книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность

где е1Г = °ДГ; е2Г = а 2ДТ — температурные составляющие де­ формаций; ° (/ = 1,2) — коэффициенты линейного температур­ ного расширения (КЛТР) вдоль осей 1, 2 ОКМ; АТ — изменение температуры от номинального значения (при котором принимает­ ся, что температурные составляющие деформаций равны нулю; как правило, за номинальную температуру принимают 0° или 20е С). Если соотношения упругости (3.77) обратить и выразить напря­ жения, то получим следующие соотношения (см. (2.53)):

г, = Е' — (1. 2); а,г =(г.а!+Е ,№ 2)&Т (1, 2);

1 “ 1*121*21

(Е,Ц21= ^ , 2).

Переведем эти соотношения в оси конструкции (система ко­ ординат х , у) (см. рис. 3.5). Тогда согласно (2.56), (2.57) для слоя с равномерной симметричной укладкой (в этом случае считает­

Еи = Е хс4 + Е2з* + 0 12з2 + Ех\12{1з2с2 (1, 2);

Е12 = (Ё, + Ё2) 32с2 - 0 Х2з\ + Ё,р21 (а4 + с4);

Е2г = (Ё, + Ё2)з2с2 + 0 12с2 - Ех\1212з2с2;

®дт = а 1Тс2 + а 2ГЛ |

(3.80)

с уТ = о 1Тз2 + а 2гс2,| л1= 51П <р; с2 =соз2(р;

Получим выражения для погонных сил. Согласно определе­ нию (см. (2.58))

где к — толщина стенки стержня; п — число слоев; к,- — толщина слоя с укладкой ±ср,; ах, ау, т^,, соответствуют напряжениям (3.79) для /-го слоя. Записав напряжения согласно (3.79), полу­ чим следующие выражения для погонных сил (соотношения уп­ ругости для многослойного пакета с учетом температурных со­ ставляющих деформаций):

— температурные составляющие погонных сил;

ляются согласно (3.80) при <р = ср,.

С учетом того, что для стержня, работающего на растяже­

Суммарная осевая растягивающая (или сжимающая) сила

где Г — контур сечения. Для случая, когда все точки сечения деформируются одинаково, из (3.86) получим искомую связь осе­ вой силы Р с осевой деформацией е*:

ГГ

Приведенный коэффициент линейного температурного рас­ ширения композиционного стержня а° можно определить, пред­ ставив Ртв виде

Тогда

а" = Рт/{ЕХЕЬТ).

Например, для тонкостенного профиля круглого сечения при равномерном (по у) нагреве из (3.88) получим

ЕХЕ = 2пКВх; Рт= 2пШ т.

В общем случае, когда по у нагрев стержня неравномерный, стержень будет изгибаться, и для описания его деформирования требуются другие соотношения, учитывающие деформации изгиба.

3.4. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФЕРМЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Получим характеристики отдельного стержневого элемента ферменной конструкции (рис. 3.34).

Условно присвоим торцам стержня х = 0 и х = I номера 1 и 2 соответственно. Эти торцы в дальнейшем будем называть узла­ ми (по терминологии МКЭ). Будем считать, что в узлах стерж­ ня действуют силы Г(1) и /(2) (например, реакции отброшенных частей фермы). Перемещения узлов вдоль оси стержня обозна­ чим и(1) и и(2).

Рис. 3.34. Схема стерж­ невого конечного эле­ мента ферменной конст­

/рукции

Для стержня, находящегося в равновесном положении, мож­ но сформулировать принцип возможных перемещений: работа внутренних сил на возможных перемещениях равна работе вне­ шних сил на возможных перемещениях. Математическая запись этого принципа для рассматриваемого случая будет выглядеть следующим образом:

Лх'

Здесь и и бы — истинное и возможное перемещения; Рт— темпе­ ратурная составляющая осевой силы (см. (3.83)); б* и 5ех — ис­ тинная и возможная деформации стержня.

Подстановка (3.86) в (3.85) приводит к уравнению

<3-87)

В итоге задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти такую функцию и(х), которая удовлетворяла урав­ нению (3.87) при любых возможных 5и.

Положим, что жесткостная характеристика ЕХР и распределе­ ние температуры (а следовательно, и величина Рт) не изменяют­ ся по длине стержня. Приближенное решение (3.87) будем ис­ кать среди линейных функций. Для удобства вычислений линей­ ные аппроксимации функций и и бы запишем в виде

где и(1) и ы(2) — перемещения узлов; 8ы(1), 8ы(2) — возможные пере­ мещения узлов (т. е. произвольные числа). Соответствующие (3.88) деформации получим дифференцированием и и 5и:

Подстановка (3.89) в формулировку задачи (3.87) даст урав­ нение

& < о [ ^ К “ им) + ?г~'а>] +

(3.90)

Поскольку в (3.90) 5и(|) и 8«(2) могут принимать произвольные значения, следует приравнять нулю выражения, стоящие в квад­ ратных скобках. Выполнив это, получим искомую связь узловых реакций /(1), /(2) с узловыми перемещениями и()), ы(2). Запишем эту связь в матричном виде:

Матрицу

(3.92)

называют матрицей жесткости конечного элемента, а векторстолбец

— вектором приведенных узловых сил.

Рассмотрим простейшие частные случаи. Определим темпе­ ратурные смещения и усилия в стержне, когда:

1) стержень закреплен в сечении (1) (см. рис. 3.34) ы(1) = 0;

Для первого случая закрепления (при и(1) = 0, ((2) - 0) из (3.91) получаем

Отсюда

,_ М _ ЕХР '

или с учетом (3.84)

ы(2) = авД77; /(1)=0.

Для второго случая закрепления (ы(1) = и(2) = 0) получим /(1) = Рт, (12) = - Р т(см. рис. 3.34), т. е. стержень равномерно сжат и осевые перемещения отсутствуют.

Рассмотрим преобразования характеристик конечного элемен­ та (матрицы жесткости и вектора узловых сил) при переходе от местной (локальной) системы координат (Ох) к глобальной (О^ХзХз), как показано на рис. 3.35.

Для более компактной записи воспользуемся матричной сим­ воликой. Кроме обозначений (3.92), (3.93), введем в рассмотре­ ние векторы-столбцы истинных перемещений я' и возможных перемещений 8я':

В пространственной системе координат ( О х ,^ ) перемеще­ ния узлов (1) и (2) можно задать проекциями осевых смешений ы, и и2 на оси 0*!, 0*2, 0х3. Перемещения вдоль этих осей обозна­ чим Уи У2, У3 соответственно. Тогда можно записать проекции узловых перемещений в виде

— направляющие косинусы, определяющие угловую ориентацию стержня в пространстве:

(3.97)

*,(,), х,(1), х3(1) — координаты начального узла стержня (1); х1(2), х ^ , Хз(2) — координаты конечного узла стержня (2); I —длина стержня.

Из соотношений (3.96) можно получить

Полученное равенство позволяет вычислить осевое смеще­ ние /-го узла, если известны проекции этого смещения на оси 0х„ Охз, 0х3. Равенство (3.99) можно рассматривать как правило, позволяющее выразить узловые перемещения в местной системе координат через узловые перемещения в пространственной сис­ теме координат. С использованием (3.99) запишем