книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

точности вычислений 10-4 и начальном шаге интегрирования Ад = 0,1. Интересно отметить, что если из программы вычислений исключить про­ цесс простой итерации, то время счета увеличивается, т. е. наилучший вычислительный процесс обеспечивается совместным использованием итерационных формул (2.30) и (3.24).

Также была разработана программа, учитывающая в итерационном процессе не только элементы, стоящие на главной диагонапе матрицы Якоби, но и наибольшие по абсолютной величине один или два внедиагональных элемента. Так, например, если наибольшим внедиагонапьным элементом является элемент Ьу, то i -тую формулу итерационной схемы (3.24) следует подкорректировать слагаемым

Однако, проведенные вычисления показали, что такая корректи­ ровка не приводит к уменьшению времени счета, хотя наименьший шаг интегрирования уравнений увеличивается. Это, по-видимому, объ­ ясняется тем, что полученное преимущество по шагу интегрирования компенсируется усложнением алгоритма процесса.

Кроме того, для решения непреобразованной задачи (3.39), (3.40) была использована программа DLSODE, которая является одной из по­ следних версий программ серии Гир, предназначенных для интегрирова­ ния жестких систем уравнений. Эта программа взята из пакета программ ODEPACK, собранных Хиндмаршем [100]. С ее помощью задача была решена за 13с.

Большое отличие во времени счета программ РС1М и DLSODE объясняется тем, что последняя использует формулы интегрирования до 5-го порядка точности, имеет алгоритм выбора оптимального порядка BDF-формул и оптимального шага интегрирования.

Однако, задача (3.41) была решена при помощи программ РС2М за 70с., РСЗМ за 20с., РС4М за 17с. счета на PC АТ 286/287.

Анализируя численные результаты, можно сделать выводы:

—программа РС1М, конечно, значительно уступает по времени сче­ та программе DLSODE, но она не требует хранения информации, полученной на предыдущих шагах. Это может оказаться решаю­ щим при изучении многомерных задач механики сплошной среды, которые приводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка;

—программа РС4М по времени счета уже незначительно отличается от своего зарубежного аналога, однако, несомненным ее преимуще­ ством является то, что при ее помощи могут быть проинтегрированы задачи, имеющие замкнутую интегральную кривую или интеграль­ ную кривую, содержащую предельные точки, а также могут быть

решены некоторые уравнения, правые части которых обращаются в некоторых точках в бесконечность.

Рассмотрим решение модельной жесткой задачи, которую предло­ жил И. Бабушка [80, 37, 106]. С учетом того, что один интеграл этой задачи известен, ее можно представить в виде

системы лежит по обе стороны от нуля на достаточном расстоянии. Из-за этого шаг аппроксимации в явных и неявных методах с течением времени не будет расти, оставаясь достаточно малым, и в неявных методах возникнут дополнительные сложности при итерационном методе нахождения решения.

После применения к задаче Л-преобразования, она была решена при помощи программы РСЗМ на PC АТ 286/287 за 24с. Наиболь­ шая ошибка при t = 1 была равна 0,04. Заметим, что при решении непреобразованной задачи такой точности достичь не удается.

Эта же преобразованная задача решалась на PC с 486 процессором. Для достижения той же точности программе DUMKA [37, 106] потребо­ валось 1,4с., а программе DLSODE [100] 0,03 с. При этом, если в про­ грамме DUMKA правые части системы уравнений вычислялись 36074 раза, то в программе РСЗМ они вычислялись 4 223 раз, а в программе DLSODE только 320 раз.

«Точное» решение было получено при помощи программ RADAU3,

3.4. Жесткие уравнения в частных производных

Ранее Л-преобразование использовалось при решении задач малой размерности (п < 4). Теперь исследуем решение жесткой системы обык­ новенных дифференциальных уравнений большой размерности (п > 10), к которой сводится решение уравнений в частных производных [33].

