книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

Матрица J здесь является матрицей Якоби вектор-функции F(x)

* = ! , « . i = l,n + l,

дх 0(*ь • • •»*n+l)

которая совпадает с введенной раннее расширенной матрицей Якоби. Как видно, для сведения этой задачи к нормальной форме Коши

необходимо решить систему нелинейных уравнений. Разрешение этих трудностей в рамках шагового процесса продолжения предложено в [17]. Оно основано на том, что последняя строка матрицы уравнений (1.60) определяет мгновенное положение вектора, вдоль которого отсчитывает­ ся параметр продолжения Л. Замена в этой матрице вектора хд на другой вектор а означает замену наилучшего параметра продолжения Л на па­ раметр р, который отсчитывается вдоль а. И чем ближе вектор а будет к вектору х,л, тем ближе окажется параметр ц к наилучшему параметру продолжения Л. Обозначим этот вектор через 2д. Тогда задача Коши для продолжения кривой множества решений от к-й точки к (к + 1)-ой запишется в виде

Матрицу этой системы назовем расширенной матрицей Якоби. Способы формирования вектора ж*Лдадим на примерах конкретных

разностных схем.

ный на предыдущем шаге. При этом возникает вопрос о выборе это­ го вектора в начальной точке к = 0. При его решении учтем, что при постановке реальных задач начальная точка обычно не являет­ ся предельной по параметру задачи xn+i = р, и тогда можно, при­

Отметим, что в силу структуры дифференциальных уравнений (1.61) получающийся в результате ее решения на к-м шаге вектор жд будет касательным к интегральной кривой задачи, но последнее уравнение системы х*а®,а = 1 означает, что этот вектор не будет единичным, однако его проекция на направление вектора х*Л вычисленного на пре­ дыдущем шаге, будет равна единице. Таким образом, если вектор жд нормировать, то получим на &-м шаге решение исходного уравне­ ния (1.60).

32 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

Поэтому схема явного метода Эйлера примет вид

трицу продолжения системы вида (1.61). В дальнейшем принятую запись для х будем понимать как результат решения этой системы линей­ ных алгебраических уравнений любым эффективным и экономичным методом. Как правило, таковым является метод Гаусса.

б. Явная схема модифицированного метода Эйлера

в. Неявная схема Эйлера

Неявную схему метода Эйлера реализуем в виде метода прогноза и коррекции.

34 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

На первом шаге (к = 0) принималось Х(0) = *(Ао). A*+i = Л* + ДА*. Если норма Д £ е, то можно организовать итерационный про­

В книге [17] для перехода к нормальной форме Коши уравнений продолжения (1.61) предложено также использовать процесс ортогонализации Грама—Шмидта. Он также требует расширения матрицы Якоби J путем присоединения к ней снизу вектора х*£. Однако такой подход потребует большего числа вычислений в сравнении с использованием метода Гаусса при равной обусловленности системы, если векторы x*J будут заданы одинаково.

Рассмотрим теперь два тестовых примера, которые решались в [17].

Эта кривая, которая показана на рис. 1.4 сплошной линией, пересе­ кает ось xi в точках х\ = ±aV2 и х\ = 0. Ниже мы будем рассматривать случай а = 1. Уравнения продолжения (1.61) принимают вид

как (0 ,1)т , так как точка А является предельной по переменной х\.

На рис. 1.4 представлены результаты интегрирования задачи Ко­ ши (1.67), (1.68) с шагом АЛ = 0,2, причем система линейных уравнений решалась методом Гаусса. Точки соответствуют результатам с использо­ ванием разностной схемы метода Эйлера (1.62). Крестиками обозначены результаты использования модифицированного метода Эйлера. Кружка­ ми показаны результаты использования схемы Рунге—Кутта 4-го порядка и всех неявных схем. Чтобы избежать накопления ошибки вблизи точ­ ки ветвления 0, она проходилась следующим образом: если точка Т попадала в круг радиуса 0,1 с центром в точке 0, то продолжение инте­ грирования проводилось из точки Т \ симметричной к Т относительно 0.

Рис. 1.4.

