —Ь-ау = 0. |
(2.34) |
|
Тогда из уравнений равновесия (2.32)—(2.34) получим иско |
|||
мые преобразования компонент напряженного состояния: |
|
||
= |
СТ, • С052ф + <Т3 ■5П12 |
• 51П2ф |
|
для а, =* с2, а 2 =* 52, Т|2 =* —2$-с; |
|
|
|
аг = |
а, • $ш2ф + а2 • со.ч2ф + т,2 • |
(2.35) |
|
для Ст| => л2, а2 => с2, т12 => —25-е; |
|
|
|
т:ху = (а, - а 2)^5!п2ф + т12 |
соз2ф |
|
|
для а, => 5 • с, ст2 => |
• с, т12 => с2 - .у2. |
|
|
Для нитяной модели ОКМ о2 = т12 = 0, из (2.35) получим |
|||
|
у = ст,-зт2ф; |
|
(2.36) |
|
хч. = о, -зтф -созф. |
|
|
Соотношения (2.35) можно обратить и получить выражения для напряжений в осях слоя, определенные через напряжения в
осях конструкции: |
|
|
Ст( = |
о х • соз2ф + оузн^ф + г^ .-зт 2ф; |
|
сг2 = |
аЛ.-51п2ф + сусоз2ф —хл;).-з1п2ф; |
(2.37) |
Т]2 = |
(а,. - ох) • зшф • созф + т*,. • соз 2ф. |
|
Пример 2.1
►Воспользовавшись критерием прочности (2.14), определить пределы прочности образца ОКМ в зависимости от угла <р уклад ки волокон (рис. 2.17).
Р и с. 2 .1 7 . К о п р е д е л е н и ю з а в и с и м о с т и п р е д е л а п р о ч н о с т и О К М о т угл а у к л а д к и в о л о к о н
Решение. Из соотношений (2.37) при ау = тху = 0 получаем
О] = аЛ.• соз2 ф; ст2 = ах • зш2ф; х,2 = —ах • зт ф • со$ф.
Воспользовавшись критерием прочности (2.14), получим сле дующую систему неравенств, нарушение которых приводит к
разрушению: |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
(I) ох < |
; |
(III) ах < ■ |
; (II) ах < —— ^ ------ |
. |
СОЗ^ф |
|
31П ф |
ЗШ ф -СОЗф |
|
Графическая иллюстрация полученного результата показана на рис. 2.18. ■
Рве. 2.18. Зависимость предела прочности образца ОКМ от угла укладки волокон:
I — разрушение от о,; II — разрушение от т12; III — разруше- 1 ние от о2