В качестве примера исследуем жесткую задачу [97] о движении прямоугольной упругой пластины при переезде ее автомобилем. Переме­ щения пластины W{x> y ,t) описываются следующими соотношениями

Здесь V2V2 — бигармонический оператор; D = 100, G = 1000 — параметры жесткости пластины и трения; V2 — оператор Лапласа, Ш — граница области П = {(я, у), 0 < * < 2, 0 ^ у < 4/3}, которая разбивается на ячейки точками г,- = ih, yj = jh , h = 2/9, t = 1,8,

3 = V 5-

Нагрузка f(x ,y ,t) приближается суммой двух гессианов, которые описывают движение в направлении оси х четырех колес

Бигармонический оператор представляется в стандартном конечно­ разностном виде, использующим центральные разности

+ 2Wt+ij+i + 2W i-ij-i + 2Wi_ij+i)/h4.

Согласно граничным условиям, в контурных точках рассматривае­ мой пластины Wij(t) = 0, а в предконтурных значение прогиба в два раза меньше, чем в предшествующих точках, лежащих по нормали к контуру.

Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений

интегрировалась на отрезке [0, £], t € [0,7] при помощи программы

л

РС1, в которой из-за малых значений прогиба, не превосходящих 10 , контролировалась не абсолютная, а относительная погрешность вычисле­ ний, полученная делением абсолютной погрешности на сумму квадратов функций Wij. Оказалось, что применение преобразования в тринадцать раз сокращает время счета и требует в 16 раз меньшего числа обращений к вычислению правой части. А шаг интегрирования увеличивается более чем в 10 раз.

Глава 4

Дифференциально-алгебраические уравнения

Среди задач, решениями которых являются гладкие непрерывные однопараметрические множества, можно выделить дифференциально­ алгебраические уравнения (ДАУ), которые сочетают в себе особенности нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с особен­ ностями ОДУ. Для таких задач можно поставить задачу Коши, кор­ ректная постановка которой связана с необходимостью решения систем нелинейных уравнений. В этой главе мы сформулируем и исследуем алгоритм численного продолжения решения задачи Коши для различных форм дифференциально-алгебраических уравнений.

4.1. Классификация систем ДАУ

Напомним, что системой неявно заданных обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений называется система вида

Если матрица дФ/ду невырождена, то эта система может быть разрешена относительно производных и представлена в явном виде (в нормальной форме Коши)

Системой дифференциально-алгебраических уравнений называется система вида

состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений F и не­ дифференциальных соотношений G, в качестве которых обычно рассма­ триваются нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения.

При формулировании системы (4.3) предполагается, что матрица dF/dy не является вырожденной. Очевидно, что к системе уравнений такого типа может быть сведена система (4.1) в случае сингулярной матрицы дФ/ду этой системы. Поэтому наряду с установившемся в по­ следнее время термином дифференциально-алгебраические уравнения, для обозначения систем вида (4.3) используется термин «сингулярные системы уравнений» (см., например [81, 82, 8]).

Существует глубокая связь между дифференциально-алгебраиче­ скими уравнениями и сингулярно возмущенными уравнениями, которые, как мы видели ранее, относятся к классу жестких систем обыкновен­ ных дифференциальных уравнений. В самом деле, когда в сингулярно возмущенных уравнениях мы имеем малый параметр е, то получаем жесткую систему уравнений. Если же этот параметр е устремить к нулю, то приходим к дифференциально-алгебраическим уравнениям.

Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля, которое изучалось в класси­ ческой работе [23], записав его в виде

ez" + (z2 —1)z' + 2 = 0.

Так как

то, введя обозначение у = ez' + z3/3 - z, имеем систему

которую в общем случае можно записать в виде

У = f(y> *)> sz = g(y, z).

Полученная система сингулярно возмущенных уравнений при малых значениях параметра е будет жесткой. Если теперь параметр е устре­ мить к нулю, то получаем систему дифференциально-алгебраических уравнений

или в общем случае

У1= /(».*). 9(y,z) = 0-

106 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения

Задача (4.4) имеет точное решение

z2

\n\z\ - — = t + C.

Это решение реализуется, если только начальные значения ле­ жат на кривой L, задаваемой вторым уравнением системы (4.4). Осо­ бый интерес представляют точки этой кривой, имеющие координа­

поэтому в отмеченных точках происходит перескок решения на другую устойчивую ветвь (gz < 0).

