книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность

Рпс. 2.26. Система внутренних силовых факторов: а — погонные силы; б —погонные моменты

Такое представление о напряженном состоянии совместно с гипотезами о распределении деформаций по толщине многослой­ ной оболочки или пластины позволяет свести трехмерную задачу теории упругости к двумерной.

Рассмотрим многослойный элемент в системе координат х, у, г конструкции. Координатную поверхность г = 0 можно выбрать в любом месте по толщине многослойного пакета. Обычно для па­ кета симметричного (по толщине) строения в качестве координат­ ной поверхности выбирают срединную поверхность (рис. 2.27, а), а для пакета несимметричного строения — нижнюю лицевую поверхность (рис. 2.27, б).

Дадим определение внутренним погонным силовым факторам.

аб

ном пакете:

а — координатная поверхность совпадает со срединной по­ верхностью; б— координатная поверхность совпадает с ниж­ ней лицевой поверхностью

Погонные усилия, Н/м

Погонные моменты, Нм/м => Н

Иллюстрация определения погонного усилия Ых и погонного изгибающею момента Мх приведена на рис. 2.28.

г2

Рис. 2.28. Переход от напряжений к результирующим погонным силам и моментам (статическим эквивалентам)

В многослойных конструкциях эпюры распределения напря­ жений по толщине могут быть кусочно-непрерывны, так как при переходе от слоя к слою могут скачком изменяться коэффициен­ ты упругости материалов.

При расчете тонкостенных конструкций применяют гипоте­ зы плоских сечений (гипотезы Кирхгофа—Лява; Тимошенко). Со­ гласно положениям этих гипотез считается, что отрезок нормали (в направлении оси т) в процессе деформирования остается пря­ мым (рис. 2.29), касательные перемещения распределены в сече­ нии по линейному закону, нормальное перемещение не зависит от координаты г. В этом случае деформации (относительные уд­ линения вдоль осей Ох, Оу; сдвиги в плоскостях, параллельных плоскости Оху) изменяются вдоль нормальной координаты г ли­ нейно, т. е. для слоя, отстоящего на расстоянии г от координат­ ной поверхности, можно записать

С

2к

2кЛ

1х ч \ х ч

Рис. 2.30. Нормальные координаты к-го слоя многослойного па­ кета (за координатную поверхность г = 0 принята ниж­ няя лицевая поверхность)

В матричном виде соотношения упругости для многослойно­

где коэффициенты приведенных жесткостей В1р С,у, Ду вычисля­ ются согласно выражениям (2.62), (2.63), (2.64).

Как следует из анализа полученных выражений для коэффи­ циентов приведенных жесткостей (2.62)—(2.64), только коэффи­ циенты В,у мембранных жесткостей (2.62) не зависят от выбора координатной поверхности. Смешанные жесткости С,у и изгибные жесткости Ду будут принимать различные значения в зави­ симости от того, где выбрана координатная поверхность. Пока­ жем это. На рис. 2.31 условно изображен перенос координатной поверхности. Как видно из рисунка, новая координата г! связана

Вычислим приведенные жесткостные характеристики много­ слойного пакета относительно новой координатной поверхнос­ ти. Тогда с учетом (2.62)—(2.64), (2.66) получим

где /гт — толщина к-го слоя, кщ = т.к — 1 к_ Как следует из

выражений для коэффициентов упругости (2.50), значения 2:

2Г|з' положительны и, следовательно, значения коэффици­

ентов А п />22, А з принимают минимальные значения. Отметим некоторые свойства многослойных пакетов симмет­

ричной структуры. Если многослойный пакет по толщинам и упругим свойствам слоев симметричен относительно срединной поверхности (рис. 2.32), то, как следует из соотношений (2.63), приняв за координатную поверхность срединную, получим, что коэффициенты С9смешанных жесткостей равны нулю; коэффи­ циенты изгибных жесткостей обладают экстремальными значе­ ниями и деформирование в плоскости (х, у) не сопровождается изгибами и круткой (см. (2.65) при С9 = 0).

Рис. 2.32. Примеры многослойных пакетов, симметричных отно­ сительно срединной поверхности:

а — с четным числом слоев; б — с нечетным ч

Рассмотрим свойства жесткостных характеристик многослой­ ных пакетов, у которых в каждом слое равномерно распределены по толщине волокна с углами укладки ±ф (0° < <р < 90°) (рис. 2.33).

В этом случае упругие свойства каждого слоя будут симмет­ ричны относительно осей Ох, Оу. Для слоя с перекрестной уклад­ кой волокон ±ср (рис. 2.33, а) считается, что вклады в приведен­ ные коэффициенты упругости от волокон, ориентированных под углами +<р и —ф, одинаковы. Суммарный эффект таков, что ко­ эффициенты упругости Аз и Аз (см. (2.50)) такого слоя равны нулю. Следовательно, будут равны нулю и соответствующие ко­ эффициенты приведенных жесткостей многослойного пакета

Получим выражения для описания соотношений упругости многослойного пакета в случае учета температурных деформаций. Для этого погонные усилия (2.59) и погонные моменты (2.60) сле­ дует вычислять, пользуясь соотношениями упругости (2.58). Тогда для многослойного пакета общего вида вместо (2.65) получим

где приведенные жесткости Ву, Су, Ду вычисляются согласно (2.62)—(2.64), а температурные составляющие погонных сил и моментов определяют следующим образом:

При вычислении интегралов (2.75) нужно знать зависимости подинтегральных функций ахГ, ауТ, ххуТ от аргумента г- При пе­ реходе от слоя к слою могут скачком изменяться как механичес­

кие характеристики Ех, Е2, Ц]2> М^1> а 1> а 2>так и углы укладки. Кроме того, при неравномерном нагреве многослойной конст­ рукции приращение температуры ДТ не будет постоянно для всех слоев.