книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность
..pdfПример 2.2
►Воспользовавшись нитяной моделью ОКМ, при а, = ст, оп ределить толщину слоя Аф спиральной намотки (углы укладки ±<р) и толщину слоя кольцевой намотки И% (угол укладки 90°) для цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением (рис. 2.19).
Рис. 2.19. Двухслойная цилиндрическая оболочка, нагруженная внутренним давлением
Решение. Из уравнений равновесия цилиндрической оболоч ки (рис. 2.20) получим
рп-Р7= 2- я - Л - Л ^ ;
/> 2 К = 2 ИГ
Здесь по определению внутренних погонных усилий
Ых = | ах<к\ N у = | а , <&,
ЛА
где г — нормальная координата к поверхности оболочки. Выра жения для погонных внутренних усилий будут иметь вид:
= |
(2.38) |
р н т г т
[ К и Г т Е
Рис. 2.20. К составлению уравнений равновесия цилиндрической оболочки:
а — к определению погонных усилий Мх\ б — к определе нию
Воспользовавшись определением внутренних погонных усилий ЛГ нитяной моделью (2.36) и выражениями (2.38), получим
Мх - |
, |
2 |
Р К |
Лф соз2(р = -^ —; |
|||
•Аф - 5 т 2 ф + а , - Ц ) = р - К .
Тогда толщины слоев /?ф и Лад будут определяться выражения
р-я
2 • о, • соз" ф
(2.39)
При ф =
и _ р Л _ . и _ Р - я
Ь - Т Щ ' А9 0 - — ,
т. е. осевые слои воспринимают усилия Л^., а кольцевые слои — все окружные усилия Интересно отметить, что для любых допустимых углов укладки спиральных слоев
,, 3 р - К
Лф + /г9°
При ф = агс1е>/2 нет необходимости выполнять кольцевую подмотку. Результаты (2.39) представлены на рис. 2.21, где
? |
кт |
К |
1.20 |
Аад |
10 |
VI |
0,98 50 |
ода |
|
20 |
0,57 |
ода 54 |
1,45 |
0,05 |
30 |
0,67 |
ода 54.7 |
1да |
0,00 |
40 |
0,15 |
0,65 55 |
1.52 |
-0,05 |
45 |
1.00 |
ода 60 |
2,00 -ода |
|
Рис. 2.21. Толщины спирального и кольцевого слоев для цилиндри ческой оболочки, нагруженной внутренним давлением
Рассмотрим связь деформаций, определенных в системе коор динат слоя и в системе координат конструкции. Сначала устано вим связь координат (х, у) конструкции и координат (х', у') слоя (рис. 2.22).
Рис. 2.22. Связи координат конструкции с координатам
Как легко установить, эта связь определяется следующим об разом:
X = х'СОЗф —3''51П(р;
(2.40)
у = Х'51Пф + у'СОЗф.
