книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность
..pdfПредставив последнее слагаемое в виде |
|
||
Ё,ц21 (зт 4 (р,- + 2 з т 2 <р, сое2 ф, + соз4 ф,) = Ё,р21 = |
|
||
= Ё,р2) (з т 2 ф,. + соз2 ф;) = Ё!|л21 соз2 ф, + Ё2ц12з т 2 ф,., |
|
||
окончательно получим |
|
|
|
Вп + Ва = Е Л ,(^ (1 + м21)с0з2ф/ + ^ (1 + р12)8 т2ф(.). |
(2.121) |
||
Аналогичным образом вычислим |
|
|
|
В 22 + В ]2 = I А ; (Ё , (1 + Ц2,)5 т 2 Ф/ + Ё 2 { 1 + ц12)соз2Ф/). |
(2.122) |
||
Сложив (2.121) и (2.122), получим |
|
|
|
Ви +2В]2 + В22 = |
[^1 (1 + М2,) + А О + ^,2)] = |
|
|
„ |
1=1 |
_ |
(2.123) |
|
|||
= %И,[Е]+2 Е ^ |
+ Е2]. |
|
|
Отметим, что комплекс (Вп + 2В12 + В22) — это жесткость, и он является инвариантным по отношению к углам укладки слоев.
Условие оптимальности (2.114), определяющее требование к жесткостным характеристикам, с учетом (2.121), (2.122) примет вид
|
[ М 1 + 1^21 )8Ш 2 ф, + Е 2 (1 + Р 12)С 032 Ф /] |
|
= ^ |
------------------------------------------------------ . |
(2.124) |
* Ё |
Л/ [^ 1 (1 + Ии) « и 2 ф, + В2(1 + Ц12) з т 2 ф;] |
|
Второе условие оптимальности получим, ограничив предель ную деформацию выходом траектории нагружения на поверхность прочности (2.119). Сначала вычислим напряжения в слоях. По скольку оптимальная структура пакета обеспечивает условие де формирования (2.117), для любого слоя
о( = Ё ,(1 + р21)е,1
= Ё 2(1 + ц12)е, |
(2.125) |
х'2 =0. |
] |
е, = е,- = е; Л Г,-(Л п + Б и)е;
МУ= (В 12 + В22)е
(см. (2.118)).
Подстановка (2.125) в уравнение поверхности прочности
(2.119) при |
е = ё дает |
|
|
|
|
—2 Гг(1 + р2|) 2 |
Е\ Е2(1 + И|2)(1 + 1*2)) ^ О |
+ И.з)2 = 1. (2.126) |
|||
07 |
|
|
0]02 |
|
|
Из (2.118) с учетом (2.123) получим, что минимальная сум |
|||||
марная толщина многослойного пакета |
|
||||
|
|
|
1 |
N . + N у |
(2.127) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ё ^ (1 + ц21) + ^ 2(1 + ц12)‘ |
||
Подставив в (2.127) выражение для предельной деформации I |
|||||
из уравнения (2.126), получим |
|
||||
|
у |
д _ |
|
+ |
|
|
/=1 ' |
^ О |
+ МгО + ^зО + Цп) |
(2.128) |
|
/ г 2 (1 + М-31)~ |
В ,Е 2 (1 + ц ,2)(1 + р 2 |) |
Е \ (1 + р 12)2 |
|||
V |
о\ |
|
|
0 ,0 , |
а? |
Условия оптимальности (2.124) и (2.128), учитывающие жест кость и прочность связующего, можно сравнить, соответствен но, с полученными ранее условиями (2.106), (2.104) для нитяной модели ОКМ. Обозначив
е _ ^2 0 + 1*12)
(2.129)
^1 (1 М-21)
уравнения (2.124) и (2.128) можно представить в следующем виде:
М , 5 т 2 ф , + е с о 5 2 <р,-]
X к/ (со52 <Р,- + е 51П2 ф ; ]
(2.131)
представляет суммарную толщину многослойного пакета, под считанную по нитяной модели ОКМ.
