книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

то задача (4.34) примет вид

dy

3/(0) = 2,

d X у / ( 1 - У 2 ) 2 + У 2 '

Эта задача была проинтегрирована при помощи программы РС1 за 14с. Ошибка Д при t = -2 была равна Д = 0,55 • 10-2.

В качестве другого примера рассмотрим решение задачи (4.26), преобразованной к виду (4.29).

Решение этой задачи для f G [0,1] при помощи программы DE1TLN приводит к следующим результатам, когда g(t) = е*:

Здесь погрешности вычислений подсчитывались по формулам (4.28) при t = 1, а начальное значение вектора Z принималось в виде (4.40).

Интегрируя задачу при помощи программы DEUN, получаем:

Начальные значения (4.45) определялись из решения в начальной точке нелинейной системы уравнений

Yl+ TitY2 + (l+ V)y2T = 0,

< Y2+g(t)T = 0,

kyi2+ r 2 + r 2 = l,

и оказались равными

Yl0 = (i + ?)g(Q)

Q '

1/2

Q = [l+ ( l+ T /) 252(0) + 52(0)]

Наконец, рассмотрим решение задачи (4.31). После линеаризации относительно производной у, система (4.39) примет вид

Заметим, что таким же образом численно может быть успешно решена система кинематических уравнений для самолетных углов [36]

Здесь i> — угол рыскания, Ф — угол тангажа, 7 — угол крена. Матрица этой системы вырождается при Ф= тг/2. После применения А- преобразования последняя система примет вид

4.5. Неявно заданные дифференциально-алгебраические уравнения

Под неявно заданными понимаются дифференциально-алгебра­ ические уравнения, определяющие задачу Коши вида

Введением новых переменных z* = ?/,■эта задача преобразуется в за­ дачу с расширенным пространством решений (4.17), определяемую явно заданными дифференциально-алгебраическими уравнениями. Однако, как показано выше, такой подход может привести к вычислительным трудностям.

Рассмотрим алгоритм решения задачи (4.49) без преобразования ее к виду (4.17). Для задачи (4.49) доказана теорема 4 о наилучшем аргументе А. Сформулируем задачу относительно этого аргумента.

Пусть j/i = y i(А), Xj = X j(A), t = f(A) являются дифференцируемыми функциями аргумента А, отсчитываемого вдоль интегральной кривой от начальной точки задачи Коши (4.49).

С учетом обозначений (4.18), принимая во внимание смысл наилуч­ шего аргумента, получаем равенство

Линеаризуем систему (4.49) на (к - 1)-ом шаге итерирования от­ носительно функций ?/j, равенство (4.50)-относительно квадратичных слагаемых, а вектор-функцию G дифференцируем по А. Получаем систе­ му линейных уравнений относительно функций Y i , X j , T , вычисляемых на &-ом шаге

Звездочкой помечены функции, вычисленные при

Если начальная точка не является предельной, то начальное зна­ чение вектора Z = ( Y \ , . . . , Y n , Х \, ... , X m , Т ) т можно принять в ви­ де (4.22); проблема состоит в интегрировании системы дифференциаль­ ных уравнений (4.18), правые части которой определяются из решения системы линейных уравнений (4.51) с использованием метода Ньютона— Рафсона и с последующей нормировкой по формулам (4.21). Так как аргумент А отсчитывается от начальной точки задачи (4.49), то начальные условия для системы (4.18) будут иметь вид

Jfi(O) = ViO, xj(0) = xj0, Щ = <o, t = T~n, j = T~m. (4.52)

Очевидно, что в случае системы (4.49), линейной относительно про­ изводных уj, такой подход позволяет отыскивать решение системы (4.51), которое не требует итераци энного уточнения, не зависит от решения, найденного на предыдущем шаге, и удовлетворяет равенству (4.50).

В соответствии с этим алгоритмом разработана вычислительная программа DA1ILN, в котрой интегрирование дифференциальных урав­ нений осуществлялось при помощи программы РС1, а система линейных уравнений решалась методом Гаусса.

Отметим, что наличие программы метода йрогноза и коррекции РС1 обеспечивает итерационное уточнений решения линеаризованных систем (4.39), (4.51), когда производные у,- входят нелинейно в уравнения задач (4.33), (4.49).

Другой алгоритм решения задачи (4.49) заключается в следующем. Перепишем первое векторное уравнение задачи с учетом равенств щ = Y i / T в виде

При записи этого соотношения следует придерживаться правил, оговоренных выше.

Продифференцируем выражения (4.S0), (4.53) по Л один раз, а век­ торную функцию G системы (4.49) два раза, тогда получаем следующую систему линейных уравнений относительно производных от функций Yi,

X j , Т

’ F r t f + V = ~ { V + V J + F tT ),

Таким образом, проблема заключается в интегрировании системы дифференциальных уравнений (4.18), (4.55), удовлетворяющей началь­ ным условиям (4.52) и

Правые части уравнений (4.55) удовлетворяют системе линейных ал­ гебраических уравнений (4.54), а начальные условия (4.56) определяются из решения нелинейных уравнений

. Y iQ Y fl + X j o X j Q +T Q = 1,

где нуль при производной от векторной функции G означает, что производная вычисляется в начальной точке задачи (4.49).

В соответствии с этим алгоритмом разработана программа DA1IN, интегрирующая дифференциальные уравнения при помощи программы PC 1 и решающая систему линейных уравнений методом Гаусса.

Примеры

Рассмотрим задачу Коши для системы

у(0) = 2,

(4.58)

Интегральная кривая задачи получается в результате пересечения поверхности цилиндра (4.35) с поверхностью эллипсоида, заданного вторым уравнением системы (4.58).

Ошибку вычислений можно оценить по формулам

где фигурируют численные значения функций.

Задача решалась при помощи программы DA1ILN с начальным ша­ гом интегрирования по переменной Л, равным 0,001, и точностью 10-5 до значения t = -2 . Время счета <сч составило 138с. Ошибки, подсчитан­ ные по формулам (4.59), были равны Ai = 0,22-10“2, Дг = -0,96 • 10~2.

Если при решении этой системы начальное значение вектора Z взять

ввиде (4.22), то получается вырожденная система уравнений, но она

содинаковым успехом решалась при Z<0>= (O,l,O),Z<°> = (l,l,l)A/3 .

Отметим, что если определители, стоящие в правой части преобразованой системы (4.15), подсчитывать по правилу Крамера с учетом равенства (4.16), то при сохранении той же точности вычислений время счета возрастает до 163с.

При решении задачи (4.58) посредством программы DA1IN получаем

>YY' + X X ' + TT' = 0.

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений (4.55) определялись из решения в начальной точке задачи (4.58) уравне­ ний (4.60) при

у(*-1) _ ji(fc) = 21= Го,