книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность
..pdfЭту матрицу, связывающую перемещения с силовыми факто рами, называют матрицей податливости. С помощью указанной матрицы определяют прогиб и угол поворота точки приложения внешней силы и момента. Обратные соотношения
Н(I + 12У [б/ | 4/! (1 + 3$)Л е , ]
задают матрицу жесткости. С помощью матрицы жесткости по заданным перемещениям и углу определяют приложенную попе речную силу и момент для заданной задачи. ■
Пример 3.4
►Определить жесткость трубчатого стержня на изгиб (рис. 3.15), а также толщину трубчатого стержня А, при которой нормальный прогиб Щ1) не будет превышать заданную величину [Ф]. Струк тура стенки стержня [0°/(±45*)]; толщины слоев А0 = А45 = А/2; радиус стержня К (Л » А), длина стержня /. При вычислении жесткостных характеристик воспользоваться нитяной моделью ОКМ.
Определим деформированное состояние стержня при изгибе. Для этого воспользуемся общим решением (3.23) при у = 0 и граничными условиями задачи:
при х = О |
Щ О) = 0; 0(0) = 0; |
при х = I |
0(1) = 0; 0(1) = 0. |
Записав эти граничные условия с использованием общего |
|
решения (при |
= 0), определим константы |
^ 0 = 0 ; ©о = 0; 0 О= 0 ; М 0 = -& /2 .
0
Рис. 3.15. Схема нагружения
Подставив эти константы в общее решение, получим описа ние деформированного состояния:
С М - С ;
* М = 0 ( 7 - 5 );
Прогиб стержня при х = I составит
Податливость стержня на изгиб
<ЭР + ИЕ)
12 Е Г ’
а его жесткость
12^7
/3 (1+ 12^)*
Определим погонные жесткости стержня на изгиб ЕГп сдвиг к. Для этого предварительно вычислим мембранные жесткости стен
ки [0У(±45°)1
В* ~ Вп - В\г1В%у -
Тогда
.2
ш
По условиям задачи должно выполняться ограничение на прогиб Щ1):
вычисленных жесткостей,
Отсюда вытекают ограничения на толщину стенки трубчатого стержня
Полученными уравнениями изгиба (3.22) и общим решением (3.23) можно пользоваться не только для трубчатых стержней, но и для стержней другого профиля. При этом нужно уметь вычис лять погонные изгибные и сдвиговые жесткости Ы и ОР.
Рассмотрим изгиб многослойной симметричной балки в плос кости (рис. 3.16, а).
При вычислении погонных жесткостных характеристик по ступают следующим образом. Выбирают координатную плоскость (г = 0) на нижней лицевой поверхности (рис. 3.16, б). Далее под считывают жесткостные коэффициенты:
(3.24)
Рис. 3.16. Изгиб многослойной балки:
а — схема многослойной балки; б — поперечное сечение мно гослойной балки
где Ьк — ширина к-й полки; г*_„ гк — координаты нижней и
верхней поверхности к-й полки соответственно; — средний
модуль упругости к-й полки, Е ^ = В ^ /к к , В[к^ = 2?}^ - Б[^ / я$ . Коэффициент погонной изгибной жесткости
Ы = 0<>~ 1 * Р ' |
(3.25) |
При этом положение нейтральной плоскости относительно нижней лицевой поверхности определяется расстоянием
А = С0/Е ХР.