Пример 2.7
►Подобрать оптимальные значения толщин и углов армиро вания панели со структурой [90У(±ф)]- Панель нагружена погон ными усилиями Мх = 1 кН/мм2; Му = 2 кН/мм2. Определить мем бранные жесткости пластины Вп, В{2, В22> В22 и приведенные упругие характеристики Ех, Еу, Оху, рЛ.я как для ортотропного материала. Определить напряженное состояние слоев. Характе ристики ОКМ (углепластик) принять равными
Г, = 180 ГПа, Е2 = 6,2 ГПа, р12 = 0,28, Сп = 5 ГПа,
1 = 1,0 ГПа, ст, = 0,033 ГПа, т12 = 0,03 ГПа.
Расчеты выполнить по нитяной и полной моделям. Для про верки решения воспользоваться критериями прочности.
1.Расчет по нитяной модели
Обозначим А90, Аф —толщины слоев с углами укладки 90” и ±<р. Согласно условиям оптимальности (2.104), (2.106) запишем
I т а -
—— = 3 мм;
(2.132)
Ц + И" 5Ш 2 Ф _ И у _ ^
А9 С052 ф
или
ы
к
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О < ср < агс1е72 = 54°44' |
|
|
||||||
Для дальнейшего расчета принимаем <р = 45° |
Тогда получим |
|||||||||
из (2.132) и (2.133) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Лад + Л45 = 3 мм; Аад/А^ = 1/2. |
|
|||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А45 = |
2 мм; А,,, = |
1 мм; А = |
А45 + Л,,, = |
3 мм. |
|||||
Определим мембранные жесткости по нитяной модели (см. |
||||||||||
(2.115)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ви = Г,Л45 со5445°= |
180 • 2 • 1/4 = 90 кН/мм; |
||||||||
Дзз = |
Ех{кп + А45 5ш445°) = |
180(1 + 2 • 1/4) = |
270 кН /мм; |
|||||||
Вп = |
^33 = |
З Д 5 51П245° соя245° = |
180 • 2 • 1/4 = 90 кН /мм. |
|||||||
Для однородного ортотропного материала мембранные жест |
||||||||||
кости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щ |
|
Е*Н |
. в |
|
- |
ЕуИ |
- |
П |
ЕхИ»>х .1 |
|
"И “ ------------ > "22 - 1------------ » |
"12 = ------------- , |
|||||||||
|
^ |
|
|
|
^ |
|
|
1“ Мдо-Ц;* !■ (2.134) |
||
В>э=Охук; (ЕХ1Х„ = Е |
^ ) . |
|
|
|
|
|||||
Из (2.134) определим приведенные коэффициенты упругости: |
||||||||||
|
|
^ = 5 , 2 / 5 , , = 90/90 = 1; |
|
|
||||||
|
|
р*. = |
Д12/Я 22 = 90/270 = 0,33; |
|
|
|||||
|
|
1 - р ^ р >х= |
1 - 0 ,3 3 |
= 0,67; |
|
|
||||
|
Ех = |
Ви (1 - |
р |
^ |
т)/А = 90 • 0,67/3 = 20 ГПа; |
|||||
|
Еу = |
522(1 - |
\ х |
^ |
/ к |
= 270 • 0,67/3 = |
60 ГПа; |
|||
|
|
Оху = Язз/А = 90/3 = 30 ГПа. |
|
|
||||||
Определим деформации в системе координат пластины. Для |
||||||||||
этого воспользуемся соотношениями упругости |
|
|||||||||
Мх |
Еп гх + Вп е,; |
|
Ыу — ВХ2гх + Я22 еу; |
Л^. — В ^у^, |
||||||
И з этих соотношений вычислим в*, е^, у^. |
|
|
||||||||
Для рассматриваемого примера получим
1- |
270 |
-2-90 |
|
|
= 5,56 - Ю"3; |
90-270-902 |
||
2 - |
90 |
-1-90 |
= 5,56-10“3;
90 - 270 - 902
= 0.
Определим деформации вдоль направления армирования (см. (2.44))
Для <р, = 90*
е*° = 5,56 10“3.
Для ф, = 45°
е?5 = 5,56 • 10'3 -1/2 + 5,56 • 10'3 -1/2 = 5,56 • 10"3.
Напряжения в слоях
{ = Е1в[ =180 -5,56-10 3 = 1 ГПа,
что соответствует значению 5,.
2. Расчет по полной модели, учитывающей жесткость и проч ность ОКМ в поперечном направлении и при сдвиге.