Далее установим связь проекций полного перемещения Я (рис. 2.23), заданных в системе координат слоя (эти проекции будем обозначать и', у'), с проекциями, заданными в системе координат конструкций (и, у). Как следует из анализа рис. 2.23, эта связь имеет следующий вид:
и' = |
и со зф + |
У5Шф; |
|
|
(2.41) |
У' = |
—Д ЗШ ф + |
УСОЗф. |
/
Рис. 2.23. Связи проекций перемещения в системах координат (и', у') слоя и конструкции (и, у)
По определению компонент деформированного состояния для
двумерного случая имеются следующие выражения: |
|
||||||||
в системе координат слоя |
|
|
|
|
|
|
|||
|
ди' |
|
Эу' |
|
|
ди' |
ду' |
(2.42) |
|
«1 = Эх' |
|
ду' |
У12 = э 7 + э ^ ; |
||||||
|
|
||||||||
в системе координат конструкции |
|
|
|
||||||
|
_ ди |
|
Эу |
|
|
ди |
ду |
(2.43) |
|
Ех~ д х ; |
Е>~ д у ; |
|
ху ~ ду + дх |
||||||
|
|
||||||||
Установим связь деформаций е,, ^ |
у12, с деформациями еЛ, е,, улг |
||||||||
Для этого, воспользовавшись (2.42), (2.41), (2.40) получим |
|
||||||||
ди' |
ди' |
дх |
ди' |
ду |
ди' |
|
|
|
|
е1= 337 = -ЗТ337 + ^37337 = Т-созср |
ЭУ |
|
|||||||
Эх' |
Эх Эх' |
ду |
Эх' |
Эх |
|
|
|||
(ди |
|
Эу |
. |
Л |
. |
(ди |
Эу . ^ |
|
|
= СОЗф -----С 05ф |
|
ф ^ З Ш ф ! — |
С 05ф + — 51П ф ^ |
|
|||||
и х |
|
Эх5' |
|
|
|
|
|
|
|
ди |
, |
Эу . 2 |
|
(&и |
ЭуЛ . |
|
|
||
= — СОЗ2 ф + — |
8П Г ф + |
— |
+ — |
511 |
|
|
|||
Эх |
|
ду |
|
|
(Эу |
дх) |
|
|
|
Аналогичные вычисления проводят для |
у,2, после чего в |
||||||||
окончательном виде связь деформаций будет определяться сле дующими соотношениями:
Е| |
= ЕхС052 ф + |
Е^.51П2ф + |
у^.51Пф - СОЗф; |
|
е2 |
= ЕЛз т 2ф + |
егсоз2ф - |
у^.зтф -со5ф; |
(2.44) |
|
У12 = (ег - |
еЛ)51п2ф + у.ч соз2ф. |
|
|
При расчетах конструкций из КМ соотношениями (2.44) при ходится пользоваться достаточно часто, поскольку сначала опре деляют деформации е„ еу, ут>.в системе координат конструкции, а далее вычисляют деформации е,, ц , Уи в системе координат слоя, по которым с использованием закона Гука (2.30) определяют на
пряжения |
ст2, т12. |
Интересно заметить, что если жесткостные характеристики конструкции и (или) нагрузки подобраны так, что обеспечивает ся деформирование при ех = еу = е, у^ = 0, то, согласно (2.44), такие же деформации будут в слое, т. е. 6] = е2 = е, у12 = 0.
Рис. 2.24. Связь пространственных систем координат (х', |
*') |
слоя и конструкции (х, у, г) |
|
В ряде случаев при расчете многослойных конструкций учи тывают деформации поперечных сдвигов. Рассмотрим связь этих деформаций, определенных в системе координат слоя и в систе ме координат конструкции (рис. 2.24).
С учетом того, что нормальные координаты и нормальные пе
ремещения в обеих системах совпадают, т. е. г ' |
= г; и/ = и/', соглас |
|||||||
но определению деформаций поперечных сдвигов получим: |
||||||||
Эи' |
Эи/' |
Эи' |
Эи/ |
Эи |
Эу . |
Эи/ Эх |
Эи/ Эу |
|
У и = Т -Т + ^ - 7 = |
-т— + Т - 7 = Т - С° 5 ф + — 51П ф |
+ — |
— |
+ = |
||||
Лт' |
Эх' |
а~ |
л-*- Лт |
Лт |
Эх Эх |
Эу |
Эх |
|
Эг' |
Эг |
Эх' |
Эг |
дг |
|
|
|
|
|
|
ди |
Эу . |
Эи/ |
Эи/ . |
||
|
|
= -----С05ф + |
$1П ф + —— С05ф + —— ЗШ ф = |
||||
|
|
дг |
дг |
|
*Эх |
Эу |
|
|
(ди |
ЭнЛ |
(ду |
Эи/') . |
|
||
Аналогичным образом получим |
|
||||||
|
|
Эу' Эи»' |
Эи . |
Эу |
Эи/ Эх Эи/ ду |
||
|
^ 3 = ^ 7 |
.‘ ^ т - |
~г—31П<р +——соз<р + |
— = |
|||
|
|
дг |
ду |
дг |
дг |
Эх ду ду ду |
|
ди |
. |
ду |
|
Эи/ |
/ . |
ч Эи/ |
|
= - — |
5Н1ф + — |
С05ф + - — • ( - $1Пф) + — С05ф = - |
|||||
Эг |
|
дг |
|
Эх |
|
ду |
|
В матричном виде эти преобразования запишем так: у' = ру у
или
М= [с<*Ф
|_У!з] (_“ $Ш (|> СО$фДу„]
Рассмотрим преобразование жесткостных характеристик слоя ОКМ при переходе от системы координат слоя к системе коорди нат конструкции. Чтобы выкладки были менее громоздкими, вос пользуемся векторно-матричной символикой и элементарными матричными операциями. Представим исходные соотношения.