Коэффициент погонной приведенной сдвиговой жесткости СР можно оценить следующим образом. Предположим, что напря жения поперечного сдвига распределены по сечению балки равномерно, и для отдельного слоя можно записать
где С — поперечная сила; Р — площадь поперечного сечения балки,
*=1
Если в сечении действует приведенная перерезывающая сила С, а приведенная сдвиговая жесткость балки равна ОР, то сред няя деформация поперечного сдвига
_ 0 _ ~ ОР'
Если воспользоваться законом Гука для отдельного к-то слоя, то в общем случае получим, что деформация поперечного сдвига
Неувязку между уЛ.. и у ^ «уберем» интегрально по всему се чению:
Отсюда получаем приведенную погонную жесткость много слойной балки на поперечный сдвиг
(3.26)
3 .1 .2 . Расчеты на прочность
При расчетах на прочность тонкостенных стержней замкну того профиля поступают следующим образом. В случае совмест ного действия осевого растяжения—сжатия и кручения определя ют осевую силу и крутящий момент в опасных сечениях. Далее согласно (3.2), (3.9) вычисляют деформации:
(3.27)
По этим деформациям определяют деформации в осях /-го слоя
е, = ех соз2 (р; +е^.5т2(р/ +уЛ>.5тф,созф,,
$2 = г х з т 2 ф, + г у соз2 ф , - |
уч. з1п ф, созф,., |
(3.28) |
у { 3 = (*у ~ < ф п 2 ф / + |
0 0 8 2(Р/ |
|
и соответствующие напряжения |
|
ст{ = Я ,е;+ р 21^ |
(1,2),] |
|
(3.29) |
х\г ~ 6пЧ\г- |
\ |
Оценку прочности слоя проводят с использованием одного из критериев прочности (см. п. 2.1).
Последовательность расчета на прочность кругового трубчато го стержня при изгибе можно представить следующим образом. После вычисления изгибающего момента и поперечной силы в опасных сечениях для точки с окружной координатой а вычис ляют деформации
(3.30)
идалее, с использованием (3.28), (3.29), определяют деформации
инапряжения в /-м слое.
При изгибе многослойной балки для точки, отстоящей от нейтральной плоскости на расстоянии г - А (координата г отсчи тывается от нижней лицевой поверхности), вычисляют
где А = С^ЕХР (см. (3.24)) и подсчитывают напряжения (3.29). Кроме этого, проверяют на прочность /-й слой по напряжениям поперечного сдвига
где |
— допускаемое напряжение на поперечный сдвиг. |
|
Для расчета на прочность составных балок удобно воспользо |
ваться МКЭ. Получим на основе аналитического общего реше ния (3.23) матрицу жесткости конечного элемента (КЭ) балки и вектор приведенных узловых сил.
Обозначим узловые степени свободы КЭ
Щ = И^(0); 01=0(0); 1Г2 = Ж (/); 2 = ©(/), где / — длина КЭ.
Будем считать, что реакции (поперечные силы и изгибающие моменты), приходящие на КЭ от соседних элементов, направле ны по выбранным узловым степеням свободы. Тогда запишем
0, = -0 (0 ); |
Л/, = М(0); |
0 2 =0(/); |
М2 = М(1), |
|
||||||
и для (3.23) определим константы |
|
|
|
|
|
|
||||
|
<2о = -0 .; |
л/0 = - ^ . ; |
|
|
|
1У0 = Щ |
|
|
||
Далее, воспользовавшись этими константами, запишем ре |
||||||||||
шение (3.23) при х = I |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 2 = - * /- 0 ,; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Я1' |
л |
/” |
, , |
/ |
|
|
|
|
|
|
М = Вя - с, |
|
|
|
|
(3.31) |
|||
|
1 |
|
0 |
1 |
0' |
|
'0 |
0 |
0 |
0' |
А = |
/ |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
/2/2БУ |
//Е / |
0 |
0 ; |
в = 0 |
1 0 |
1 |
||||
-13(\- 6 $ /б Е 1 -Г-/2Е1 0 |
0 |
|
1 |
- / |
-1 |
0 |
||||
|
С = д[-1, |
- I 2/ 2, |
- 13/6Е/ , |
/ 4(1-12^)/24Г/]Т |
|
|||||
* = [ 0 1 , |
Л/], 0 2. |
— |
вектор-столбец |
узловых |
реакций; |
|||||
Я = [И^, 0 „ И^, 0 2]т — вектор-столбец узловых степеней свободы.