Предварительно вычислим коэффициенты е и ( (2.129) с уче-
Е-,
том М-2, = Р12 "ТГ
Е\ |
|
Е2(\ + [ип ) |
6,2(1 + 0,28) |
Е1(1 + р2|) |
= 0,0437, |
180(1 + 6,2-0,28/180) |
= о ,/а 2 =30.
Как и для нитяной модели, примем ф = 45°. Тогда согласно (2.130), (2.131) запишем
/«90+^45-0,5(1+ 0,0437)
А*, • 0,0437 + А45 • 0,5 (1 + 0,0437) ’
Ь .' 0,59.
Отсюда получаем Л45 = 2,14 мм, /г90 = 1,27 мм, к = 3,41 мм. Определим мембранные жесткости по полной модели. Пред
варительно вычислим:
|
|
|
|
=0,0096; |
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
0,28 • 0,0096 = 0,997; |
|
||
Е, = |
Я. |
|
180 |
= 180,5 ГПа; |
|
|
1 -И иИ21 |
°>997 |
|
|
|
|
Е2 |
_ |
6,2 |
= 6,22 ГПа. |
|
|
1-142^21 ° . " 7 |
|
|
||
Воспользовавшись выражениями для вычисления мембран |
|||||
ных характеристик (2.120), получим: |
|
|
|||
Вп -1ЦъЕ2 + А 4 5 ^ 1 ^ + ^ 2 ^ + 6:12 + 2 ^ 1Д21^ = |
|||||
= 1,27-6,22 + 2,14 |
0,25(180,5 + 6,22 + 4-5 + 2-180,5 |
0,0096) = |
|||
|
= 120 кН/мм; |
|
|||
В 22 - Ы Е 1 + А45 |
^ + |
Е 2 ^ |
+ ^12 + 2 ^ > 2 1 ^ |
= |
|
=1,27 • 180,5 + 2,14 • 0,25 (180,5 + 6,22 + 4 • 5 + 2 • 180,5 • 0,0096) =
=342 кН/мм;
В \2 = Л 90^1^21 |
+ Л 45 |
^ 1 |
+ Ё 2) ^ - С Х2 + Ё 1 Ц 21 ^ = |
= 1,27 • 180,5 • 0,0096 + 2,14 |
(186,72 • 0,25 - 5 +180,5 ■0,0096 • 0,5) = |
||
|
= |
93,2 кН/мм; |
|
В» ~ |
+ Кь |
|
+Е2 ^ - 2^Ц21 ^ = |
=1,27 • 5 + 2,14 (186,72 • 0,25 - 0,5 • 180,5 • 0,0096) =
=104 кН/мм.
Согласно выражениям (2.134) вычислим приведенные коэф фициенты упругости:
|
кс = Вп/В и = 93,2/120 = |
|
|
л> = В17/В„ = 93,2/342 = |
|
|
|
ул. = 1 - 0,27 ■0,78 = 0,79; |
Ех = |
<В„(1 - |
цхуцух)/к = 120-0,79/3,41 = 27,8 ГПа; |
Еу = |
&,( 1 - |
цЛ .)/А = 342 -0,79/3,41 = 79,2 ГПа; |
|
Оху = |
Вгу/к = 104/3,41 = 30,5 ГПа. |
Определим деформации в системе координат пластины, гласно (2.135) вычислим:
1-372-2-93,2 = 4,81 • 10"3; 120-342- 93,7-
2-120-1-93,2
120-342-93,22
=0.
Отклонение в деформациях е,/ег = 4,81/4,54 = 1,059 составля ет менее 6 %. В дальнейших расчетах принимаем
е, = е,. = 10~3(4,81 + 4,54)/2 = 4,67 1(К Определяем деформации в осях слоев (см. (2.44)):
е« = е^5 = е’° = е 290= = 4,67 Ю'3 и вычисляем напряжения
, = Ё1(1 + р21)в = 180,5 (1,0096) • 4,67 • Ю'3 = 0,85 ГПа;
а 2 = Г 2(1 + ц,2) е = 6,22(1,28)-4,67-10~3 = 0,037 ГПа.