Системы дифференциально-алгебраических уравнений принято ха­ рактеризовать дифференциальным индексом. Рассмотрим это понятие вначале на примере системы (4.1). Система уравнений (4.1) имеет диф­ ференциальный индекс г, если г есть минимальное число дифференци­ рований

переводящее систему (4.1) в явную систему (4.2).

Из определения следует, что если матрица системы (4.1) дФ/ду не является сингулярной, то эта система имеет дифференциальный ин­ декс, равный нулю. В этом случае система приводится к каноническому виду (4.2) без дифференцирований.

Дифференциальный индекс системы (4.3) определяется следующим образом. В силу того, что матрица dF/dy не сингулярна систему можно

Эта система имеет индекс, равный единице, если после дифферен­ цирования второго векторного уравнения по t получаем систему вида

где GjX не сингулярна, поэтому система (4.5) может быть записана явно

внормальной форме Коши

ГУ = f(x ,y ,t)

\x = - G - ,(Gy/ + G>i).

Если же матрица G^ сингулярная, то выражение (4.6) принимает

вид

G,yf + G ,t = 0 ,

и его следует дифференцировать еще раз относительно t, и так далее до тех пор, пока матрица, стоящая перед производной а , не станет обратимой.

Таким образом, индекс системы дифференциально-алгебраических уравнений (4.3) равен наименьшему числу дифференцирований по t, позволяющих определить а как непрерывную функцию у, х, t.

Заметим, что система уравнений (4.1) с несингулярной матрицей дф/ду, имеющая индекс равный нулю, после введения новой функции у = х может быть преобразована к системе типа (4.S)

которая имеет уже индекс, равный единице, т.е. преобразование (4.1)

квиду (4.7) увеличивает дифференциальный индекс на единицу [77].

Вданной работе изучается численное решение задачи Коши системы дифференциально-алгебраических уравнений, имеющей индекс, равный нулю или единице. Однако, допускается, что в некоторых точках ин­ тегральной кривой производная G x может вырождаться. Такие системы наиболее часто встречаются в вычислительной практике.

Решение дифференциально-алгебраических уравнений является бо­ лее сложной задачей по сравнению с решением обыкновенных диффе­

ренциальных уравнений. В [77] отмечаются следующие трудности:

1)начальные условия должны быть согласованными с недифференци­ альными соотношениями;

2)система линейных алгебраических уравнений, решаемая на каждом шаге интегрирования, является плохо обусловленной для мелких шагов. В [77] показано, что обусловленность системы равна 0(Л"), где v — индекс системы, h — шаг интегрирования;

3)ошибка ограничения при выборе шага интегрирования чувствитель­ на к несогласованности в начальных условиях и резкому изменению решения;

4)численное решение в большей степени зависит от точности аппрок­ симации итерационной матрицы, чем для обыкновенных дифферен­ циальных уравнений.

Предложенный здесь подход построения численного решения задачи позволяет ослабить некоторые из отмеченных трудностей.

Что касается согласованности, то начальные условия для системы (4.3) можно принять в виде

у(к) = Уо, х(к) = *о.

причем векторы уо и хо должны удовлетворять системе уравнений

G(yо, ®о, *о) = 0.

По-видимому, первой работой, в которой исследуется численное решение дифференциально-алгебраических уравнений, является рабо­ та [94]. В ней система уравнений, описывающая процессы, протекающие в электрических сетях, интегрировалась при помощи формул диффе­ ренцирования назад. Проблема заключалась в решении линейных отно­ сительно производных дифференциальных уравнений и алгебраических соотношений типа

где А(у) — матрица.

Внастоящее время помимо многочисленных статей, посвященных данной тематике, имеется несколько монографий [97, 81,82,8,77,95,96].

Вработе [99] описывается программа LSODI, предназначенная

для интегрирования задачи Коши для неявных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а в работе [114] программа интегрирова­ ния задачи Коши для систем вида (4.8), возникающих в электротехни­ ке. Обе программы используют версию программы GEAR, основанную на формулах дифференцирования назад. Программа DASSL [77, 108] разработана для решения начальной задачи для неявной системы ви­ да (4.1), имеющей индекс, равный нулю или единице. В соответствии с общим подходом, предложенным в [94], производная заменяется раз­ ностной аппроксимацией, использующей формулы дифференцирования назад, а полученная система нелинейных уравнений решается методом Ньютона—Рафсона, в котором матрица Якоби вычисляется не на каждом шаге, а по мере необходимости.