Накапливающуюся при использовании метода Рунге—Кутга с ша­ гом ДА = 0,2 ошибку можно охарактеризовать следующим результа­ том: после четырехкратного обегания лемнискаты мы оказались в точ­ ке х\ = 1,4112, Х2 = -0,0026. Если бы ошибка не накапливалась вовсе, то эта точка должна была бы совпасть с точкой А(у/2,0).

Более подробно алгоритмы этих программ описаны в главе далее.

Трехстержневая ферма

Рассмотрим симметричную деформацию трехстержневой фермы (рис. 1.5) с возможной потерей устойчивости стержней. Предполагается, что стержни имеют единичную длину, не являются идеально прямыми и в недеформированном состоянии искривлены по полуволне синусо­ иды с амплитудами ej и S2 (kil < 1, кг I < 1. индексы 1 и 2 здесь и ниже соответствуют номерам стержней). Деформация такой фермы по­ дробно рассмотрена в [17]. Она описывается следующими уравнениями (для стержней с одинаковыми поперечными сечениями):

36 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

В этих уравнениях Р , N\ и N2 — нагрузка на ферму и усилия, возникающие в ее стержнях, отнесенные к критическим эйлеровым силам стержней; Wi — амплитуды полного прогиба стержней; /3 — параметр, характеризующий гибкость стержней.

Если Р = 0, то нелинейная система уравнений (1.69) имеет триви­ альное решение, соответствующее недеформированному состоянию:

Р = 0, N i = N 2— 0, W i = £1, W 2 — е 2 .

Если стержни системы идеально прямые, т.е. при 6 1 = 6 2 = О, система (1.69) имеет четыре точных решения

Для p = 100 эти решения и соответствующие им формы деформа­ ции фермы показаны на рис. 1.6 в пространстве WiW2P. Видно, что множество решений системы (1.69) меняется в пространстве сложным образом и имеет три точки ветвления В ), В2, В3.

38 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

Если ввести вектор х — (N\, N2, Wi, W2, Р)т, то уравнения продол­ жения (1.69) примут вид

Начальные условия определяются недеформированным состоянием

®о = ®(Ао) = (0, еь е2> 0)г . (1.71)

В качестве стартового значения вектора х*л можно принять век­

тор (0 ,0 ,0 ,0 ,1)г .

На рис. 1.7 в проекциях на плоскости PW\ и W1W2 показаны ре­ зультаты интегрирования задачи Коши (1.70), (1.71) для ej = е2 = 0,001. Сплошными линиями показано решение, которое получено методом Рунге—Кутта с шагом 0,1, а также при использовании неявных схем. Кружки (пунктирная линия), треугольники и крестики соответствуют ис­ пользованию метода Эйлера с шагом дЛ, равным соответственно 0,025, 0,05 и 0,1; квадраты соответствуют модифицированному методу Эйлера с шагом ДА = 0,1.

Сложная пространственная форма решения в этом примере по­ казывает, что попытка построить решение с использованием одной из неизвестных в качестве параметра продолжения обречена на неудачу. Например, если в качестве параметра продолжения взять нагрузку Р, то вычислительные трудности появятся уже вблизи точки ветвления B j, а при приближении к точке В2 они станут непреодолимыми.

1.5. Геометрические представления шаговых процессов

Напомним суть метода Ньютона—Рафсона на примере решения нелинейного уравнения с одним неизвестным

Идея метода состоит в том, что для уточнения приближенного зна­ чения корня х W функция F(x) заменяется ее линейной аппроксимацией по формуле Тейлора в окрестности точки х®

40 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

и дает новое приближение ж^,+1^) решения уравнения (1.72). Повторяя эту операцию, мы строим итерационный процесс, который при удачном начальном приближении позволяет найти решение уравнения (1.72) с заданной точностью. Геометрическая интерпретация этого процесса показана на рис. 1.8. Очевидно, что в процессе итераций F1 = dF/dx не должна обращаться в нуль.

Иногда удобно записать уравнение (1.73) как уравнение для поправ­

Если F является n -мерной вектор-функцией и х — вектор из R", то соотношения (1.76) остаются практически без изменения, если учесть, что роль производной F,(x) = dF/dx в многомерном случае играет матрица Якоби J = dF/dx. Тогда соотношения (1.76) примут вид

При исследовании системы нелинейных уравнений, содержащих параметр р