Решением (3.31) будет |
|
= К ч -Р , |
(3.32) |
где К = А_1В — матрица жесткости КЭ; Р = А-1С — вектор при веденных узловых сил. В развернутом виде получим
|
' 12 |
-61 |
-12 |
-61 |
ЕГ |
-61 |
4/2 (1 + 3^) |
61 |
2/2 (1 - 6%) |
/3 (1 + 125) |
"12 |
61 |
12 |
6/ |
|
[-6 / |
2/2 (1 - 6^) |
6/ |
4/2 (1 + 3^) |
Р = [? //2 , -д12/12, «1/2, «/:/12]Т
Рассмотренный КЭ балки обладает весьма полезными «вы числительными» свойствами, поскольку при постоянных жесткостных характеристиках дает точное решение и обеспечивает устойчивый предельный переход при 0 к решениям, соответ ствующим классическим гипотезам Бернулли.
3.1.3.Расчеты на устойчивость
В случае действия нагрузок, вызывающих сжатие стержней, выполняют расчеты на устойчивость. Для тонкостенных стерж ней делают, кроме определения критических нагрузок, соответ ствующих общей потере устойчивости, оценку критических на грузок, соответствующих местной потере устойчивости тонкостен ных элементов (стенок, полок и т. д.).
При определении критической силы общей потери устойчи вости пользуются формулой
(3.33)
12 ’ СЕ— погонная жесткость на поперечный сдвиг (см. (3.20), (3.26));
Рф — критическая сила, вычисленная без учета деформаций по перечного сдвига; с — коэффициент, учитывающий влияние гра ничных условий. Типовые расчетные схемы показаны на рис. 3.17.
Для приближенной оценки критической силы Р ^ можно вос пользоваться следующей вариационной формулировкой задачи
устойчивости: |
|
/ (Е Ш 'Ъ IV" - Р ^ ' Ь IV') сЬс = 0, |
(3.34) |
о |
|
р |
6 1 |
, 1 / |
|
|
|
\ е = 4 |
с =(1...4) |
/7 7 / 7 7
/7 7
Рис. 3.17. К определению коэффициента влияния граничных ус ловий на критическую силу:
а— шарнирное опирание с двух сторон; б— консольное за щемление; в — защемление с двух сторон; г — двухстороннее упругое закрепление
где ( ) = функции прогиба IV и 5 IVдолжны удовлетворять
геометрическим граничным условиям задачи.
Для определения критической силы Ркр с учетом деформаций поперечного сдвига используют следующую формулировку задачи
/
I ( Е /в Ш + СЕ {IV’ + 0)(8Ж ' + 80) - Ркр№"81Г')Ж: = 0, (3.35)
о
где 0, 80 — функции, аппроксимирующие углы поворота сечений. Покажем, как получают приближенные решения на простей ших аппроксимациях. При использовании формулировки задачи
устойчивости (3.34) принимают
1Г = Ф(х)1Г; 81К = ф(х)б1Р, |
(3.36) |
где Ф(х) — функции, удовлетворяющие геометрическим гранич ным условиям. Например, для расчетных схем (см. рис. 3.17, а, б, в) можно принять соответственно
фМ-7(Н: ФИ т ! фМ--»,т-
Подстановка (3.36) в (3.34) дает
\ е Л Ф " ) 2 <1х |
|
Р* = о__________ |
(3.37) |
О
Если искать приближенное решение Ркр по формулировке (3.35) с использованием аппроксимаций
ИК«Ф(х)1Р; |
6 Г - Ф ( я ) 5 Г ; |
0 = Ф '(х)0; |
60 = Ф '(х)80, |
то получим формулу (3.33), где Р ^ определяется по (3.37).
Запишем (3.35) для выбранных аппроксимаций
I
/ (РУФ"2080 + ОРФ'1 (IV + 0)(8Ж + 80) - Р ^Ф '2Ш И')сЬс = 0.
о
Обозначим
/
/РУ Ф "2йЬс
п* _ 0 'к р -----/-----------•
/ф '2<&
о
Тогда получим
7^050 + СР (IV + 0) (8IV + 8©) - 7>кр1Р8 IV = 0,
или
50 [(Рк" + 6 Р )в + Ш Р ] + 5 IV [(7Г0 + (СР - Ркр)& ] = 0.
Отсюда получаем однородную систему уравнений
Р э
1
СР
м - и
ОР.
Приравняем нулю определитель системы:
(А)
Получаем выражение для Р^