Для решения аналогичной задачи разработана программа STIFSP [14], в основу которой положена программа STIFF и метод равных корней, предложенный в [14]. Программа предназначена для работы с разряженными матрицами Ф|У Ф^.

Программа RADAU5 [97, 96] разработана для решения начальной задачи для системы типа (4.8), имеющей индекс более двух. В отличие от предыдущих программ здесь применяются неявные методы типа Рунге—Кугга. Получающиеся при этом системы нелинейных уравнений решаются модифицированным методом Ньютона. В [97] проводится также сравнение эффективности различных программ.

В [8] описывается программа SINODE, осуществляющая решение задачи Коши для системы уравнений типа (4.8) с вырожденной матрицей некоторыми численными методами (Рунге—Кутта, Адамса).

Численное решение задачи Коши для системы дифференциально­ алгебраических уравнений вида

»(<) = /(»> М ), x(t)= g(y,x,t)

рассматривается в [35]. Предлагается комбинировать неявный метод Эй­ лера с методом простой итерации или неявный метод Адамса с методом Ньютона.

Предложенный краткий обзор численных подходов к решению диф­ ференциально-алгебраических уравнений отражает несомненные дости­ жения в данной области, однако полученные результаты не ликвидируют те трудности решения задач рассматриваемого типа, которые были отме­ чены выше.

Подход, предложенный в данной главе, позволяет ослабить часть из этих трудностей. Как будет видно ниже, система линейных алгебраи­ ческих уравнений, получающаяся на каждом шаге процесса интегрирова­ ния, будет наилучшим образом обусловленной, а в силу выбора аргумента задачи ошибка будет менее чувствительна к резкому изменению решения.

Вследующем разделе этой главы задача Коши для системы диффе­ ренциально-алгебраических уравнений рассматривается с позиций ме­ тода продолжения решения по параметру и изучается вопрос о выборе наилучшего параметра.

Вмонографии [77] отмечается, что при разработке программы DASSL в систему дифференциально-алгебраических уравнений вводился

параметр и для отыскания решения использовался метод продолже­ ния, но вопрос о выборе наилучшего параметра продолжения решения не рассматривался.

4.2. Наилучший аргумент системы дифференциально-алгебраических уравнений

Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциально-алгебра­ ических уравнений

Причем векторы уо, xo должны быть согласованными, т.е. удовлет­ ворять системе уравнений G(yo, ®о> *о) = 0.

Интеграл задачи (4.9)

задает в (n + m + l)-мерном евклидовом пространстве Rn+m+l интеграль­ ную кривую К , процесс построения которой может быть представлен

как процесс продолжения решения у = y(t), х = x(t) по параметру t. Та­ кой подход позволяет поставить вопрос о выборе наилучшего параметра продолжения решения системы (4.10), а значит, и наилучшего аргумента задачи (4.9).

Будем, как и в главах 1 и 2, вводить наилучший аргумент локально, т. е. в малой окрестности каждой точки интегральной кривой К . Чтобы найти наилучший аргумент, введем в окрестности рассматриваемой точки параметр д так, что

правление оси, по которой отсчитыается аргумент д. Предполагается суммирование в произведениях по повторяющимся индексам в огово­ ренных пределах.

равенство (4.11) разделить на dfi, а первое из соотношений (4.10) продифференцировать по д:

до решения задачи (4.9) неизвестен.

Уравнения продолжения могут быть получены иначе. Линеаризуем вектор-функцию F относительно производных у,- в окрестности неко­ торых значений & = у*, полученных, например, на предыдущем шаге итерационного процесса или процедуры итерирования. Тогда имеем

F* + F*m(l/i ~ Vi) = * = ТГп-

Здесь вектор-функции F* и F*^ вычисляются при у,- = у*.

Принимая во внимание первое уравнение системы (4.12) и равенства Vi = if* = У*фЦ*ц, а также дифференцируя вектор-функцию G относительно д, получаем следующее представление уравнений продол­ жения

Интегральная кривая задачи (4.9) может быть построена в результа­ те интегрирования системы дифференциальных уравнений, полученной