книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность

Вычислим деформации и изменения кривизны. Согласно полубезмоментной теории е;. = уху = 0; аех = х.ч. = 0, поэтому необхо­

При формулировке задачи устойчивости будем учитывать, что имеем дело с нормальным внешним давлением р. Распределен­ ные силы ос таются нормальными к деформированной поверхно­ сти (рис. 2.61), поэтому появляется проекция —рту на начальную касательную. Работа касательных сил на перемещениях 5у будет

5А = —р(йуЬу.

Поскольку согласно полубезмоментной теории цилиндричес­ ких оболочек из внутренних силовых факторов учитывают толь­

У Л = -

Рис. 2.61. Деформирование поперечного сечения при потере ус­ тойчивости:

а — до потери устойчивости; б — после потери устойчивости (соответствующие линии у и уу параллельны)

Из (2.181) видно, что наименьшее давление по числу т полу­ волн в осевом направлении соответствует т = 1. Тогда вместо (2.181) запишем

(2.182)

Для длинных оболочек (Л //«: 1) первым слагаемым в (2.182) можно пренебречь, и при п = 2 получим

(2.183)

Критическое давление, при котором происходит потеря ус­ тойчивости, определяется из (2.183) минимизацией значения р по числу и волн (рис. 2.62). При большом числе волн п » 2 можно считать п- - п г — 1 = т| » 1. Параметр г) можно рассмат­ ривать как непрерывный и выполнить для (2.182) минимизацию аналитически.

Для этого представим структуру зависимости (2.182) в виде

(2.184)

Тогда из условия минимума /;(г|)получим

(2.185)

Р

Рис. 2.62. Определение критического давления

Примерная зависимость значения критического давления от угла укладки показана на рис. 2.63.

<р,° К

30 0.092

45 0,213

60 0,277

75 0,199

Рис. 2.63. Зависимость значения критического давления от угла ф укладки

Из условия

— (с О З ф З Ш 3 ф ) = - 5 Н 1 4 ф + СОЗ2 (ЗЗН 12 ф ) =

= з ш 2 ф ( 3 с 0 5 2 ф - 5Ш 2 ф ) = 0

получим 1§3ф = 3 и при ф = 60е значение критического давления будет максимальным. ■

Пример 2.16

►Для длинной цилиндрической оболочки, нагруженной вне­ шним давлением, определить толщину А, при которой потеря устойчивости и разрушение происходят одновременно. Структу­ ра пакета (907(±45°)/90°], И%= А, А45 = 2А (рис. 2.64). Воспользо­ ваться нитяной моделью.

Рис. 2.64. Структура многослойного пакета

Согласно (2.165) критическое давление Ркр для длинной цилин­ дрической оболочки

Щ 2 К3 ‘

Определим изгибную жесткость Л22 для данного пакета (см. рис. 2.63)

Тогда

(2.188)

Мембранные жесткости данного пакета имеют виц:

= Е}к

Воспользуемся соотношениями упругости:

= Яп ех + Вп в} — 0;

Му = В12ех + В27еу = РкрЯ.

Отсюда определяем*

*п/В и ’

или

Ркр к 1

А 2 '

Наиболее нагруженными будут слои кольцевой подмотки = 90°:

где а, — предел прочности ОКМ при сжатии вдоль направления армирования. Подставив (2.189) в (2.190), получим

Подсчитаем необходимые мембранные, смешанные и изгибные жесткости:

кета

ви = в„ . в 1а! ( 1 + 1) = г 1а^ ;

Ъ - Ъ - Й - М з т И у т ) - ^ ° - 0335;

Д , - Д , - А . е 4

Согласно (2.186) запишем Л*2 /"Л**

(1Г“^ ,9;* - К ^ юГ

2 .7.2. Кручение

Рассмотрим задачу об устойчивости длинной тонкой много­ слойной цилиндрической оболочки при кручении (рис. 2 .66).

Для решения воспользуемся гипотезами полубезмоментной теории цилиндрической оболочки (2.173). Введем функцию пе­ ремещений Ф так, чтобы приближенно описывать винтовые склад­ ки (2.174). Функцию Ф аппроксимируем (см. рис. 2.66)

Ф = Фтп$ т {тх + пу),

т = тп/1; п = п/Я .

Необходимые для решения деформационные соотношения будут иметь вид:

=~ф тпт 51П (,пх+«3').

= ~Ф/пл -р-и2 (и2 - 1^ $ т(тх + пу).

Рис. 2.66. Определение по терн устойчивости цилинд рической оболочки при кру чении

Углы поворота нормали

(2.192)

Соотношения упругости

(2.193)

Возможные значения деформации бед., изменения кривизны бае^ и углы поворота нормали аппроксимируем аналогичным (2.191), (2.192) образом:

(2.194)

Запишем вариационную формулировку задачи устойчивости полубезмоментной цилиндрической оболочки при кручении:

2яЯ /

О О

где

Для длинных оболочек можно ожидать, что число полуволн в осевом направлении т достаточно большое число. Поэтому в (2.198) выполним минимизацию, считая т непрерывным пара­ метром:

К

Ьт

Отсюда получим

Ь14

т

( 3 * Г