Соотношения упругости (2.30)
а ' = Е '-8', |
(2.46) |
СТ1 <*2; Е' = •^2^12
.Т12. |
О |
1^21 |
0 |
Еп |
0 ; |
О |
<5* |
’е, "
'= е2 712.
~ Р '2> ( ^ 2 1 - ^ и ) -
Преобразование компонент деформированного состояния при переходе от системы координат конструкции к системе коорди нат слоя (2.44):
|
|
Е '= р - е , |
(2.47) |
|
Ед. |
|
СО$2ф |
51П2 ф |
ЗШфСОЗф |
Е}. |
; |
Р = 5Н12ф |
С032ф |
—5Ш ф • СОЗф |
УХу_ |
-$ т 2 ф |
51п2ф |
СО$2ф |
|
|
|
|
||
Рассмотрим удельную работу напряжений а ' и а на возмож ных деформациях 8е' и 8е, где
а = [о*, у, т^.]Т; 8е' = [8е,, 8е2, 8у12]т ;
Будем считать, что напряжения а связаны с деформациями е соотношениями упругости
= Е е, |
(2.48) |
где матрица коэффициентов упругости Е имеет в общем виде структуру
*И |
^12 |
^13 |
Е = Е2\ |
Е22 |
Е22 ■ |
_ЕзI |
^32 * 33. |
|
Покажем, как с помощью Е' и Р определяется матрица коэф фициентов упругости Е, устанавливающая соотношения упруго сти в системе координат конструкции. Воспользуемся тем обсто ятельством, что удельная работа инвариантна к преобразованию
системы координат, т. е. |
|
|
|
|
|||
|
|
(8е')т • а' = 8ет • ст, |
(2.49) |
||||
|
(8е')т • <т' = |
8Е| • а, + 8е2 • а2 + 8у|2 • т!2. |
|||||
Поскольку преобразование возможных деформаций аналогич |
|||||||
но (2.47), т . |
е. 8е' = р - 8 е , выражение (2.49) можно представить в |
||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8е')т ■а ' |
= |
(р ■8е)т • Е' • Р • е = |
|
||
|
|
= 8ет |
Рт |
Е ' Р е = 8ет • Е • е . |
|
||
Отсюда с учетом (2.48), (2.49) следует, что |
|
||||||
|
|
|
Е = |
Рт • Е' • Р, |
|
(2.50) |
|
или в развернутом виде |
|
|
|
|
|
||
Еи |
Е12 |
|
С032ф |
81П2 ф |
—$Ш 2ф |
||
е 21 |
е 22 |
*23 = |
81112Ф |
С052 ф |
зш 2ф : |
||
*Э. |
^32 |
*33] |
5Ш ф •С05ф - 81П ф • С08ф СОз2ф |
||||
Ё) |
|
Ц21- |
0 ' |
С082ф |
31П2 ф |
81П ф • С08ф |
|
М21 • |
|
Ег |
0 |
• |
51П2 ф |
С082ф |
—ЗШ ф • С05ф |
0 |
|
0 |
^12 |
—81П 2ф |
8Ш 2ф |
С032ф |
|
Выполнив в правой части перемножение, получим следую щие выражения для коэффициентов упругости, определенных в системе координат конструкции:
Е п =
Е п " |
II |
|
Ег\ ~ Е 12
Езз =
е 1С-4 + Ё 2$ 4 + 0 1252 + Ё ,ц 2,2 $ 2с 2 ;
+ Ё 2с 4 + 6 12х2 + Ё ,|я 21 • 2 з 2с 2;
+ Ё 2) з 2с |
2 - Оп 52 + |
(^4 + С4 ) ; |
Е2) з 2с 2 |
+ 0 12с2 - Е 1ц 212 ^ 2с 2; |
|
и
II
где
• Ё ,5С 3 Е 25гс — |
4 Е]|Х2] С |
- |
5С | |