Подстановка в критерий прочности (2.119) дает
( 0,85^2 |
0,85-0,037 |
/0,037^ |
I 1,0 ) |
~ 1,0 -0,033 |
+ [о,033^ |
сравнение с условием (2.19) указывает на отклонение в 3 %. ■
Рис. 2.46. Переход к главной системе координат (Л/аР = 0)
Продолжим рассмотрение критериев оптимальности. Распро страним полученные результаты на общий случай нагружения, когда все погонные усилия (включая сдвиговые Л^т) не равны нулю (рис. 2.46). Заметим, что можно повернуть систему коорди нат Оху конструкции на такой угол у, что в новой системе коорди нат конструкции погонные касательные усилия будут равны нулю. Такую систему координат Оар назовем главной. Из рассмотрения уравнений равновесия треугольных элементов (рис. 2.47) получим
Масозу — Л/арзт у = Л/*созу + Л^. зту;
Л ^зту + Л ^созу = Л/,,з т у + Л^.созу;
Л/’рЗту —Л/црСозу = Л/* зт у — Л/^.созу;
Л^рсозу + Л^арЗту = Л/уСозу — Л/^.зту.
Отсюда определим аналогично (2.39)
.Л/д = ^ соз2 у + |
з т 2 у + Ыху з т 2у, |
|
ЛГр = И х з т 2 у + N у соз2 у - Ы ц з т 2у, |
(2.136) |
|
N ар = (Л^, - ЛГ,) з т у соз у + Мху соз 2у. |
|
|
а |
б |
|
Рис. 2.47. К составлению уравнений равновесия:
а — определение Л^; б— определение /Ур
Приравняв нулю значения погонных сдвиговых усилий Л/^, определим угол поворота у для перехода к главной системе коор динат:
2 • Мху
(2.137)
Воспользовавшись тригонометрическими формулами
|
. |
1К [ |
1 |
>Д + \%г2у |
|
Ч |
^ + Щ22у |
51П 2у = |
Ф у |
|
|
х/ГиёЧу |
|
|
|
|
|
|
в которых 1е2у определяется по (2.137), получим значения погон ных усилий Л^, У'/р, Л/цр, действующих в площадках главной сис темы координат:
Мх + Му
+ ( ^ ар=0). (2.138)
Графическая иллюстрация полученных результатов показана на рис. 2.48.
После определения главных погонных усилий УУ0, Щ (2.138) можно воспользоваться полученными ранее критериями опти мальности (2.104), (2.106) или (2.124), (2.128), в которых значе ния Ых, следует заменить на Л(а, и угол (р, укладки отсчиты вать от оси 0а (см. рис. 2.46).
->ЛГй А^АУц,У/р
ЩЛГ, М.
Рис. 2.48. Расчет главных площадок и главных значений погон ных усилий
Напомним, что эти критерии справедливы, когда нормаль ные погонные усилия одного знака; как следует из (2.138), долж но выполняться условие
Получим формулировки критериев оптимальности, записан ные в системе координат конструкции Оху. Для этого распрост раним на многослойные пластины вывод о том, что в оптималь ной конструкции в слоях не возникают касательные напряже ния. Поскольку должно выполняться условие
т 12 = ^иУи = с п [(*,■ ~ ех)зт2<р/ + уЛТ С05 2ф; ] = О, (см. (2.44))
можно потребовать такого деформирования, что
ех = Еу = е, уху - 0. |
(2.139) |
Для общего случая анизотропии соотношения упругости для мембранных погонных усилий записываются в виде
Мх = Впех + Ви Еу + Впуху,
Му = В12ех + В22еу + В23уху, |
(2.140) |
^ху = В13ех + В23еу + ВхУху.
Тогда при выполнении (2.139) связь погонных усилий с де формациями (2.140) будет определяться следующим образом:
* , - ( Я п + * и Н |
(2.141) |
Мху = (Ви + Язз)-8-]
Исключив из (2.141) деформации е , получим, что для выпол нения (2.139) жесткостные характеристики многослойного паке та должны удовлетворять следующим соотношениям:
В\г + В22. |
Мху _ |
В0 + В23 |
(2.142) |
|
Мх Вп + В\2 |
Мх + Му |
Вц + 2В12 + В22 |
||
|
Полученные условия (2.142) можно рассматривать как усло вия оптимальности. При их выполнении обеспечивается арми рование по траекториям главных напряжений в слоях.