=Е ^ С ’ - Е 2зс ъ + 0 1232С2 + Е3|Л2| (д с 3 |
- |
5 3с] |
|
с = с о $ ф ; |
с2 =со$2<р; |
- |
Ех |
$ = $тср; |
52 =зщ2ф; |
1 |
(^1^21 — ^ 2^ 12) 0> 2). |
1 - Р 12Ц21 |
Для нитяной модели ОКМ (при Е, * 0; Е, = Сп = 0; р12 —р2, = 0) получим следующие приближенные значения матрицы коэффи циентов упругости:
Еп = Е !С о з4 ф ; Е22 = Е,51П4 ф ; |
|
Е]2 = Е33 = Е]51П2фсо52ф; |
(2 52) |
Е,3 = Е,соз3ф8тф; Е23 = Е ,зт 3фсозф.
В развернутом виде соотношения упругости для ОКМ, запи санные в системе координат конструкции (2.48), будут иметь сле дующий вид:
= ЕП ■ + ЕП**у + ^13 'Ухуу |
|
|
оу = |
Еп ■ех + Еи • Еу + Е23 • у^.; |
(2.53) |
Хху = |
Е п • е* + Е Н • Еу + *33•УдГ |
|
Замечание. Отметим, что для нитяной модели ОКМ матрица (см. (2.48), (2.52)) является особенной. Однослойный КМ по нитяной модели превращается в механизм для общего случая нагружения.
Рассмотрим преобразование температурных составляющих напряжений при переходе от системы координат слоя к системе координат конструкции. Для этого представим соотношения уп ругости (2.31) в виде
|
|
' = Е' -е' - |
|
|
(2.54) |
V |
^1 |
^1 ' М-21 |
0 |
8 | |
'* \ т |
<*2 = Ё , |
Ц21 |
|
0 |
е2 - |
<*2Т |
* 12_ |
О |
О |
|
.V » . |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
о,;- = (Е, |
а® + |
|
а ^ А Г ; |
|
|
а 2Г - (^1 ■М^21 |
° + ^2 а 2)Д^ |
(^1 ‘М21 = ^2‘Мп)- |
|||
В системе координат конструкции связь напряжений с де |
|||||
формациями будем искать в виде |
|
|
|
||
|
а = Е е —ог. |
|
(2 55) |
||
Покажем, как с помощью матрицы 0 (см. (2.47)) и темпера турных составляющих напряжений а'Т определяются компонен ты а т. Для этого снова воспользуемся условием инвариантности удельной работы к преобразованию системы координат (2.49), при этом в качестве соотношений упругости будем использовать выражения (2.54), (2.55). В этом случае
(8е')т • а ' = (0 • 5е)т (Е' • 0 • е - о'т ) = 5ет (0Т • Е' • 0 • е - 0Т • а'т) =
= 8ет о = 8ет ( Е - е - а г ). |
|
|
|
Тогда, учитывая (2.55), получим |
|
|
|
Е = 0Т • Е' • 0; а г =0т -о'г - |
(2-56) |
||
В развернутом виде температурные составляющие напряже |
|||
ний в системе координат конструкции будут |
|
||
сов <р |
81П" ф |
— 81П 2ф |
|
|
С05" ф |
8Й1 2ф |
|
5Ш ф • С05 ф |
— 81П ф • С0 8 ф |
С08 2ф |
|
СТ1Г •С082ф + 02Г •51П2ф |
|
|
|
= а , г • 81П2 ф + <У2Т ■С082 ф |
|
|
|
( о |Г - о |
27. ) з т ф - с ° 5 ф |
|
|
